Глава II. Маэстро Угловое Зеркало


Одно зеркало хорошо, а два лучше!

(Из собрания личных
кулинарных рецептов сапожника)

  1. В начале было Слово, и Слово было у Бога, и слово было Бог. Вот что было в начале у Бога, дело же доброго инока деннонощно твердить во смирении псалмопевческом о том таинственном непререкаемом явлении, чрез кое неизвратимая истина глаголет.
    Однако днесь ея зрим токмо per speculum et in aenigmate — в зеркале и загадке, в отражении и иносказании, и оная истина, прежде чем явить лице пред лице наше, проявляется в слабых чертах (увы!, сколь неразличимых!)... и мы утруждаемся, распознавая ея вернейшие признаки и там, где они всего темнее...

    (У. Эко, «Имя розы»).

В наш век, в эпоху бурного научно-технического прогресса с его достижениями в различных отраслях знаний – в радиоэлектронике, телевидении, в области компьютерных технологий, средств коммуникации и связи и т. д., – мало кто может удивиться столь бесхитростному приспособлению, как зеркало.

Что удивительного можно увидеть «в зеркале»?
Гладкая, отполированная блестящая поверхность... (С.И.Ожегов), в буквальном смысле отражающая очевидность, предмет домашнего обихода – зеркало само является, собственно, воплощением этой очевидности, наглядности, незатейливости и простоты.

Но тем коварнее его «невинность», если мы будем помнить золотые слова о том, что ПЛОМБОЙ ОЧЕВИДНОСТИ в науке часто оказываются запечатанными настоящие клады*

* А. М. Хазен; «О возможном и невозможном в науке». Москва, «Наука», Главн. ред. физ-мат. лит-ры, 1988 г.

Увы, сорвать такую пломбу, зачастую означает не обнаружить клад, а зарыть его ещё глубже!

Кто станет отрицать, что в зеркале всё нереальное, ненастоящее, что отражение – иллюзия, мираж, оптический обман?

Но кто осмелится утверждать, что зеркало лжёт? Напротив! – «Являя пред зеркало лице наше», отнюдь не утруждаемся мы, сокрушённо «распознавая вернейшие признаки неизвратимой истины», о которой «глаголет» нам отражение...

Однако же, дело «доброго инока» не в том, чтоб во смирении перед непререкаемым авторитетом научных достижений твердить о доскональной изученности таинственного явления, но искать и находить, исследовать и изучать его и там, где признаки его всего темнее. Самым же «тёмным местом» в этом деле является наше неумение правильно смотреть в зеркало.

Как вы думаете, человек какой профессии во время работы чаще других смотрит в зеркало? Актёр (актриса)? Парикмахер? Нет, не отгадали! Водитель транспортного средства! (авто, трамвая и т. д.) – Понятия смотреться и смотреть существенно различны.

Ну, и как же правильно смотреть? – спросят меня.
Чтобы лучше уяснить эту науку, давайте разрешим прежде ещё такой вопрос. Знаете ли вы, как правильно рассматривать фотографии? Оказывается, одним глазом! Почему? Да потому, что у фотокамеры один «глаз» – объектив. Спроецированное этим «глазом» и проявленное на фотоснимке изображение, соответствующим образом нужно и «воспроизводить».
Означает ли это, что сказанное одним языком следует слушать «в одно ухо»? Вот этого не скажу – не знаю.
А с фотоснимками поэкспериментируйте. Возьмите качественную фотографию и, прикрыв один глаз, – всё равно какой, опытным путём установите такое расстояние между «зрячим глазом» и фотокарточкой, приближая её к себе или отдаляя, при котором изображение «оживёт».

Что же касается «правил пользования зеркалом», то тут, признаюсь, я несправедлив к читателям. Все мы смотримся и смотрим в зеркало, конечно же, правильно – двумя глазами, и потому, Америки здесь я не открою. Но как зеркало отражает мир, в котором не только в узком диапазоне земной Природы, но и во всём безграничном Космосе, от фундаментальных основ Мироздания до крайних пределов Вселенной царствует двойственность, то отражает оно его ущербно, будучи неспособным во многих случаях правильно воспроизвести своей единственной поверхностью, гладкой и блестящей, эту особенность окружающей действительности.
Очевидно, что для полного, без ущерба, «отражения двойственности», необходимы и два зеркала.

Все «парадоксы» однозеркального отражения им и объясняются: почему зеркало меняет местами правое и левое, но не переворачивает верх и низ; почему часовая стрелка в зеркальном отражении вращается против часовой стрелки...

В теории симметрии зеркало соотносят с понятием плоскости симметрии, с той лишь разницей, что плоскость симметрии – это как бы два зеркала, склеенные тыльными сторонами, или двустороннее зеркало.

  1. Каждая плоскость симметрии меняет, как нам уже известно, правое на левое (и наоборот). Но это несколько упрощённое восприятие. Если бы плоскость симметрии умела говорить, она бы заявила: "Я не меняю ни правое на левое, ни верх на низ. Я вообще не знаю, что это такое. Я лишь точка за точкой отображаю всё, что находится по одну или другую сторону от меня".

