Глава I. Страна волшебных чисел


Не крутите пёстрый глобус
Не найдёте вы на нём
Той страны, страны особой,
О которой мы поём...

С незапамятных времён миру известны особые числовые структуры – магические квадраты.

Их нельзя придумать, как нельзя «придумать» цветы, деревья, речку, солнце…

Тема магических квадратов, насколько представляется возможным проследить вглубь веков, во все времена приковывала взоры бесчисленных видных, именитых, знаменитых и безвестных, безымянных и забытых исследователей и просто любителей – ценителей загадочно-привлекательной, своеобразной красоты числовых сочетаний. Возможно, не в последнюю очередь, благодаря этой, особого рода красоте, магическим квадратам удалось сохранить в наш просвещённый век своё древнее, с мистическим «привкусом», название.

А может быть, в силу того, что они, по свойствам самой «квадратной» природы своей, «магические в квадрате», то есть, обладающие магическими свойствами чисел, помноженными на магическую же притягательность?..

Как бы то ни было, недостатка в паломниках эта своеобразная страна волшебных чисел никогда не знала и, надо сказать, всё меньше белых пятен остаётся на карте её достопримечательностей, всё реже встречаются здесь нехоженые тропинки и потаённые уголки, в которые не проник ещё вездесущий, пытливый взор искателя. По этой причине, новая находка – редкая удача для современного исследователя магических квадратов; не многим выпадает счастье прибавить нечто драгоценное в копилку знаний о них, нечто такое, что все – «и стар и млад» – могли бы и понять и оценить, а не только сам исследователь или «узкий круг специалистов».

Что же касается связанных с магическими квадратами пережитками прошлого, то справедливости ради следует признать их (пережитков) завидную живучесть: «мистический атавизм», вопреки бурной эволюции рационалистического образа мышления, прочно закрепился в названии этих квадратов и, кажется, не собирается сдавать позиций. Трудно припомнить другой, столь же яркий и необъяснимый случай примирения науки с инородным в её среде элементом, как в случае с термином «магический квадрат». Но сегодня упоминание о связи этих безобидных числовых образований с «чародейством», «волшебством», «могуществом», и прочими химерами средневековья, ничего, кроме улыбки, конечно же, вызвать не может!

Ну что ж, – говорят, улыбаться полезно для здоровья...

* * *

О назначении магических квадратов известно мало, а точнее, ничего. Основные же типы, или виды их неплохо изучены – в классификации и систематизации наука, по обыкновению, преуспевает.

Магический квадрат 4×4, относится к квадратам четвёртого порядка; он строится из чисел натурального ряда от 1 до 16. Числа записываются в четыре строки (по четыре числа в каждой), причём одна под другой (то есть, каждая четвёрка чисел пишется «с новой строки»), отсюда – o – квадратная форма записи 4×4, или «четвёртый порядок». Иначе говоря, числа формируются в строчки, а те укладываются правильными рядами, совсем как брёвна в штабель. Но в отличие от штабеля, магический квадрат имеет не только внешнее сходство с правильной геометрической фигурой, но обладает внутренней, числовой симметрией весьма высокой степени. Все его ряды – и горизонтальные, и вертикальные, и расположенные крест-накрест (по линиям диагоналей геометрического квадрата), а также, четвёрки чисел, скомпонованные по другим признакам симметричного расположения (четыре центральных числа, четыре при вершинах квадрата, и т. д.) – все они являются… «счастливыми!»

Это значит, что в любой из этих четвёрок, взятых по отдельности, числа при сложении дают одну и ту же сумму (в квадрате четвёртого порядка она равна 34), совершенно так же, как в счастливом трамвайном билетике (с той лишь разницей, что половинки номерной строки билета не обязательно состоят из четвёрок, и сумма их чисел в каждом таком билете различна).

Магические квадраты, в пределах какого-либо порядка могут объединяться, по присущим им общим признакам, в семейства, типы, группы и т. д. Но в то же время, каждый квадрат сохраняет свою неповторимую индивидуальность.

– Подобно тому, как человек принадлежит семье, стране, нации, расе, оставаясь при этом уникальной личностью, индивидуумом.

