Глава III. Тайна 432 древних талисманов


Казалось бы, – пишет Е. Я. Гуревич,*о магических квадратах с четырьмя клетками в основании уже давно всё известно...

* «Тайна древнего талисмана», изд. «Наука», Москва, 1969 г.

Почему «казалось бы»? Так и есть: всё известно. Хотя, впрочем, это нам теперь «всё» известно (не так ли?) – и во многом, благодаря книге «Тайна древнего талисмана» и её автору. Ведь не каждый любитель числовой магии имеет доступ к фондам Государственной библиотеки имени В. И. Ленина в Москве, где хранится «Общая таблица магических квадратов в четыре» французского академика Бернара Френикля де Бесси – ЕДИНСТВЕННЫЙ источник, содержащий, непосредственно, все экземпляры «живых» магических квадратов 4×4 (которые мы никогда не видели, но о которых нам всё известно J).

  1. Френикль был и остаётся единственным математиком, который вычислил и построил все 880 вариантов магических квадратов в 16 клеток.

    («Тайна древнего талисмана»).

Медленна поступь истории – замечает Е. Я. Гуревич – Но магия чисел не была забыта.
Она и теперь не забыта, но пик интереса к магическим квадратам, в особенности, к квадратам четвёртого порядка, похоже, миновал. Всё досконально рассмотрено, классифицировано, систематизировано, разложено по полочкам, снабжено бирками и укрыто под стекло; «теоретические» магические квадраты, так и не воплотившись в числа, стали экспонатами виртуального (от лат. virtualis – возможный) музея, наподобие «совкового» продовольственного магазина, где единственным «мясным продуктом» была красовавшаяся за витринным стеклом, броская вывеска: «Мясо».

Трудно представить себе натуралиста, который бы не хотел своими глазами увидеть редкую птичку, подержать в руке драгоценный самородок, собственным носом ощутить прелый запах листьев в лесной глуши или свежий аромат луговых цветов. Nature – не реестр, не каталог, даже не гербарий – это живая Природа. Если мне достаточно справочников и энциклопедий – я книжный жучок, а не naturalist.

Целые положительные числа, в естественной своей последовательности, возникающей из простого счёта, не случайно именуются натуральным рядом.
Отрезок натурального ряда, включающий первые 16 чисел, является базовой основой для построения всех традиционных магических квадратов 4 порядка.

Квадраты с четырьмя клетками в основании выгодно отличает от прочих их «разумное» количество. Магических квадратов 3×3 меньше, чем мало – всего один. Квадратов 5×5 уже слишком много. Магические квадраты 4×4 – единственный вид квадратов (кроме 3×3, конечно), доступных исследованию в полном своём составе: только их можно изучать и анализировать не по отдельным образцам, а целиком, весь массив, как изучают море, погружаясь в его глубины, хотя можно изучать его в лаборатории – по органическим окаменелостям, донным отложениям и пробам воды; но вряд ли из такой науки можно узнать, что такое море.

Подобным лабораторным методом можно изучать и магические квадраты. В распоряжении исследователя отдельные образцы, иногда даже семейства квадратов, сгруппированных по каким-то родственным признакам, и... алгебраические выкладки. Натуральные числа заменяются «искусственными», обобщающими алгебраическими символами.

Не ходите на озеро ранним туманным утром, чтобы издали понаблюдать за стаей диких уток. Зачем? Вот, в музее чучело, как живое – валяй, любуйся в удовольствие. Разве вы не верите, что на озере целая стая точно таких птиц?

Я безоглядно доверяю математикам, рассказывающим о восьми сотнях магических квадратов четвёртого порядка, их разновидностях и типах; и демонстрирующих для наглядности несколько образцов вкупе с алгебраическими расчётами. Но я никогда не видел такого количества, такой стаи квадратов своими глазами. А очень хотелось бы, ведь я натуралист. Кроме того, от исследователей-лаборантов может оказаться скрытым что-то важное, значительное (в рамках предмета, конечно).

Каждый магический квадрат индивидуален и неповторим, однако можно судить о многих, или даже обо всех по отдельности на основании изучения нескольких образцов. Но что можно сказать при этом обо всей массе квадратов, как единой числовой системе? Представляют ли они собой таковую? Ведь в «локальной магии» отдельно взятого квадрата трудно, да просто и невозможно увидеть другую магию – сложно переплетённой и одновременно поразительно стройной внутренней структуры числовой системы магических квадратов; системы, единство которой (правильнее сказать триединство, но это уже детали) будет разрушено, если изъять из неё хотя бы один квадрат. Или добавить!

И вот тут появляется если не проблема, то уж точно – интрига. Дело в том, что такая система существует. Или лучше сказать, существует способ организации магических квадратов в систему, с такой внутренней структурой, совершенная гармоничность которой не производит ни малейшего впечатления незавершённости...

Вначале, на основании некоторых наблюдений, появилось предположение о существовании такой системы, потом были выполнены практические шаги по её формированию, но когда структура массива квадратов окончательно проявилась, и стало понятно, что ни добавить к системе, ни отнять от неё ничего нельзя, я оказался в замешательстве, поскольку оказалось, что при этом не всё количество известных (из теории) квадратов вошло в неё. Квадраты, которых недоставало до теоретического их количества, в рамках обнаруженной системы «не имели права на существование», так как своим наличием они разрушили бы её. С другой стороны, мысль об ошибке, которая кем-то когда-то могла быть допущена и что ещё более невероятно, в течение веков могла оставаться незамеченной, была попросту противна уму. Ничего другого не оставалось, как только построить недостающие квадраты и мужественно признать собственную ошибку. C грустью взирая на обречённое «открытие», я приступил к их поискам. Может быть, – со слабой надеждой думал я при этом, – они займут где-то свою нишу, расположатся особняком, выполняя какую-то свою особую, автономную роль, не разрушая системы...