    (В. Гильде, «Зеркальный мир»).

Плоскость симметрии немецкого профессора В. Гильде несколько непоследовательна. Сперва речь идёт об отображении «точки за точкой», но далее «она продолжает»:

  1. "Если человек своей продольной осью встанет параллельно моей оси, я поменяю ему правую и левую стороны, но если тот же человек своей продольной осью расположится перпендикулярно моей оси (ибо я всегда остаюсь неизменной), то я поменяю то, что люди называют верхом и низом". Как видите, (заключает профессор В. Гильде), всё зависит от точки зрения.

    (В. Гильде, «Зеркальный мир»).

Два зеркала, с примыкающими друг к другу рёбрами и расположенные под некоторым углом, называют угловым зеркалом (не путать с зеркалом, которое стоит в углу J). Приоткройте какую-нибудь книгу примерно наполовину, так, чтобы можно было читать: пусть страницы с текстом образуют между собой прямой угол. Если представить страницы зеркальными поверхностями, это и будет угловое зеркало (если же зеркальными будут две поверхности обложки, то такое зеркало называется двугранным).

Угловое зеркало, при определённой «точке зрения», которую имеет ввиду автор «Зеркального мира», оправдывая свою говорящую плоскость симметрии, а именно, если расположить его перед собой подобно раскрытой книге, отражает предметы и нас, человеков вполне достойно – с правильно ориентированным правым-левым, и верхом-низом, кстати, тоже.

А вот если мы прибавим к угловому зеркалу ещё одну отражающую поверхность – так чтобы все три расположились подобно тому, как сходятся в помещении две стены и пол, то в таком наборе зеркал увидим все отражённые ранее (двумя зеркалами) предметы и себя самих в удвоенном количестве, причём ровно половина отражений окажется «вверх ногами».

Отражение предметов каждым из этих типов зеркал – одинарным, двойным (т. е. угловым) и зеркалом, составленным из трёх одинарных (не очень внятно называемым треугольным), имеет свои особенности. Чтобы в них разобраться, теоретически, всегда можно обойтись одним, обычным (одинарным) зеркалом или, в крайнем случае, двусторонним (плоскостью симметрии). Однако, без чего нельзя обойтись, так это без представления о существующих между этими зеркалами различиях и понимания особенностей их действия.

Зеркало выявляет мерность пространства. Человеку трудно вообразить себя в пространстве, где его ничего не окружало бы – в совершенно пустом. Но если бы человек вдруг оказался в таком пространстве, наверное он не скоро сделал бы открытие о его трёхмерности.

Одинарное зеркало даёт точечное отражение (как в растровой графике: "Я лишь точка за точкой отображаю всё..."). Но его помощью иллюстрируется первое измерение пространства. Пусть одной из отражаемых зеркалом точек служит пуговица на вашем пиджаке. Тогда между ней и её отражением вы можете мысленно провести отрезок прямой, имеющий уже некоторую протяжённость.

Возьмите два зеркала и расположите их под углом 90°. Ваша пуговица в отражении такого зеркала, обретёт ещё троих близняшек, так, что всего их окажется четыре. Эти четыре точки, мысленно соединённые отрезками прямой, могут дать представление о двух измерениях пространства. И так далее.

Трёхмерность пространства обнаруживается по формам заполняющих его материальных предметов окружающего мира. А эти предметы в своём строении подчиняются законам зеркальной симметрии.

В согласии с принципами симметрии не только возводятся архитектурные сооружения, но и слагаются стихи; в Природе сама симметрия, можно сказать, руководит ростом кристаллов и формированием узоров, украшающих крылья мотылька...

Закономерности зеркального отражения лежат и в основе структурной организации магических квадратов. Причём любое мудрствование по поводу этих закономерностей не делает их более доступными для понимания, а только затемняет. Желающий понять в чём заключается детская игра в «классы», пусть начертит их мелом на асфальте и попрыгает. Право же, так он узнает о ней больше, нежели исследуя методом математического анализа.

  1. Комбинируя зеркальные отражения, можно вывести все возможные симметрийные операции.
    (Теорема А. К. Болдырева: максимальное число необходимых для этого плоскостей сводится к четырём; в частных случаях бывает достаточно и меньшего их числа). Исходя из этих комбинаций, можно полностью вывести все элементы классической симметрии — простые, сложные и винтовые оси, плоскости простого и скользящего отражения, трансляции...

    (проф. И. И. Шафрановский;  из редакторской статьи к переводу В. Гильде, «Зеркальный мир»).

Эти «выводы», однако, не всегда просты для восприятия. А кроме того, вовсе не обязательно активизировать воображение, когда можно практически применить две отражающие пластины, то есть, угловое зеркало, и собственными глазами увидеть результат его непосредственного действия.

Отличительной особенностью углового зеркала является его способность воспроизводить отражения предмета в различном количестве, в зависимости от величины угла между его пластинами, но всегда превышающим число отражающих поверхностей самого зеркала.

