Глава IV. Три зеркальные системы


В первой главе «Тайны древнего талисмана» Е. Я. Гуревич делает обзор литературы, посвящённой магическим квадратам и представляя свою работу, подчёркивает её доступность для читателей, не искушённых в математике, или, выражаясь избитым штампом, для широкого круга читателей.

  1. ...способ анализа, его форма, его сложность, не представляющие трудности для математиков, могут стать препятствием для неспециалиста. Уже сказано в одном случае, что книга о магических квадратах, написанная на основе теории сравнений, требует от читателя довольно высокой математической культуры. Однако немало книг написано без аппарата теории сравнений. Пусть эта книга будет одной из них.

    (Глава 1, «Развлечение или наука?»).

Пожелание исполнилось. Книга доступна неспециалисту. И однако же, читающим не от скуки «Тайну древнего талисмана», придётся-таки поломать голову над некоторыми алгебраическими выкладками, если только вчера они не окончили школу с золотой медалью, или не сделали математику своей профессией.

Способ анализа и построения магических квадратов, основанный на действии углового зеркала не требует даже поверхностного знакомства с алгеброй, можно даже не знать этого слова. В наших исследованиях царствует не алгебра. Гармония – вот кто «царица бала», «из-под опеки» которой не в силах вырваться ни один магический квадрат, если только он магический.

Сопоставляя магический квадрат со схематической моделью системы угловых зеркал, нельзя не заметить полного соответствия между такой моделью и внутренней структурой квадратов первых трёх типов, в классификации автора «Талисмана». Симметричные пары расположены в этих квадратах так, как если бы числа находились в полярных секторах угловых зеркал, причём в каждом случае, различных размеров (или лучше сказать, различной конфигурации) – 4×4 клетки;  2×2  и  3×3 клетки [1]. В каждом случае на рисунке цветом подчёркнуты по две из восьми таких пар, или по одному малому угловому зеркалу.

Кроме числовых обозначений <1>, <2>, <3>, и т. д., внутреннюю структуру квадратов автор «Талисмана» условно обозначает и графически – миниатюрными изображениями схем расположения симметричных пар. Переходя от квадрата <2>, к построению квадрата <3>, Е. Я. Гуревич пишет:
«Все ли возможности исчерпаны для преобразования магических квадратов 4×4 перестановкой рядов? Остаётся ещё одна: одновременная симметричная перестановка средних рядов... в квадрате имеющем структуру '4 косых креста'. Она удаётся и даёт новый магический квадрат, обладающий третьей по счёту структурой. Её графическое изображение содержит, как оказывается, также 4 косых креста, но большего размера, чем у предыдущего. Если вглядеться в рисунок структуры, обладающей полной центральной симметрией, то и здесь имеются 4 косых креста, но трёх размеров. Оказывается, что недостаточно указать количество крестов и то, что они косые. Важен их размер. Но такие названия были бы неудобны» (стр. 39).

[1]

<1> <2> <3>
<6> <4>  <5>
   
 

Действительно, «недостаточно указать количество крестов»: расположение симметричных пар явно указывает на то, что организация чисел в квадратах этих типов соответствует симметрии «двузеркального отражения», и кажется загадочным тот факт, что автор «Тайны древнего талисмана», сделавший объектом анализа и классификации магических квадратов их симметрическую структуру, проходит мимо квинтэссенции собственных исследований.
Многое не разрешалось в Советскую эпоху, но запрета на угловое зеркало не было. Практически, в каждом доме (квартире) в числе предметов мебели был и трельяж. Да и кто в детстве не «экспериментировал», хотя бы с осколками разбитого зеркала... Может быть, симметрия «двузеркального отражения», это и есть один из тех кладов, что запечатаны пломбой очевидности?

Характер размещения симметричных пар в квадратах <4>, <5> и <6> несколько иной, однако, после всего, что было сказано об «устройстве» углового зеркала, можно без колебаний оценивать внутреннюю структуру этих квадратов, также, с позиций действия зеркальной системы.

В квадратах первых трёх типов числа организованы в строгом соответствии с действием зеркальных систем трёх разных конфигураций. Проще говоря – в соответствии с одним из трёх типов зеркальных систем.
Квадраты первых трёх типов, в этом смысле, можно назвать идеальными, или безупречными. Или более прозаично – квадратами строгого соответствия (подразумевая под этим соответствием некий единый для их внутренних структур и зеркальных систем «стандарт» симметрических закономерностей).