Квадратов я не построил. Казалось, очень старался быть беспристрастным; с честным желанием найти, искал их, но не нашёл. Тогда, подозревая себя в какой-то подсознательной предвзятости, обратился к знакомому программисту, поставил перед ним задачу – поискать с помощью компьютера. Тот написал программу, увлёкся, усовершенствовал программу, заставив компьютер самостоятельно генерировать магические квадраты и выполнять с ними немыслимые трюки, но искомых квадратов не обнаружил.

В странном ощущении лёгкого головокружения я был готов заподозрить временное расстройство рассудка; недоумение и почти страх смешались с безудержным ликованием: «Алгебра не устояла перед Гармонией!.. но нет, не может быть такого... бред какой-то...»

В течение года в местной библиотеке я ждал своей очереди на книгу Е. Я. Гуревич, «Тайна древнего талисмана», которую, наверное, учило наизусть всё окрестное население. Наконец, книгу мне выдали. Прекрасно разработанный материал «Тайны древнего талисмана» не оставлял желать лучшего – это то, что мне было так необходимо. Надо ли говорить с каким энтузиазмом принялся я за чтение! Детально выписаны все операции построения квадратов, преобразований одних в другие; последовательно, по цепочке двигаюсь к цели; вот, наконец, действие, которое меня интересует. Алгоритм преобразования прозрачен для понимания, как ясный день. Остаётся только применить его к числовым квадратам.

Применил. Алгоритм не работал...

* * *

Из чего складывается общее число магических квадратов? Прежде всего, из квадратов различных видов, известных с давних пор – таких, как симметричные (или ассоциативные), или ещё – совершенные; а также и других, не имеющих специальных наименований, но по каким-то общим для них свойствам, отличных от поименованных. Поставив перед собой задачу систематизировать сотни разрозненных квадратов, Е. Я. Гуревич за основу классификации принял внутреннюю их структуру, а именно: положение в квадратах симметричных числовых пар (чисел, равноудалённых от середины ряда 1-16 и характеризующихся одинаковой суммой, в Традиции* именуемых просто парами). Этот признак оказался продуктивным и позволил удачно организовать в группы беспорядочное скопление квадратов, характерное для таблиц Френикля.

* Поскольку «Специальной Теории Магических Квадратов» не существует (за исключением, может быть, только математического определения общего числа квадратов), а есть только устоявшиеся в сфере этих знаний традиции, то всю совокупность отношений, исторически сложившихся вокруг этой темы – взглядов, убеждений, мнений, решений и т. п., я так и буду именовать, одним словом – Традиция.

Таким образом, «Тайна древнего талисмана» даёт общее представление о подразделении массива квадратов на группы по типам, в зависимости от расположения в них числовых пар, и обозначенные автором классификации простой нумерацией – заключёнными в угловые скобки цифрами: <1>, <2>, <3> и т. д. Всего классификация Е. Я. Гуревича насчитывает 12 типов магических квадратов четвёртого порядка.

Вообще говоря, при классификации учитывались и другие признаки квадратов, при одинаковом расположении в них числовых пар. Так появились разновидности основных типов, которые я буду называть подтипами, хотя квадраты это не животные и не растения J (Подтип – подразделение типа [в классификации животных и растений] – Толковый словарь Т.Ф. Ефремовой). Можно было бы наименовать их вариантами, но слово это и без того здесь в ходу, и поэтому может внести путаницу; например, два квадрата различных подтипов, обязательно будут вариантами; но и один и тот же подтип, практически, в 99% случаев представлен квадратами-вариантами.

Прежде чем мы перейдём к более детальному анализу разновидностей магических квадратов, надо сказать о некоем универсальном способе (или методе) их отбора для исследований, позволяющем значительно облегчить работу со всей их массой. Правда, на практике оказывается, что для многих квадратов данный метод неприемлем. Так в чём же его универсальность?

Требования к традиционным магическим квадратам общеизвестны: квадрат считается магическим, если сумма чисел в его строках, столбцах и диагоналях соответствует постоянной, или константе квадрата данного порядка. Как правило, константу содержат и многие другие (иначе расположенные) четвёрки чисел квадрата. Но это обстоятельство не является решающим; для признания квадрата магическим необходимо и достаточно вышеназванных условий: постоянная в строках, столбцах и диагоналях. Среди необязательных свойств магического квадрата заслуживает внимания наличие константы в малых четырёхклеточных квадратиках, из которых он составлен – квадрантах, или, как я буду их здесь называть, составных четвертях («составные» – по аналогии с вагонами поезда – как принадлежащие составу квадрата).

Сумма чисел в составных четвертях магических квадратов может соответствовать или не соответствовать константе. Такое условие поддерживается Традицией. Между тем, целесообразность этой уступки сомнительна, поскольку она противоречит самой сути магических квадратов, «скрытой» непосредственно, в их названии.*
По меньшей мере, следовало бы провести какую-то грань между квадратами, внутренняя структура которых отвечает закономерностям зеркальной симметрии, и такими, в которых эти закономерности не находят полного своего выражения.

    * Что проявляется внешним образом, то должно было существовать отвлечённо, испокон веков, в первообразе, который отражался в так называемом, зеркале Maja индийской мифологии, откуда произошли выражения: magus (маг), magia (магия), magic (магизм), image (образ), imagination (воображение)... В новейшей теософии зеркало Maja называется вечным зеркалом чудес... [Я. Бёме].