При величине угла между пластинами 180°, эта его способность исчезает и оно, хотя и оставаясь формально угловым (с развёрнутым углом), по сути перестаёт быть таковым, превращаясь в два одинарных зеркала, лежащих в одной плоскости.

Угол между пластинами зеркала, равный нулю, также, не представляет интереса, поскольку в этом случае зеркала, как такового, просто нет (отражающие пластины складываются, подобно захлопнутой книжке).

Срединной точкой в диапазоне от нуля до 180° является величина угла, равная 90°.

Прямой угол образуют стороны квадрата и грани куба – составные элементы «самых правильных» геометрических объектов. Прямой угол между двумя радиусами ограничивает четверть круга – самой совершенной геометрической фигуры.

Далее, уже без дополнительных оговорок, под угловым зеркалом здесь будет подразумеваться зеркало с раствором угла, равным 90° – величиной, бесспорно, оптимальной для «классического» углового зеркала.

Ещё прежде, чем мы поместим в зону действия углового зеркала какой-нибудь предмет, оно отражает самое себя. То есть, одна зеркальная поверхность отражает другую, а та в свою очередь, её.
В результате мы видим, как бы четыре зеркала, примыкающие друг к другу рёбрами; или, можно сказать, одно, «составленное из двух», которые («пересекаясь») "делят друг друга, чтобы образовать четыре" (Э.Леви). Поместив в зону действия углового зеркала какой-либо объект, мы увидим три его отражения [1]:

[1]

Угловое зеркало можно изобразить и на плоскости. В этом случае зеркальные поверхности проецируясь на плоскость, превращаются в линии. Конечно, следует подразумевать отражающую способность этих линий, причём в обе стороны [2]:

[2]

Схематически, общую картину, создаваемую пересекающимися зеркалами, можно передать и (или) воспринимать по-разному. Например, как квадрат, разделённый диагоналями на четыре треугольника; или как четыре сектора круга, с центром в точке «пересечения зеркал». Далее, на рисунке [3] изображена схема углового зеркала. Вокруг схемы можно описать окружность, тогда четыре зеркальные линии будут радиусами, а части круга, ограниченные двумя радиусами – секторами круга. В секторах располагаются изображения объекта и его отражений.

[3]

Хотя на рисунке [3] изображение зеркала ограничено квадратной рамкой, и квадрат оказывается разделённым на треугольники, последние я буду называть секторами. Различать их на данном рисунке просто: нижний (B), верхний (T), левый (L), правый (R).

Два сектора, граничащие друг с другом, например нижний и левый (BL), нижний и правый (BR) и т. д., я буду называть смежными; два сектора, расположенные друг против друга, по вертикали (TB) или горизонтали (LR) – полярными.

Угловое зеркало обладает и собственной симметрией; плоскость симметрии проходит строго посередине между отражающими пластинами. На рисунке [3] она представлена схематически, как плоскость симметрии межзеркального пространства сектора «B», и обозначена пунктирной линией. Разумеется, всё отражается и в остальных секторах (будем помнить о том, что на рисунке мы имеем дело со схемой, не подчёркивая это всякий раз).

Особого внимания заслуживает точка «пересечения зеркал». Это центр симметрии углового зеркала.

  1. Центром симметрии является особая точка внутри фигуры, характеризующаяся тем, что любая проведённая через эту точку прямая по обе стороны от неё и на равных расстояниях встречает одинаковые (соответственные) точки фигуры. Действие центра симметрии можно уподобить отражению в зеркальной точке.

    (И. И. Шафрановский, «Симметрия в природе»).

Действие центра симметрии углового зеркала не надо ничему уподоблять. Это и есть зеркальная точка. Повторюсь ещё: на самом деле пластины углового зеркала пересекаются не в точке (и даже вовсе не пересекаются), но поскольку (когда) речь идёт о плоских фигурах, то нам достаточно схематических линий, обозначающих отражающие поверхности зеркала вместе с их «самоотражениями». Ещё иначе рисунок [3] можно рассматривать, как «вид на угловое зеркало» сверху, но только условное зеркало, так как в реальности мы могли бы увидеть сверху рёбра только двух отражающих пластин. Практически же вы можете пользоваться настоящим угловым зеркалом, составленным из двух, подобных тем, что водятся в дамских сумочках.

Хорошим примером фигур, обладающих центральной симметрией могут служить «картинки», знакомых всем и каждому, игральных карт (этот пример приводит И. И. Шафрановский в своей книге «Симметрия в природе»).

Если взять для опыта какой-нибудь эксцентрический предмет, например, пивную кружку с выступающей ручкой, и поместить её в зону действия углового зеркала, то легко можно наблюдать любопытный эффект: в круге отражений кружка, в каждом из последующих секторов, поворачивается относительно предыдущего на 90° – так, что возвращаясь к исходному положению, она как бы совершает полный оборот вокруг своей оси. Находясь в центре симметрии углового зеркала, можно увидеть кружку в четырёх экземплярах, но только с одной стороны. Так, например, в отличие от стороннего наблюдателя, находящийся в центре симметрии может остаться в полном неведении относительно того, что кружка имеет ручку... J (на рис. [1], заимствованном из «Зеркального мира» проф. Гильде, изображение кувшина не вполне отвечает условиям реального отражения).