Сходство же всех их состоит в том, что любой магический квадрат, традиционно, представляет собой группу порядковых чисел натурального ряда, размещённых в клетках изображённого или воображаемого квадрата, но в отличие от «рядовой» записи, характеризующуюся высокой степенью организации чисел, их внутренней симметрией.

– Подобно тому, как человеческое общество в цивилизованном мире, в отличие от популяции дикарей, отличают гармоничное содружество людей, добродетельный характер их поступков, красота их мыслей, высокая степень их внутренней культуры.

(Шутка! J).

* * *

  1. Придуманы магические квадраты впервые, по-видимому, китайцами, так как самое раннее упоминание о них встречается в китайской книге, написанной за 4000 — 5000 лет до нашей эры

    (Б. А. Кордемский, «Математическая смекалка»).

  1. Неизвестно, какая из древних цивилизаций была их родиной. Неизвестна страна, неизвестен век, даже тысячелетие нельзя установить точно.

    (Е. Я. Гуревич, «Тайна древнего талисмана»).

  1. Более поздние сведения о магических квадратах, относящиеся уже к I веку, получены из Индии. Вот один из таких древнеиндийских памятников почти 2000–летней давности. Здесь 16 порядковых чисел размещены в шестнадцати клетках квадрата так, что выполняется основное свойство магического квадрата...*

* Ниже, на рис. квадрат [1-a]. «Основным свойством» считается «стандартный» набор условий, которым непременно должен отвечать традиционный магический квадрат – это одинаковая сумма чисел (постоянная, или константа) для любых четырёх чисел, расположенных в строке, столбце и диагонали; иногда можно встретить выражения вдоль строк, столбцов, вдоль диагоналей и т. п., но смысла это не меняет (прим. С.П.)

 

[1]

a b
 

    В Европу магические квадраты проникли лишь в начале XV века.
    А в начале XVI века один из них был увековечен выдающимся немецким художником, гравёром и немного математиком А. Дюрером в его лучшей гравюре "Меланхолия" (1514).
    Дюрер воспроизвёл на гравюре (в несколько изменённом виде) тот самый магический квадрат, составленный из 16 чисел...*

    * на самом деле не в изменённом, а только в перевёрнутом виде: рис. [1-b] – (прим. С.П.)

    Очарование этого магического квадрата не только в постоянстве сумм, которое является лишь основным его свойством. Подобно тому, как в истинно художественном произведении находишь тем больше новых привлекательных сторон, чем больше в него вглядываешься, так и в этом математическом произведении искусства таится немало красивых свойств, помимо основного. Укажем ещё шесть дополнительных свойств приведённого выше шестнадцатиклеточного квадрата:
    1. Сумма чисел, расположенных по углам нашего магического квадрата, равна 34, то есть тому же числу, что и сумма чисел вдоль каждого ряда квадрата.
    2. Сумма чисел в каждом из маленьких квадратов (в 4 клетки), примыкающих к вершинам данного квадрата, и в таком же центральном квадрате тоже... 34
    (...)
    3. В каждой его строке есть пара рядом стоящих чисел, сумма которых 15, и ещё пара... сумма которых 19.*

* Почему-то не отмечены другие, не менее интересные пары «рядом стоящих чисел» – вертикально, в каждом из столбцов квадрата. Сумма одной из них 13, другой – 21. И в сумме – 34. Золотая пропорция!

    4. Подсчитайте-ка теперь сумму квадратов чисел отдельно в двух крайних строках и в двух средних...

    (Б. А. Кордемский, «Математическая смекалка»).

Подсчитали...

Суммы вторых степеней чисел в парах симметрично расположенных строк, а также и столбцов квадрата одинаковые.

Ещё одно-два свойства – и портрет квадрата Дюрера, нарисованный математиком и немного художником Б. А. Кордемским, завершён.

Что могут к этому прибавить другие источники?