    (Ч. У. Гекерторн, «Тайные общества всех времён и всех стран». Москва; «Терра»; 1995 г.)

Как видим, весь «лексический магизм» коренится в понятии зеркального отражения, и замечательно, что время не стёрло в памяти нынешних поколений такое выражение, как «магический квадрат». Пришедшие из «тёмной» древности и попавшие в руки, понятное дело, образованных людей, не мирившихся с ненаучными определениями, магические квадраты «сильно рисковали» утратить такой важный свой признак, как очевидную этимологическую связь с понятием зеркального отражения. Но по какой-то причине, ещё пол века назад бывший в ходу «безобидный» термин «волшебные квадраты», всё-же был вытеснен исконным их наименованием – «магические».

Универсальный метод отбора магических квадратов не подходит для тех из них, в составных четвертях которых сумма чисел не равна постоянной, т. е. константе. А лучше сказать, сами эти квадраты не подлежат отбору универсальным методом, поскольку их магические свойства «ущербны». Это обстоятельство диктует необходимость как-то обособить их в отдельный класс.

Не притязая на роль реформатора многовековой Традиции, сложившейся в связи с магическими квадратами, определю лишь свою позицию в этом вопросе, которой буду придерживаться далее. А именно: числовые квадраты, у которых сумма чисел в составных четвертях равна 34 (const), я буду называть правильными магическими квадратами, или просто магическими. Все остальные квадраты, у которых несмотря на наличие традиционных магических свойств, сумма чисел в четвертях не соответствует константе, я буду называть неправильными. В качестве объектов анализа, и даже простого обзора такие квадраты здесь использоваться, практически, не будут.

Надеюсь, такие наименования квадратов, как правильные или неправильные, никого не шокируют, поскольку имеют отношение не к геометрической фигуре, но к числовым группам, более или менее упорядоченным с точки зрения внутренней, числовой симметрии. Тем более, что назвать революционным это «нововведение» никак нельзя. Так, например, в «Математической смекалке» Б. А. Кордемского (девятое издание 1991 г.), на стр. 291 можно прочесть буквально следующее: «Магический квадрат четвёртого порядка будем называть правильным, если каждый из его четырёх составляющих квадратов является также магическим квадратом». Автор «Математической смекалки» применяет это название к нетрадиционным магическим квадратам, манипулируя с их «составляющими», которые не есть составные четверти 2×2, но... важен сам прецедент... (На самом деле и Б. А. Кордемский не первым употребил к числовым квадратам такое определение).

Теперь подробнее об универсальном методе отбора магических квадратов для исследований, анализа, определения их количества или для других целей. Звучит всё это загадочно и многозначительно, а на самом деле просто и бесхитростно. Метод заключается в ограничении исследуемого массива квадратов только такими, которые начинаются с одной и той же цифры, к примеру, единицы. Если принять такой квадрат за главный (кстати, такое наименование ему и определим, как у прописной буквы – заглавный), то ему всегда будут сопутствовать три «второстепенных». Конечно, последние ничуть не хуже заглавного и даже вполне равноценны, поскольку любой из них, в принципе, может служить заглавным. Пусть так будет, скажем, у других исследователей, но здесь мы отдадим эту роль квадратам, начинающимся единицей. Сейчас надо усвоить вот что. Если построить только заглавные магические квадраты, обозначенные в классификации Е. Я. Гуревича <1>, <2>, <3>, <4>, <5> или <6>, то сразу станет известным количество всех квадратов данного типа: оно будет равно числу заглавных, умноженному на 4. Почему? Всё очень просто: умножение на 4 производит угловое зеркало, прибавляя к исходному заглавному квадрату три его спутника – производных операции (подобно тому, как оно прибавляет три отражения пуговицы к одной настоящей, пришитой к пиджаку J). Действием зеркального умножения является, в данном случае, операция отражения составных четвертей квадрата; все 3 новых квадрата, полученные в результате такой операции, оказываются существенно различными (традиционный термин, определяющий степень различия квадратов, при которых они считаются разными, не повторяющими друг друга).

Рассмотрим этот вид преобразований на примере рисунка [1]. Здесь квадрат [a] исходный. Представим, что внутри составных четвертей (2×2) квадрата, разделяя их на секторы (клетки), располагаются угловые зеркала с отражающими поверхностями, обращёнными вправо и влево, вверх и вниз (см. [2/гл.II]). В квадрате [a] показано одно такое зеркало – в виде перекрестия из тёмных линий – только для первой составной четверти (клетки красного цвета). Каждую из четырёх составляющих этого перекрестия, можно рассматривать как схематическое изображение двусторонней зеркальной поверхности, или плоскости симметрии, которая соотносится, также, с осью симметрии.

  1. Осевая симметрия.
    Пусть плоскость разделена прямой S на две полуплоскости. Если теперь повернуть одну полуплоскость вокруг прямой S на 180°, то все точки этой полуплоскости совместятся с точками другой полуплоскости.
    Прямая S называется осью симметрии.
    Ввиду того, что точки на перевёрнутой полуплоскости находятся в зеркальном положении по отношению к их первоначальному положению, это переворачивание называют также зеркальным отражением.

    (В. Гильде, «Зеркальный мир»).