Итак, что, между делом, нам удалось усвоить?
Зеркальные отражения углового зеркала характеризуются определённой взаимной ориентацией. Исходные положения отражаемых объектов могут быть самыми разнообразными. На следующем рисунке [4] показаны только три примера таких положений, тогда как их может быть бесконечное множество (не картинок множество, а положений – хотя бы и одной картинки).

Однако, подобно тому, как существует оптимальная величина угла между отражающими поверхностями самого зеркала (90°), однозначно определяется и «правильное» положение объекта, находящегося в зоне его действия. На рисунке таким, «правильно» расположенным объектом, является изображение летательного аппарата, ось симметрии которого совпадает с осью симметрии самого зеркала (обозначена пунктиром). Отражения этого бомбардировщика в смежных секторах, как бы смещены по дуге окружности, относительно исходного изображения, строго на 90°.
Почему «как бы»? Потому, что изображения в секторах не вращаются вокруг центра симметрии подобно карусели, они статичны; о вращении здесь допустимо говорить очень условно, и то лишь в том случае, когда обсуждение не затрагивает принципиальные особенности отражения, такие например, как ориентация правого и левого и др.

[4]

Два других примера на рисунке [4] иллюстрируют произвольные положения исходных объектов отражения. При этом ориентация объекта и его отражений в смежных секторах может варьироваться от нуля градусов, когда объект и его отражение обращены в одну сторону (на рисунке самолёты, летящие общим курсом) до 180°, когда объект и его отражение направлены в противоположные стороны, либо навстречу друг другу – таков диапазон разброса величины угла между осями симметрии отражений в смежных секторах, или если говорить упрощённо, «между картинками» этих секторов. Срединной точкой этого диапазона оказывается прямой угол, характеризующий взаимную ориентацию правильно расположенного исходного объекта и его отражений в смежных секторах.

Всё, что сказано о взаимной ориентации исходного объекта и его отражений, касается и расположения их в межзеркальном пространстве, относительно границ секторов. Здесь также, можно выделить правильное расположение, когда плоскость симметрии картинки совпадает с плоскостью симметрии сектора, и бесконечное множество промежуточных, когда величина углового смещения картинок для смежных секторов колеблется практически от нуля градусов (изображения смежных секторов буквально «слипаются»), до 180° (картинки разнесены в диаметрально противоположные стороны).

Таким образом, мы можем констатировать: в смежных секторах углового зеркала отражения объектов ведут себя самым непредсказуемым образом. Возможно ли как-то «укротить» их строптивый нрав? Оказывается возможно, и роль укротителей отводится полярным секторам зеркала. В любом случае, как бы ни располагался исходный объект, параметры его отражений в смежных секторах суммируются в полярных секторах и результат этого суммирования всегда один – 180° между направлениями взаимной ориентации, и такой же величины угловое смещение по дуге окружности (причём, хотя «карусель» не вращается, об угловом смещение здесь говорим безгрешно – таково взаимное расположение картинок в полярных секторах).

 
Вообразим полную Луну, помещённую в зону действия углового зеркала, а в центр круга, по которому будет «ходить» Луна, поместим Землю. На рисунке Луна разделена на светлую и тёмную половины. Это не фаза – мы договорились, что Луна полная. Это обозначение видимой и невидимой её сторон для наблюдателя, находящегося на Земле. Конечно, статичное положение зеркальных отражений и перемещение предмета по кругу с одновременным вращением вокруг своей оси не одно и то же. В данном случае (на рисунке) вращение Луны не более, чем иллюзия. Впрочем, если внимательно рассмотреть рисунок, то можно обнаружить, что она и не изображена здесь вращающейся, а только отражённой. Тем не менее, различие в ориентации изображений Луны в (любых) двух полярных секторах абсолютно соответствуют тому изменению её положения в диаметрально противоположной точке орбиты, которое бы наступило при вращении вокруг собственной оси.
Что же из этого следует? Не знаю, милый читатель. Что-то загадочное таится в этой похожести двух совершенно различных явлений – у реальной Луны (в небе) одна сторона остаётся скрытой от наших глаз, и то же на рисунке, иллюстрирующем особенности «двузеркального» отражения. Иногда можно услышать, или сами мы говорим: «планета вращается вокруг своей оси», но – «обращается по орбите». Почему мы так говорим? Нет ли в «обращении по орбите» чего-то общего, какой-то связи с зеркальным обращением, чего-то большего, чем простая игра слов, рождённая отдалённой аналогией двух явлений?

Примечание не для скептиков: если к этому прибавить тот факт, что слова «зеркало» и «земля» имеют одинаковое нумерологическое значение (одну и ту же сумму номеров букв, равную 75), а в соответствии с правилом Гематрии «слова, выраженные одним и тем же числом, имеют внутреннее сродство между собой…» (Папюс, «Каббала»), то может быть, вопрос не покажется совсем уж глупым?