  1. Одну из интересных разновидностей квадратов, известных под названием симметричных, можно увидеть на знаменитой гравюре Альбрехта Дюрера "Меланхолия".
    Дюрер никогда не объяснял богатую символику своего шедевра
    (...)
    На гравюре Дюрера инструменты науки и плотницких ремёсел в праздном беспорядке лежат у ног погруженной в глубокое раздумье фигуры Меланхолии.
    Пусты чаши весов, никто не взбирается по лестнице, спящая борзая полумертва от голода, крылатый херувим приготовился записывать, но Меланхолия безмолвствует, а время, отмеряемое песочными часами, всё бежит
    (...)
    Астрологи эпохи Возрождения связывали магические квадраты четвёртого порядка с Юпитером. Такие квадраты считались действенным средством от меланхолии (поскольку покровитель меланхоликов Сатурн и Юпитер, если верить астрологам, враждовали между собой). Вот поэтому в правом верхнем углу гравюры Дюрера изображён магический квадрат именно четвёртого порядка.
    Дюреровский квадрат симметричен, так как сумма любых двух входящих в него чисел, расположенных симметрично, относительно его центра, равна 17 (то есть, половине константы квадрата – С.П.) Это обстоятельство позволяет выделить в квадрате много групп из четырёх чисел помимо строк, столбцов и главных диагоналей, сумма которых также равна постоянной квадрата.

    (М. Гарднер, «Математические головоломки и развлечения»).

  1. В начале XVI в. магический квадрат был увековечен в искусстве. Знаменитый немецкий художник и гравёр Альбрехт Дюрер выпустил в 1514 г. гравюру, названную им "Меланхолия". На заднем плане гравюры, над фигурой крылатой женщины в одежде горожанки, помещён магический квадрат 4×4 клетки. Все комментаторы гравюры говорят об этом квадрате, но разногласия между ними очень велики. Немецкий математик В. Аренс считал, что магический квадрат на гравюре Дюрера просто-напросто символизирует арифметику, так же как шар и многогранник — геометрию. Это объяснение слишком примитивно. Не похоже, чтобы такой глубокий мыслитель, как Дюрер, видел в изображенных им предметах только внешние признаки науки, ремесла или искусства. И уж, конечно, не потому Дюрер выбрал именно этот вариант магического квадрата, что на его нижней строке два средних числа (15 и 14) вместе дают дату выпуска гравюры.
    Более интересным является толкование, основанное на обширном историческом исследовании, приведённое в новой (1961 г.) монографии о Дюрере, написанной нашей соотечественницей и современницей Цецилией Нессельштраус.
    С глубокой древности и до времени Дюрера сохранилось учение о том, что люди разного темперамента находятся под влиянием разных планет.
    Жизнерадостным сангвиникам покровительствуют планеты Юпитер и Венера.
    Мужественные холерики находятся под покровительством планеты Марс.
    Флегматикам покровительствует Луна.
    Неуравновешенные меланхолики, поднимая свой неуверенный взгляд к небу, видят на нём свою мрачную планету — Сатурн.
    Во времена Дюрера меланхоликам стали приписывать повышенную одарённость, граничащую с гениальностью.
    Прекрасная женщина Меланхолия на гравюре Дюрера, возможно, олицетворяет гений человеческой мысли, человеческого труда. Именно ему угрожает планета меланхоликов Сатурн.
    Но почему для защиты Меланхолии Дюрер взял магический квадрат в 16 клеток и никакой другой?
    Ответ можно увидеть в сочинении о магии чисел немецкого гуманиста Генриха Корнелия Агриппы из Неттенхейма. Оно носит название: "О сокровенной философии". Это сочинение было напечатано всего за 10 лет до смерти Коперника.
    Ничего не зная о работе Коперника и следуя взглядам астрологов, Агриппа пользовался древней космогонией Птолемея; в центре мира — Земля; вокруг неё небесные сферы, вложенные друг в друга, как старинные китайские резные шары из слоновой кости. На каждой сфере по одной планете. На внутренней — Луна. Далее — Меркурий, Венера, Солнце, Марс, Юпитер и на внешней — Сатурн. (Луна и Солнце считались в числе планет.) За сферой Сатурна были ещё две небесные сферы. Одна из них была заселена неподвижными звездами. Планеты Юпитер и Сатурн враждуют друг с другом, унаследовав из древнегреческих мифов вражду между олимпийскими богами — Сатурном и победившим его Юпитером.
    В своём сочинении Агриппа описал семь магических квадратов, имеющих в основании 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9 клеток. Число квадратов было выбрано равным числу птолемеевых планетных сфер. Агриппа назвал эти квадраты "планетными таблицами". Каждую "планетную таблицу" Агриппа связал с одной из семи планет. Квадрат с тремя клетками в основании был связан с третьей, считая извне, сферой, несущей планету Сатурн, квадрат с четырьмя клетками — со следующей сферой, где была планета Юпитер, и так далее.
    Вот, оказывается, почему Дюрер для защиты своего крылатого Гения взял именно квадрат в 16 клеток. Юпитер должен был снова побороть Сатурна.