Если в роли таких «полуплоскостей» в квадрате [a] рассматривать вертикальные пары клеток первой четверти квадрата, то по наличию или отсутствию в этих клетках символов, можно видеть, что они не являются взаимными отражениями. Но преобразования квадратов, основанные на зеркальной симметрии в том и заключаются, чтобы заставить работать пассивную зеркальную систему; так, если повернуть эти пары клеток на 180° вокруг разделяющей их вертикальной линии (оси симметрии), то они примут вид как в квадрате [b]. Это действие можно рассматривать как операцию «принудительного» зеркального отражения вертикальных пар клеток двусторонним зеркалом, или в целом – как отражение одиночным зеркалом всей четверти квадрата [a], потому что теперь все их точки (в квадрате [b]) находятся в зеркальном противоположении (пустые клетки тоже подверглись отражению).

Проведём простой опыт. Положим на стол раскрытую книгу, пусть она символизирует четверть квадрата, а страницы выполняют роль вертикальных пар клеток. Поставим на книгу зеркало ребром вдоль линии, разделяющей страницы. В отражающей поверхности мы увидим отражение страницы, которая как бы переместилась на другую половину книги. Повернём зеркало отражающей поверхностью к другой странице. Её отражение, также, переместится, по отношению к реальной странице. Попеременным отражением страниц мы смоделировали действие двустороннего зеркала. Мысленно «сложив» вместе увиденные отражения страниц, получим изображение в точности такое же как и при однократном отражении одиночным зеркалом всей книги.

[1]

a b
Ú
ÜàÜ
Ú
c  d
 

В результате операции отражения вертикальные пары клеток взаимно переместились (имеется ввиду не в другой квадрат, а в другие секторы зеркала, хотя... и в другой квадрат тоже). Это полезно взять на заметку: взаимную перестановку в квадрате каких-то двух элементов его структуры (двух чисел, двух строк, столбцов и т. д.) всегда можно отождествить с операцией зеркального отражения.

Аналогичные действия выполнены и с другими четвертями квадрата [a]. В итоге, вертикальные пары клеток всех четырёх четвертей исходного квадрата зеркально переместились (взаимно отразились), образовав квадрат [b].

В квадрате [b] показано как стало после отражения; если показать это непосредственно, в квадрате [a], то он попросту исчезнет, так как это будет уже не исходный. Поэтому, результат операции всегда иллюстрируется другим квадратом – так появляются либо новые варианты, либо повторы исходного.

Примечание: в зависимости от характера преобразования, перемещение чисел в другой квадрат может выполняться и с сохранением исходного их состояния, т. е., без отражения. Но и такие «незеркальные» операции, как ни странно, обусловлены зеркальными закономерностями, и при встрече с ними, будут объяснены.

Итак, составные четверти исходного квадрата отражены слева направо, или справа налево, иначе говоря, в горизонтальной плоскости. Если подвергнуть их ещё одному отражению, но уже в другой плоскости, то есть, сверху вниз [b] Ú [d], то будет получен новый квадрат [d], каждая составная четверть которого ориентирована уже центрально симметрично, относительно её положения в исходном квадрате.

Другая последовательность операций отражения четвертей – сначала сверху вниз [a] Ú [c], а затем слева направо [c] Ú [d], приводит к аналогичному результату: новый квадрат в смежном секторе [c], и уже упомянутый [d] – в полярном.

Приведу теперь пример отражения угловым зеркалом четвертей числового (магического) квадрата. Далее, на рисунке [2] заглавный квадрат [a] – исходный; остальные, все три его «четвертные» отражения – боковые (в смежных секторах) и центральное (в полярном секторе) – новые магические квадраты.

Действие угловых зеркал в этом преобразовании выполняется в каждой четверти исходного квадрата, однако схему их отражений удобнее «обобщить», обозначив одним большим перекрестием линий, разделяющих квадраты. Важно только не забывать о том, что схема углового зеркала здесь условная, и не подразумевает отражения целиком квадратов.

[2]

a b
c d
 

Итак, имея один (заглавный) квадрат [2-a] некоторого типа, мы мгновенно построили ещё три, принадлежащие к тому же типу (в данном случае <2>). Теперь, для того, чтобы изучить свойства этих четырёх квадратов [2], достаточно отобрать для исследования только один из них, например, заглавный, поскольку ни единого свойства сверх тех, что присущи ему, кроме другой расстановки чисел, не приобрели полученные в результате преобразований квадраты [b,c,d]; ни одного из них они не утратили. Даже числовой состав четвертей, строк и столбцов у всех четырёх квадратов идентичен (что касается диагоналей, то здесь имеет место их «свёртывание и развёртывание», превращение главных в «не главные» (ломаные) и наоборот, но ни на внутреннюю структуру (тип), ни на числовую симметрию квадратов это преобразование не оказывает никакого влияния.

Универсальность метода отбора заключается в том, что он приложим к магическим квадратам любого типа внутренней структуры (но только к правильным магическим квадратам).

Возможность выполнения таких операций с правильными магическими квадратами, с сохранением в производных основных свойств исходного, обусловлена тем, что все они симметричны. Это не то, что традиционно имеют ввиду, говоря об особой группе симметричных квадратов (типа <1>), к которой принадлежит, к примеру, квадрат Дюрера, или два «первых» магических квадрата, построенных в предыдущей главе, получивших это наименование из-за внешней центральной симметрии чисел, составляющих симметричные пары.

В правильных квадратах в группах клеток, составляющих наиважнейшие, с позиций симметрии, подразделения квадрата – половины и четверти, сумма чисел одинаковая (константа для четвертей и удвоенная константа для половин); это является следствием и показателем их внутренней, числовой симметрии – правильные магические квадраты, повторюсь, внутренне симметричны.