Двузеркальное отражение предмета не есть повторное отражение одним и тем же зеркалом и в одинаковых условиях, что ведёт к выпрямлению изображения, т. е., возврату его к исходному виду. Двузеркальное отражение, это одновременное (синхронное) отражение предмета двумя зеркалами, ориентированными в плоскостях двух измерений пространства. Треугольное зеркало отражает предмет в трёх измерениях пространства.

Одинарное зеркало, отражая точку, тем самым прибавляет к ней ещё одну. Угловое зеркало умножает число отражаемой точки в четыре раза; мысленно соединив их «вкруг» между собой, мы получим квадрат (или прямоугольник, что не принципиально). Треугольное зеркало даёт 8-кратное изображение одной точки, или так называемое, геометрическое место точек куба...*

* Во времена ещё не столь отдалённые весьма распространённым, актуально-популярным в нашем обществе было слово «спекуляция». Не перекликается ли оно с латинским speculatio – выслеживание, высматривание, в данном случае в смысле поиска лёгкой добычи, наживы, с целью увеличения, умножения прибыли. Между тем, speculum переводится как зеркало.

Что примечательного, что удивительного может отметить в этом факте современный образованный человек?

  1. Конечно, людей можно разделить на дураков и умных, на больших и маленьких, они разнятся по языку, вероисповеданию, мировоззрению. Можно представить себе и такой способ подразделения:
    1) люди, которые никогда не удивляются;
    2) люди, которые удивляются, но не задумываются над удивившим их явлением;
    3) люди, которые удивившись, спрашивают "а почему?";
    4) люди, которые удивившись, обращаются к числу и мере.
    В зависимости от условий жизни, традиций, степени образованности встречаются и все возможные "промежуточные" ступени (ни дать ни взять, «в диапазоне от нуля до 180°» – С.П.J).
    Мыслители античности и средневековья изумлялись миру и думали о его тайнах. Но им лишь изредка выпадал случай измерить какое-либо явление.

    (В. Гильде, «Зеркальный мир»).

Осмелюсь предположить, что обращение к числу и мере как раз и способствовало постепенному вырождению способности мыслителей удивляться. Ибо если какой-либо принцип прежде рассматривался как проявление "воли господней" (В.Гильде), то последняя не «рассматривалась» прежде в кавычках. Число и мера позволили открывать законы Природы и хорошо ещё, что учёные не провозглашают себя создателями этих законов.

В античные времена, когда люди ещё были способны удивляться, жил один из тех мыслителей, для которых существовали тайны мира, не выхолощенные их фиксацией в «законе» – Архит Тарентский.

  1. Многосторонность этого замечательного южноиталийского дорийца является беспримерной даже для того времени
    (...)
    Он был дружен с Платоном, который главным образом им и был посвящён в тайны точных наук и философию пифагорейцев
    (...)
    Когда Аристотель говорит, что Платон очень много заимствовал у пифагорейцев, то при этом скорее всего нужно думать об Архите
    (...)
    В "Послесловии к Законам" (посмертно изданном произведении Платона...) весьма приподнятым тоном и в загадочных выражениях даётся обозрение программы курса математики для будущих руководителей идеального государства Платона. Филологи понапрасну ломали зубы, пытаясь разгрызть этот крепкий орешек; только математики наших дней сумели пролить некоторый свет на это дело. Оказалось, что здесь главным образом имеется ввиду математика Архита. Мы даём этот замечательный отрывок в интерпретации Беккера с его совершенно необходимыми комментариями...

    (Б. Л. ван дер Варден, «Пробуждающаяся наука»).

«Мы» тоже охотно «даём» этот отрывок, с чувством признательности к господину Беккеру за интерпретацию, однако опуская его комментарии, не будучи уверены, что здесь они так уж «совершенно необходимы»:

  1. Высшим и первейшим является учение о числах, не о тех числах, которые имеют телесный облик, но скорее о построении всей теории чётного и нечётного и о той мощи, каковой они обладают над природой сущего.
    Для того, кто изучил это, становится совершенно ясным то, что люди в высшей степени нелепо называют "землемерием" (geometria), но что в действительности имеет целью уподобление чисел, которые по природе не подобны друг другу, это становится совершенно ясным в случае плоских фигур.
    Но воистину не человеческое, а божественное чудо откроется тому, кто после этого (плоской геометрии) будет рассматривать трёхмерно протяжённые (числа) и подобные по своей пространственной природе. И снова он сможет те, которые по происхождению не подобны превратить в подобные при помощи иной науки, которую сведущие люди называют стереометрией.
    Но особо божественным и чудесным для тех, кто прозревает и проникает в сие, является, однако то, каким образом при посредстве силы, которая постоянно вращается вокруг удвоения, и (силы) противоположной ей в соответствии с каждым из видов пропорций, всё в природе как бы запечатлевает свой вид и форму.
    Первая сила удвоения идёт вперёд в соответствии с числами в отношении 1/2, но удвоением будет также и движение вперёд при помощи возведения во вторую степень.
    (Сила стремящаяся) к пространственному и осязаемому будет ещё разудвоением и восходит от 1 к 8...