    (Е. Я. Гуревич, «Тайна древнего талисмана»).

  1. Древнейший из дошедших до нас квадратов четвёртого порядка был обнаружен в надписи XI или XII века, найденной в Кхаджурахо (Индия). Он показан на рисунке... [2]

    [2]

     
     
    Этот магический квадрат относится к разновидности так называемых "дьявольских" квадратов (или "пандиагональных", или "насик"), ещё более удивительных, чем симметричные.
    Помимо обычных свойств, дьявольские квадраты являются магическими по всем "ломаным диагоналям". Например, числа 2, 12, 15 и 5, а также 2, 3, 15 и 14 стоят на ломаных диагоналях, которые можно восстановить, поставив рядом два одинаковых квадрата (...)
    Дьявольский квадрат остаётся дьявольским, если над ним производить пять различных преобразований:
    1) поворот
    2) отражение
    3) перестановку строки сверху вниз и наоборот
    4) зачёркивание столбца справа или слева и приписывание его с противоположной стороны и
    5) особую перестановку клеток, схема которой показана на рис... [3]

    [3]

    Ú
    a b
     
     

    (М. Гарднер, «Математические развлечения и головоломки»)

* * *

Если, как это принято считать, математика – язык Природы, то числа, очевидно, можно рассматривать как своеобразные буквы этого языка.

Тогда числовую симметрию можно уподобить рифме, и магические квадраты предстанут перед нами в качестве лучших поэтических произведений математики, не бесстрастно описывающей здесь Природу, но «воспевающей её в стихах»!

Прагматичный взгляд учёных на математику, как на полезный, но бездушный инструмент в их руках, конечно же, не мог надолго задержаться на бесцельных, хотя и красивых её творениях, ибо какая практическая польза от этой «лирики»?

Такое отношение учёного мира к магическим квадратам удачно выразил известный популяризатор занимательной математики М. Гарднер, определив им место в ряду предметов, не имеющих сколько-нибудь принципиального значения.

Тем не менее, магические квадраты существуют, и каково бы ни было их значение, или назначение, каким бы ни было отношение к ним со стороны математиков, или мистиков, одного у них не отнять – бессмертной красоты числовых сочетаний!

Не знаю, – говорит Вернер Гильде в своей книге «Зеркальный мир» (изд. «Мир», Москва, 1982 г., стр. 46)не знаю, милый читатель – говорит он – был ли у вас в детстве калейдоскоп, но если нет, то что-то безвозвратно прошло мимо вас…

Нет сомнений в том, что для рационалистически настроенного скептика магические квадраты навсегда останутся предметом, не имеющим сколько-нибудь принципиального значения. Это так же верно, как и то, что для взрослого человека калейдоскоп никогда уже не обретёт того волшебного очарования, которое только восприятию ребёнка и доступно.

Что же касается «пережитков прошлого».., не знаю, милый читатель, – тревожил ли когда-либо ваш рассудок, или вашу душу мистический туман, веками стелющийся над страной волшебных чисел – таинственной страной магических квадратов, но если нет, то грустно сознавать, что волнующая загадочность этого «предмета» для вас лишь пустой призрак, безвозвратно тающий при свете «взрослеющего» ума человечества.