Другое следствие этой симметрии – единый для всех правильных магических квадратов результат зеркального обращения их четвертей, то есть – новые квадраты. Таким образом, и метод отбора квадратов (возможность ограничения их при изучении только заглавными), и операция зеркального обращения четвертей, позволяющая получить три новых квадрата из одного a Ú b Ú d;  a Ú c Ú d [2], обязаны своей универсальностью свойствам самих квадратов, но подчеркну ещё раз – только правильных магических квадратов.

Если сумма чисел в составных четвертях квадрата не равна 34, как на рис. [3], где изображён один из неправильных традиционных магических квадратов [a], то это уже делает его асимметричным, но этого мало. Дело в том, что числа прямоугольных ломаных диагоналей (к примеру, в красных клетках квадрата [a], или в жёлтых) в неправильных магических квадратах никогда не составляют в сумме константу 34. И когда в результате операции зеркального отражения четвертей ломаные прямоугольные диагонали «разворачиваясь», превращаются в главные, вновь полученный квадрат утрачивает одно из обязательных свойств магических квадратов – постоянную сумму чисел в главных диагоналях, то есть, оказывается немагическим [3-b].

Таким образом, внутренняя (числовая) несимметричность неправильных магических квадратов делает невозможными преобразования их с помощью основополагающих операций зеркальной симметрии. Между тем, «несимметричный» и «магический» – понятия едва ли совместимые.

[3]

a b
 

Зеркальное отражение четвертей – одна из самых простых внутренних симметрических операций, приводящих к умножению числа квадратов. Кроме «внутренних» операций отражения – половин, четвертей и других дробных частей, применяются и внешние – полные отражения и боковые повороты квадратов (на 90°). Полученные таким способом «новые» квадраты традиционно не учитываются, и это справедливо (хотя не всегда целесообразно), поскольку при этом просто многократно тиражируется исходный квадрат.  Е. Я. Гуревич приводит в своей книге пример такого тиражирования квадрата пятого порядка, называя производные невариантами – этот, введённый Гуревичем термин, в том же смысле, будет использован и здесь.

Ниже, на рисунке [4-А] представлен пример полного отражения квадрата в угловом зеркале. В группе 'Б' объединены их «боковые» неварианты (группа 'А' превращается в группу 'Б' при повороте её целиком на плоскости на 90°). Итого, семь невариантов одного исходного квадрата. Следовательно, каждый магический квадрат существует, как бы «в 8 лицах». Так принято считать в Традиции. И это, как будто бы, подтверждается наглядным примером [4]. Но не всё так однозначно. Если внимательно присмотреться к группам 'А' и 'Б', то можно заметить, что между собой они не просто различаются «градусом ориентации», но соотносятся как отражения смежных секторов ещё бльшего углового зеркала.

[4]

A)
a b
c d
Б)
e  f
g h

Это становится очевидным на рис. [5], где представлен вариант размещения групп 'А' и 'Б' в секторах углового зеркала. Полная картина отражений складывается из двукратного умножения 8 традиционных невариантов одного квадрата.

[5]

 

Можно сгруппировать неварианты квадрата иначе. На следующем рисунке [6] из них сформированы группы 'В' и 'Г', в каждой из которых подразумевается такая же схема углового зеркала, как и на предыдущем рисунке (т. е., более естественная, с X-образными границами секторов). В отличие от групп 'А' и 'Б' на рис. [4] здесь [6] особенно наглядна характерная ориентация квадратов в смежных секторах в каждой их четвёрке (90°). Обе группы, и 'В' и 'Г' представлены как центрально симметричными близнецами, так и боковыми невариантами (здесь и на рис. [4] одинаковыми строчными буквами обозначены одни и те же квадраты).*

* Здесь, на рис. [6] два квадрата – [e] и [a] как раз иллюстрируют такие боковые неварианты, с которыми удобно работать, так как оба квадрата заглавные.

[6]

 a 
В  
 e
   
 d 
 b 
Г  
 g
   
 c 

Группы 'В' и 'Г' являются взаимными полными отражениями (в обеих плоскостях), и так же, как 'А' и 'Б', представляют собой только половину целостной картины симметрии. Завершённый вид придают ей отражения четырёх секторов углового зеркала большего масштаба:

[7]

 

Что же даёт нам этот анализ растиражированных повторов одного магического квадрата?

Магический квадрат представляет собой самодостаточную, завершённую, с точки зрения симметрии, числовую конструкцию, внутренняя структура которой согласована с принципами действия углового зеркала. Но сама зеркальная симметрия не «заперта» внутри квадрата, она существует и за его пределами. Симметрия, в одном из аспектов этого понятия, есть принцип построения сложных гармоничных систем из менее сложных и совсем простых. Это наблюдается, к примеру, в росте кристаллов, и т. д. Не останавливается она и на единичном квадрате, который может быть зеркально умножен. Во сколько же раз? Ответ, наверное, уже понятен: в число раз, кратное четырём.

Завершённость, свойственную отдельному квадрату, мы можем видеть и в зеркальной системе большего масштаба: к примеру, в схеме преобразований [2]. Или в каждой из групп 'А', 'Б', 'В', или 'Г', и хотя здесь речь идёт о невариантах, однако и они появляются не случайно, а по всем «правилам игры». И по тем же правилам эти, относительно сложные системы, могут быть ещё более усложнены... И так далее.

Итак, принято считать, что магический квадрат может быть представлен восемью зеркальными близнецами (взаимными невариантами). Это верно, может. Однако, ограничиться ими, означало бы остановиться на полпути к формированию полной картины отражений углового зеркала, которой для завершённости необходимо все «16 лиц» исходного квадрата [5,7]. Любая из групп – 'А', 'Б', 'В', или 'Г', по отдельности представляет собой целостную картину отражений, «усложнять» которую лишь вдвое, с позиций симметрии углового зеркала, некорректно.