    (Ван дер Варден, там же).

 

Главным свойством углового зеркала, его, я бы сказал, достоинством, является способность производить синтезированное отражение. Центрально симметричное отражение (в каждом из полярных секторов) складывается из двух отражений смежных секторов, то есть, как бы объединяет два боковых*, являясь при этом результирующим, или – синтезированным.

* Ориентация отражений в смежных секторах различается на 90°, то есть, одно из них, как бы «повёрнуто боком» к другому, или «уложено на бок», относительно другого; (если глядя прямо перед собой мы из положения «лёжа на спине» повернёмся на бок, направление нашего взгляда изменится на 90°); здесь и далее под «боковыми отражениями» подразумеваются отражения в смежных секторах углового зеркала.

Такому представлению можно сопоставить равнодействующую сил в механике; можно привести и другие примеры сравнений, но самой любопытной, на мой взгляд, представляется напрашивающаяся аналогия двузеркального отражения с функцией зрения. Почему человек, глядя на предмет двумя глазами видит не два предмета? Результирующее отражение углового зеркала подобно зрительному образу, формирующемуся в мозге человека.
Посмотрим в угловое зеркало прямо: наше отражение в нём, как бы рассечено на две половины. Их невозможно соединить воедино. В то же время отражение целостное, его части невозможно разнять – они неразделимы.
Если представить, что был бы удалён один из смежных секторов, то отражение в полярном секторе всё равно осталось бы: взгляните на него не прямо, а слегка склонив голову, как бы заглядывая через один из («оставшихся») смежных секторов. При этом «эффект раздвоенности» центрально симметричного отражения пропадает. Не так ли и в мозге человека, «рассечённом» на два полушария, возникает образ предмета, на который он (человек) смотрит двумя глазами; но и одним глазом видит весь предмет, а не его половину?

* * *

Рассмотрим пример квадратной формы записи четырёх чисел. Аналогия между схемой углового зеркала и четырьмя клетками квадрата, которые выполняют роль секторов зеркала, напрашивается сама собой. Числа квадрата в этой аналогии, конечно же, следует рассматривать, как отражения. Пусть единица – исходный объект отражения. Тогда «2» и «3» будут её однозеркальными (боковыми) отражениями в смежных секторах, а «4» – результирующим, центрально симметричным [5-a].

Привычный нам вид квадрата [a], на самом деле неестествен для схемы углового зеркала. Ведь линии, разделяющие его на клетки, это в нашем сравнении схематическое изображение отражающих пластин углового зеркала, и глядя на квадрат в традиционном его положении [a], мы смотрим, как бы, на ребро одной из них. Правильным было бы изображение [c], где единица символизирует исходный объект, а остальные числа – её отражения, и при этом взгляд направлен в раствор зеркала, что более точно отвечает естественному применению углового зеркала в реальности [1]. К этому несоответствию придётся просто привыкнуть, ничего не исправляя, так как в данном случае речь идёт лишь о непринципиальных условностях, тогда как для восприятия числовой квадрат в виде ромба попросту неприемлем.

[5]

a b
c

Числовая (или, скорее, «чисельная», цифровая) внешняя симметрия не столь наглядна, как отражения картинок, но отношения чисел в квадрате характеризуются внутренней симметрией или асимметрией, и если прибавить к этому – в меру рассуждений и немного интуиции, то четвёрка чисел, записанных в форме квадрата, легко воспринимается, как схема действия, именно, углового зеркала.

Так, например, пары чисел 1-4, а также, 2-3, являются внутренне симметричными, так как при сложении их числа дают одинаковую сумму; в квадрате 2×2 они занимают клетки, расположенные по диагонали. Пары чисел 1-2 и 1-3, либо 1-3 и 3-4 и т. п., не являются внутренне симметричными. В квадрате они располагаются в соседних клетках. Таким образом, последние символизируют отражения смежных секторов углового зеркала, в реальности «разбросанные по диапазону» возможных вариантов взаимного расположения или ориентации. Но независимо от многообразия их состояний, отражения полярных секторов всегда отличает соразмерность и равновесие. Что и символизирует внутренняя симметрия диагональных пар чисел квадрата 2×2: (1+4) = (2+3).

Обратная ситуация, когда при некотором состоянии отражений в смежных секторах реального зеркала, отсутствовала бы их центральная симметрия в полярных секторах – немыслима.

Кстати, такие именно числовые квадраты существуют, сумма чисел в их строках и столбцах равна постоянной (const) магического квадрата, а сумма чисел в диагоналях не равна ей. Традиционно их именуют полумагическими, очевидно подчёркивая тем самым особую близость таких квадратов к «полноценно-магическим».

Выбор исходного объекта (или сектора) является условным. Любое число в примере [5-a] может выполнять эту роль. Причём любое число при этом является и боковым отражением, по отношению к числам смежных секторов.