Вообще, что такое неварианты? Пустое дело – повторы. Тем не менее, и при их подсчёте не стоит забывать о том, что само их существование нельзя представить вне симметрии (четырёх!) отражений углового зеркала. А поэтому, если уж учитывать их, то разумно остановиться на «четырёх лицах» одного квадрата (и лучше, в виде группы 'В', имеющей исходным заглавный квадрат, и включающей квадраты с различной ориентацией строк и столбцов), в которых потенциально заключено любое их множество, даже «неразумное», получаемое с помощью зеркала. Как «разумный» максимум, это могут быть 16 невариантов – результат первого умножения, рождённых угловым зеркалом, первых четырёх близнецов.

* * *

Подсчёт общего числа магических квадратов 4×4 – задача сегодня уже не актуальная, количество их давно определено и никем не оспариается. Но так как в этой работе часть их выделена в особый класс правильных, то естественным представляется и желание установить, какова эта часть в количественном выражении. Для этого воспользуемся информацией «Тайны древнего талисмана», и прежде всего, с целью выяснить обстоятельства странного недоразумения, связанного с квадратами (а именно, типа <6>), о котором было упомянуто выше, и которое ждёт своего разрешения.

Опустим выполненные автором «Тайны древнего талисмана» алгебраические расчёты, а также, описание последовательности действий над числами при построении квадратов первых четырёх типов, и перейдём сразу к типу <5>. Вот эти квадраты, в классификации Е. Я. Гуревича – тип <5>:

Как таковых, этих квадратов в книге Е. Я. Гуревича нет. Магические квадраты в «Тайне древнего талисмана» представлены в единичных примерах, как в числовом, так и в обобщающем, алгебраическом виде.

[8]

<5>
1
2
3
4
5
6
 

Не так уж много, всего 24. Тем не менее, чтобы легче было ориентироваться в этом скоплении, квадраты распределены в группы (горизонтальные ряды) по признаку одинаковых цифр, расположенных вслед за единицей.
Как не трудно догадаться, здесь представлены только заглавные квадраты данного типа.
Сколько же их всего? Легко подсчитать: 24 × 4 = 96.
А у Гуревича? Обратимся к «Тайне древнего талисмана»:

  1. После этого возникает возможность совсем просто получить квадраты типа <5>.
    Перестановкой средних рядов из квадрата <4I> получается квадрат <5I>; а из <4II> получается <5II>.
    Общее число квадратов <5> поэтому равно 96. (А у Френикля? Также 96).

    (Е. Я. Гуревич).

Итак, 96 квадратов типа <5>. При желании, их можно построить, выполнив соответствующие симметрические операции с 24 заглавными квадратами. Время, которое придётся на это затратить, будет определяться только скоростью письма, поскольку образец операций представлен на рис. [2], а из него следует, что «строить» здесь, собственно, нечего.

Столько же насчитывается и квадратов типа <4>, из которых путём перестановки средних рядов получены квадраты типа <5>. А вот квадратов <1>, <2> и <3> по 48. Из них, расчёт числовых комбинаций, – здесь это означает «комплекты» четвёрок чисел для строк и столбцов – выполнены Е. Я. Гуревичем только для квадратов типа <1>. Далее, путём перестановок тех или иных рядов, из квадратов одной группы им были получены квадраты других типов. Схематически этот процесс можно отобразить следующим образом:

<1> (48)  Ú  <2> (48)
<2> (48)  Ú  <3> (48)
<2> (48)  Ú  <4> (96)
<4> (96)  Ú  <5> (96)

Увеличение вдвое квадратов типа <4> против числа исходных для них квадратов <2> происходит за счёт различного размещения внутри квадрата некоторых, одинаковых комплектов чисел. Останавливаюсь на этих подробностях пока только для того, чтобы объяснить появление в цитированном выше извлечении из «Тайны древнего талисмана» таких обозначений групп квадратов, как <4I>, <4II>, <5I>, <5II>.  Верхний индекс в нумерации этих типов как раз и обозначает варианты квадратов с различным распределением в них одних и тех же числовых комбинаций. Это подтипы – подразделения основных типов, иначе говоря, <4I> + <4II> = <4>. Соответственно, и группа 24 заглавных квадратов [8] включает как подтипы <5I>  так и <5II>.

Способ построения квадратов <6> так же прост, как и предыдущих типов: квадрат <6> получается путём преобразования квадрата <5>. Снова обратимся к «Тайне древнего талисмана»:

  1. На очереди преобразование квадратов <5> в квадраты <6>, но симметричная перестановка рядов здесь непригодна. Можно подобрать несимметричную перестановку. Достаточно поменять местами третью и четвертую строку и одновременно третий и четвертый столбец. При этом получаются два магических квадрата типа <6I> и <6II>, по 48 вариантов каждого типа.

    (Е. Я. Гуревич).

Практически, одновременную перестановку на письме двух строк и пары столбцов квадрата выполнить достаточно сложно (если прежде не подсмотреть готовый результат), поэтому преобразование осуществляется в два приёма. Тогда, быть может, имеет значение очерёдность операций? Можно попробовать начать со строк, или столбцов. В итоге выясняется, что последовательность действий не имеет значения. Ниже на схеме [9] отображены обе операции, выполняемые в различной очерёдности и приводящие к одному результату:

[9]

 

Построенные таким образом квадраты типа <6>, также, подразделяются на подтипы <6I> и <6II>, общее их количество 48 + 48 = 96 (повторяю вслед за Е. Я. Гуревичем). Из них заглавных, так же, как и <5>, естественно, 24:

[10]

<6>
1
2
3
4
5
6
 

Казалось бы, всё закономерно и ожидать каких-либо «сюрпризов» просто неоткуда. Но далее (в продолжение предыдущей цитаты), в «Тайне древнего талисмана» следует роковая фраза:

  1. Магические квадраты <6I> и <6II> можно ещё раз преобразовать симметричной перестановкой средних рядов. При этом получаются новые магические квадраты такой же структуры и в таком же количестве — по 48 вариантов. Общее количество магических квадратов типа <6> оказывается равным 192.