Квадрат с 4 клетками в основании (квадрат четвёртого порядка, или 4×4) есть не что иное, как модель системы угловых зеркал, или проще, зеркальной системы, т. е., одного большого зеркала, составленного четырьмя малыми угловыми зеркалами, роль которых в квадрате отводится малым квадратикам 2×2 [6].

В масштабе зеркальной системы, рассматриваемой как одно большое угловое зеркала, малые угловые зеркала играют роль секторов.

Таким образом, становится очевидной двойственность квадрата четвёртого порядка и природа этой двойственности ясна: квадрат разделяется на две половины, каждая из которых представлена двумя полярными секторами малого углового зеркала [5-b] и его отражениями в масштабе всей системы [6]. Далее одна из этих половин квадрата 4×4, включающая начальную клетку, будет именоваться центральной областью зеркальной системы [7], а группа клеток, составляющих другую его половину, периферийной областью зеркальной системы [8].

[6]

 

[7]

 

[8]

Итак, если внимательно проследить и учесть характер взаимоотношения этих двух групп клеток квадрата 4×4, то можно утверждать следующее: эти группы абсолютно равноценны, равнозначны и равноправны, как две во всех отношениях равные части квадрата, то есть его половины – не только количественно, но и качественно. Квадрат можно разделить пополам различными способами: горизонтальной плоскостью симметрии, или вертикальной. Можно придумать множество других, хитроумных способов. Разделение на центральную и периферийную области, это разделение квадрата при помощи зеркала, как бы изнутри – по границе «зеркальной двойственности» внутренней его структуры.

В популярной литературе, повествующей о магических квадратах, не уделяется сколько-нибудь серьёзного внимания клеточной сетке квадратов. Клетки, это вспомогательное средство и их наличие равно не является обязательным условием представления числовых квадратов, как не является недостатком их отсутствие. Важно не само по себе наличие клеточной сетки, а та роль, которая ей отводится, если уж сетка изображена. Традиционно, она используются с той лишь целью, чтобы подчеркнуть квадратную форму записи, чётко разграничить строки и столбцы квадрата, и т. п.

Здесь графический 16-клеточный квадрат рассматривается как схематическая модель системы угловых зеркал. Отсюда несколько иное «толкование клеток», независимо от того изображены они или только подразумеваются.

Разумеется, клетки должны быть заполнены числами (или хотя бы, подразумеваться заполненными), иначе что зеркалу отражать? Ведь само представление о графическом квадрате ассоциируется с моделью углового зеркала, прежде всего, по причине характерных взаимоотношений чисел, записанных в форме квадрата [5-a].

Числа могут быть записаны и без клеток. Но в любом случае – с сеткой, или без таковой, совокупность чисел в форме квадрата мы будем рассматривать, как объект, находящийся в зоне действия системы угловых зеркал, со всеми вытекающими отсюда следствиями и необходимыми оговорками. Под «следствиями» в данном случае надо понимать те закономерности взаимоотношений чисел внутри квадрата, которые обусловлены действием зеркала. «Оговорки» же заключаются в том, что в отличие от реального зеркала, его схема (клеточный квадрат) пассивна по отношению к объекту отражения (числам). Иначе говоря, запись чисел в форме квадрата – с клетками, или без таковых – отнюдь, ещё не гарантирует такого распределения их внутри квадрата, какое им могло быть придано реальным зеркалом. Схема служит лишь инструкцией, руководством по организации чисел в согласии с закономерностями зеркального отражения, руководством для нас, а мы – исполнители, уполномоченные действовать «от имени зеркала» (т. е., зеркальной системы, конечно.., когда это не принципиально, упрощения ради, будем говорить просто о «зеркале»).

Таким образом, схематическая модель системы угловых зеркал позволяет, с одной стороны, проанализировать готовый числовой квадрат с позиций двузеркальной симметрии, с другой стороны – производить с числами различные симметрические операции, обоснованные всё теми же закономерностями отражения.

Далее, в этом повествовании будут использоваться привычные для данной темы термины – квадрат, клетки, столбцы, диагонали и т. п., но наряду с этим, последние будут соотноситься с атрибутами углового зеркала – смежными и полярными секторами, боковыми и двузеркальными (центрально симметричными) отражениями, зеркальной точкой, центральной и периферийной группой клеток (чисел) и др., поскольку именно с позиций действия системы угловых зеркал, мы будем исследовать взаимоотношения чисел внутри квадратов.

В качестве первого объекта такого исследования рассмотрим совокупность чисел натурального ряда от 1 до 16, записанных в строки квадрата в естественной их последовательности, и представляющих собой ту «первоматерию», из которой строятся все, сколько их существует, традиционные магические квадраты четвёртого порядка. В отличие от магических, такой квадрат здесь будет именоваться натуральным.

Запишем этот квадрат [9-a] и разделим его по границе зеркальной двойственности, выявленной с помощью системы угловых зеркал, на группы центральных [b] и периферийных [c] чисел:

[9]

= +
a b c

Далее записываем два ряда чисел натурального квадрата, считывая их построчно с разделённых половин [9-b,c], и располагая ряды как отражения друг друга, относительно горизонтальной плоскости симметрии [10-I]; а также, центрально симметрично [10-II]. Во втором случае [10-II] нижний ряд условно можно считать отражением верхнего в полярном секторе углового зеркала, так как он претерпел двойное отражение – сверху вниз (по признаку расположения) и справа налево (по признаку направления записи чисел).