    (Е. Я. Гуревич).

Сказано – сделано: выполняем перестановку в квадрате <6> средних рядов. Для эксперимента возьмём, в качестве исходного, квадрат <6>, полученный в результате предшествующей операции преобразования <5> Ú <6> [9-b]; он же – первый в группе 24 построенных заглавных квадратов <6> [10]:

[11]

 

Следуя логике рассуждений, можно ожидать, что полученный в результате преобразования квадрат [11-b], в соответствии с алгебраическими расчётами автора «Талисмана», положит начало новой группе 24 заглавных квадратов типа <6>, включающей подтипы <6III>  и  <6IV>.

В свою очередь, операция отражения четвертей, выполненная с каждым из этих квадратов, доведёт их число до 96 и в итоге получится «как у Гуревича» – 192 квадрата типа <6>.
Но... предательский квадрат! Он не создаст новой группы! – Потому что он уже входит в «старую».
Взгляните на рисунок [10] – здесь он первый во втором ряду [№2-a].

Впрочем, его участь разделяют и все остальные квадраты этой группы. Будучи «ещё раз» преобразованы, они благополучно превращаются друг в друга, не рождая ни одного, на самом деле нового. Квадраты, переходящие друг в друга в результате перестановки средних рядов, расположены в группе [10] один под другим в 1 и 2 рядах, 3 и 4, 5 и 6.

В чём же причина этой досадной неувязки? В просчётах автора «Талисмана»? Но неужели эта задача из тех, на которых математики «ломают зубы»?

По иронии обстоятельств, раньше, чем эти вопросы прозвучали, на них уже ответил сам Е. Я. Гуревич. Вот три фрагмента из его книги, которые даже «выхваченные» из контекста, дают достаточно ясное представление о «строптивом нраве» магических квадратов.

  1. При пробных расчётах не раз оказывалось, что сумма чисел ряда будет равна 34 только в том случае, если в свободную клетку вписать число, равное уже записанному в другой клетке, или большее, чем 16, или равное нулю, или даже отрицательное. Хорошо, если бы такие случаи были исключением, но практика показывает иное: исключениями оказываются удачно законченные расчёты.
  2. Оказались пригодными только 24 комбинации. Однако, как только началось cопоставление пригодных комбинаций друг с другом, оказалось, что половина из них повторяет другую половину.

    (Глава 2, «Чёрная работа»).

  1. Удивляться приходится не исключениям, а тому, что их так мало. Зная коварный характер магических квадратов и их обычное стремление выскользнуть из под опеки правил, можно было бы ждать большего числа исключений.

    (Глава 2, «Греческие буквы Френикля»).

На этом неожиданности, связанные с квадратами <6> не заканчиваются. Более того, на этот раз они поджидают и самого Е. Я. Гуревича. Определив количество квадратов типа <6> числом 192, он сверяет свои результаты с таблицами Френикля:

  1. А у Френикля? Что такое?..
    У Френикля число квадратов этого типа равно не 192, а 304, на 112 квадратов больше.
    (...)
    По-видимому, надо искать какие-то таинственные квадраты <6V>...

    (Е. Я. Гуревич).

«Таинственные квадраты» <6V>, конечно же, были найдены, причём как раз в таком количестве, которого не доставало. Но это квадраты уже с иными свойствами, или наоборот, с отсутствием свойств, присущих всем предшествующим квадратам – сумма чисел в их четвертях не соответствует константе, – то есть, неправильные квадраты. То же относится и к квадратам всех последующих типов: <7>, <8>, <9>, <10>, <11>, <12>.

Может быть, к числу неправильных следует отнести и «неуловимые» <6III> и <6IV>?

Хотя Е. Я. Гуревич прямо не настаивает на том, что сумма чисел в составных четвертях этих квадратов должна быть равной 34, то есть, что они правильные в нашем понимании, это однозначно вытекает из их описания в «Тайне древнего талисмана» (гл. «Греческие буквы Френикля»). Так, автор «Талисмана» отмечает в числе свойств квадратов <6III>, <6IV> «хорошие разломанные прямоугольные диагонали».*

* В данном случае «хорошие» означает, что числа разломанных прямоугольных диагоналей в сумме составляют константу.

Это забавное определение, предполагает, в частности, способность квадратов сохранять константу в главных диагоналях при зеркальном обращении четвертей* – свойство, которое реализуется только в правильных магических квадратах, и которым обладают не 192, а только 96 квадратов типа <6>.

* см. пример квадрата [3-a] с «нехорошими» разломанными прямоугольными диагоналями.

Весь массив 880 магических квадратов 4×4 условно разделён на две неравные части – 528 и 352 квадрата. Это отмечает в своей книге Е. Я. Гуревич, ссылаясь, в свою очередь, на Фридриха Фиттинга – немецкого математика (который "чисто теоретическими рассуждениями, не построив ни одного квадрата, экономно и красиво доказал, что число этих магических квадратов равно 880" — Е. Я. Гуревич). Автор «Тайны древнего талисмана» отмечает некоторое различие в признаках, по которым он и Фиттинг проводят это разделение, но при этом не акцентирует внимания на отличительных свойствах, присущих, правильным и неправильным (в нашей терминологии) квадратам. Мы должны сделать такой акцент: эта граница достаточно заметна по ряду признаков именно потому, что отделяет правильные магические квадраты от неправильных и, кроме того, пролегает она в несколько «ином месте».

96 квадратов, обозначенные <6III>, <6IV> не найдены. Где же они? Пока их нет, но может быть, они ещё найдутся?
Однако, существует триединая система симметрии магических квадратов, которая в них «не нуждается», или говоря осторожнее, сильно снижает вероятность обнаружения их среди правильных магических квадратов. И цифра 528, поэтому, должна быть уменьшена на 96. 528 - 96 = 432.  Число правильных магических квадратов – 432.

432!.. Очень неожиданно!

Заглавные (магические правильные) квадраты составляют четверть от общего их количества и тогда тех, что начинаются с единицы, должно быть 108.

А если вести подсчёт вместе с невариантами – зеркальными отражениями в угловом зеркале, не прибавляя ничего сверх этого, то есть, представляя каждый квадрат не в восьми, и не в шестнадцати экземплярах, а в четырёх (!), то в итоге получим число 1728 (432×4).

Итак, 108, 432, 1728...

Пусть вопрос о более корректном способе учёта невариантов сохраняет спорный характер; однако, будем ли мы умножать вдвое, втрое, вчетверо, или восьмикратно число заглавных правильных магических квадратов (108), или всех, существенно различных (432), вышеозначенный ряд 108, 432, 1728 просто пополнится ещё другими, кратными меньшему из этих трёх, числами...

Для тех, кому эти числа ни о чём не говорят, процитирую небольшой отрывок из книги А. А. Горбовский, «Факты, догадки, гипотезы» («Знание»; Москва, 1988 г.)

  1. Согласно древнеиндийской традиции, космический цикл Вселенной состоит из четырёх эпох: Крита Юга — 1728000 лет, Трета Юга — 1296000 лет, Двапара Юга — 864000 лет и Кали Юга, или "чёрный век", — 432000 лет
    (...)
    ...одна из клинописных табличек Шумера содержит число 195.955.200.000.000. Что могло означать оно? Потребовался сложный ход мысли, чтобы обнаружить истину. Она оказалась проста.
    Шумеры, от которых мы унаследовали деление времени на секунды, минуты, часы, продолжительность суток иногда выражали через секунды — 86400 секунд. Число, названное выше, делится, оказывается, на эту цифру без остатка. Полученные 2268 млн. дней, если их перевести в годы, содержат ровно 240 таких циклов по 25920 лет. Мы не знаем, зачем понадобилось шумерским астрономам выразить эту закономерность таким сложным образом, через секунды. Не знаем, почему было взято именно такое число циклов — 240. Единственное, что можем мы узнать из этого расчёта, что в Древнем Шумере была известна эта астрономическая величина — период перемещения оси вращения Земли по круговому конусу.
    В других случаях величина эта, тоже завуалированная, бывает скрыта не в такой степени. Так, в храмовых библиотеках Ниппура и Сиппара все таблицы, посвящённые делению и умножению, основываются на числе 12960. Лишь тот, кто знал время оборота звёздного свода, мог догадаться, что число это — не что иное, как 25920:2.
    Наряду с десятеричной в Шумере бытовала и шестидесятеричная система счисления. И сейчас, разделяя пространство на 360°, а время на 60 секунд, мы продолжаем традицию, пришедшую к нам с берегов Евфрата. Исходным шестидесятеричной системы счисления был "сосс" = 60. Если полный период обращения звёздной сферы, 25920 лет, разделить на "сосс", то мы получим число 432. Запомним его. И посмотрим, где ещё встречается это число.
    В древнейшем индийском эпосе "Махабхарата" и в Ведах говорится о космической эпохе, продолжительностью в 3600 священных лет, по 12000 лет каждый. Следовательно, всего в космической эпохе 432000 лет. Это... Кали Юга, или "чёрный век". Другие эпохи космического цикла тоже включают в себя, оказывается, эту величину. Крита Юга имеет длительность 1728000 лет (432000×4). Трета Юга — 1296000 лет (432000×3) и т. д.  "Великий год" Платона, 36000 лет, заключает в себе ту же величину: 36=432:12
    Число 432 буквально пронизывает различные величины, которые упоминают древние — величины, выражающие не только время, но и пространство. Величины, которые восходят к разным цивилизациям — к Индии, Греции, Египту, Шумеру, к нордическому и исландскому эпосу. Это как бы ключ, знак единого источника. 108 колонн в буддийских храмах, 108 бусинок в чётках буддистов восходят к тому же числу (108×4=432)
    Рамен, единица длины Древнего Египта, составляет 1/108000000 окружности Земли... Греческий стадий, другая единица Древнего мира, равнялась 1/216000 окружности нашей планеты (216×2=432)...
    Это же число находим и в текстах вавилонского жреца Бероза (период царствования царей до потопа продолжительностью 432000 лет).
    В исландском эпосе, в повествовании о космической битве богов и антибогов говорится о 540 дверях. Из каждой выходит по 800 воинов. Задавшись вопросом, сколько было всего воинов, мы получим 432000.
    Самая ранняя и самая поздняя даты, упоминающие это число, отстоят друг от друга на 20-25 веков. Следовательно, всё это время и на всём пространстве (от Индии до Исландии) существовала какая-то преемственность — и хранители этой преемственности, скрытые, неведомы никому.

    (А. А. Горбовский).