[10]

I  
II  

Числа левой половины записи [10-I] легко читаются в порядке возрастания по схеме, которую не трудно изобразить [11-I]. Приложив эту же схему к рядам, расположенным центрально симметрично [11-II], мы получим другой порядок следования чисел:

[11]

I  
II  

Попробуем, считывая четвёрки чисел двустрочных записей [11] по приложенным схемам, снова разместить их в строках квадратов.

[12]

I II
 

В первом случае, как и следовало ожидать, числа вернулись «на круги своя», то есть, к «форме и содержанию» натурального квадрата [12-I]. Что же касается следующего квадрата [12-II], то это один из традиционных магических квадратов, и первый, который мы нечаянно построили. Ну что ж, остаётся только поздравить себя с этим событием.

  1. Существует почти традиция начинать построение магических квадратов 4×4 с преобразования немагического квадрата такого же размера, заполненного числами от 1 до 16 в их естественном порядке (т. е., натурального квадрата – С.П.) Секрет этой традиции, по-видимому, состоит в том, что этот способ настолько прост, что не зная его, каждый придёт к нему самостоятельно. Вопрос только в том, сколько времени займут многократные и неудачные попытки. Оказывается, что задача решается (в одном только варианте), если поменять местами числа четырех пар: 2 и 15, 3 и 14, 5 и 12, 8 и 9...
    Полученный таким способом квадрат оказывается магическим, а сам способ — известным со времён Дюрера...

    (Е. Я. Гуревич, «Тайна древнего талисмана», стр. 28).

Опыт построения магических квадратов, действительно, приобретается ценой многократных и неудачных попыток. Но только в том случае, когда эти попытки предпринимаются наугад. Известному со времён Дюрера, способу построения магического квадрата и доныне не нашлось другого объяснения, кроме случайно обнаруженной закономерности: оказывается, что задача решается... если поменять местами числа четырех пар...

В свете представлений о системе угловых зеркал, закономерность эта ожидаемая, и задача решается ещё проще, «в два хода»: первый – дифференциация, или подразделение натурального квадрата на две половины – центральную и периферийную области; второй – взаимное центрально симметричное расположение половин, что значит обращение одной из них на 180° вокруг зеркальной точки – т. е., центра квадрата [13-b,с]:

[13]

  Ú  
a b c d
 

Угловое зеркало определяет симметрию и многие, если не все, свойства традиционных магических квадратов четвёртого порядка. Наши представления и выводы о существующей взаимосвязи между структурой традиционных магических квадратов и закономерностями «двузеркального отражения» были бы лишены смысла без всестороннего анализа в свете этих представлений самих квадратов. И хотя разработкой темы магических квадратов четвёртого порядка, занимались на протяжении веков многие именитые математики, и в настоящее время она негласно считается исчерпанной, мы должны возобновить эту работу, в связи с тем, что ранее применение углового зеркала в исследованиях числовых магических структур не практиковалось, и ответа на вопрос продуктивно ли это, не существует. И начнём с построения магического квадрата 4×4. Мы построим наш «первый магический квадрат» традиционным методом – путём преобразования натурального, но ключом к преобразованию будет принцип действия углового зеркала: так как квадрат фигура двумерная, то и операции с числами будут выполняться поэтапно, в двух измерениях.

Рисунок [14] иллюстрирует весь процесс преобразования:

    [I] – натуральный квадрат;

    [II] – промежуточный квадрат, полученный в результате симметричной перезаписи строк натурального [I]: ÚÙÙÚ

    [IV] – магический квадрат, полученный в результате симметричной перезаписи столбцов промежуточного [II]: ÜÛÛÜ

    Последовательность операций перезаписи – строк и столбцов (I-II-IV), или столбцов и строк (I-III-IV) – значения не имеет,
    результат один: магический квадрат [14-IV].

[14]

I II
Ú
Ü à Ü
Ú
III   IV
 

Если придерживаться логической связности изложения, следовало бы теперь описать методику построения остальных магических квадратов, а затем проанализировать их свойства, с позиций системы угловых зеркал. Но сама эта методика опирается на данные свойства, поэтому, вначале я расскажу об особенностях внутренней структуры квадратов и их разнообразии, в свете закономерностей «двузеркальной симметрии». После чего будет показано, как исключительно с помощью углового зеркала, не обращаясь к средствам алгебры, можно в массовых количествах строить магические квадраты 4×4 так же легко, как выпекать пирожки J.

Весьма полезным пособием в этой работе нам будет служить написанная математическим языком, замечательная книга о магических квадратах, в частности, четвёртого порядка, (Е. Я. Гуревич, «Тайна древнего талисмана», Москва, «Наука», 1969 г.), с которой мы будем сверять результаты наших нематематических изысканий.