В квадратах типов <4>, <5>, <6>, судя по расположению симметричных пар, это соответствие нарушено. Симметричные пары занимают здесь не полярные секторы, как это должно быть «в идеале», а перемещены в смежные секторы. Такое нарушение не влечёт ещё «тяжёлых последствий», но за ним угадывается тенденция к постепенному убыванию магических свойств квадратов, по мере «удаления» их от безукоризненного ядра – 144 правильных магических квадратов строгого соответствия, иными словами, по мере отклонения их внутренних структур от зеркальных закономерностей.

Заключение, как будто бы, верное. Действительно, существуют ещё неправильные магические квадраты, а за их «пределами» можно вообразить сколь угодно много других, числа которых вообще лишены какой бы то ни было упорядоченности, кроме внешней квадратной формы записи.

И всё же, такой вывод, применительно к квадратам <4>, <5>, <6>, не безоговорочен.
Кажется, у них другое предназначение, чем быть второсортными представителями зеркально симметричных числовых конструкций – если правильно определить их «природу», они оказываются «на своём месте» не менее безупречными, чем квадраты строгого соответствия.
Почему их в два раза больше, чем квадратов первых трёх типов (заглавных – по 96 против 48 каждого из типов строгого соответствия)?
Это мы скоро узнаем, а пока предлагаю решить небольшую головоломку. Вот схема углового зеркала с обозначениями секторов a, b, c, d. Количество всех секторов, безотносительно к их взаимному расположению, равно четырём. Если же мы придадим им определённый статус, сколько среди них окажется полярных и смежных?
Считаем парами: полярные – ad  и  bc; смежные – ab, cd, ac, bd. Смежных в два раза больше...

Магические квадраты <4>, <5>, <6>, внутренняя структура которых заметно отличается от строения квадратов первых трёх типов, я буду называть нестандартными.

Почему на рисунке [1] они расположены не в порядке нумерации (нижний ряд), и не в соответствии с конфигурацией малых угловых зеркал?

Конечно, их следовало бы расположить в какой-то закономерности. Например, по возрастанию «размеров» малых угловых зеркал системы, которые чётко просматриваются в квадратах каждого типа, и соответственно их пронумеровать. Но так как классификация и обозначение квадратов уже состоялись, и при этом за основу классификации нечаянно был принят, фактически, признак принадлежности квадратов к той или иной зеркальной системе, то остаётся либо принять установленный порядок: квадраты типов <2> и <4> с «зеркалами» 2×2 клетки; <3> и <5> – 3×3 клетки и, наконец, <1> и <6> – 4×4 клетки, либо вносить в него путаницу. Первое, несомненно, предпочтительней.

Итак, если ранее путём опыта и наблюдений мы пришли к выводу о том, что организация чисел в магическом квадрате 4×4 обусловлена действием нескольких, а точнее, четырёх угловых зеркал, то теперь, на примере квадратов, принадлежащих к трём первым типам, можем видеть, что квадраты различаются и по типу зеркальных систем, действию которых подчинены их числа – именно c тремя первыми типами квадратов следует отождествлять типы зеркальных систем, которых, разумеется, тоже три. Далее, на рисунке представлены схемы этих трёх зеркальных систем, с обозначениями соответствующих им типов квадратов.<1>, <2> и <3>.

[2]

 <1>  <2> <3>
   
   
 

В среднем ряду [b] на рисунке [2] красным и жёлтым цветом обозначены полярные секторы центральной области каждой из трёх систем угловых зеркал; в нижнем ряду [c] синим и зелёным цветом – полярные секторы периферийной области. Образно говоря, между этими областями зеркальных систем, центральной и периферийной, пролегает граница их зеркальной двойственности.

Не следует забывать о том, что малые угловые зеркала систем, «в собственных пределах» (2×2), также, составлены парами полярных секторов центральной и периферийной областей, хотя на схемах рисунка [2] обозначены общим цветом.

Малые зеркала в системе <2> изолированы (каждая четвёрка секторов малого углового зеркала – как отдельная, изолированная квартира, хотя и состоящая из четырёх «смежных комнат», а вся система, как «четырёхквартирный дом»); это тип зеркальной системы, в прямом смысле слова, составленной из четырёх угловых зеркал, поэтому ей подойдёт наименование дискретная.

Зеркальная система <1> – прямая противоположность типу <2>, угловые зеркала здесь должны мыслиться полностью наложенными друг на друга: у всех четырёх малых угловых зеркал этой системы единая зеркальная точка (центр квадрата). Практически, показать их на схеме одновременно (все четыре) невозможно; поэтому при выполнении различных операций симметрии (например, при взаимном перемещении пар столбцов, или пар строк), они теснятся в прокрустовом ложе квадрата, «свёртываются» и «развёртываются», искажая при этом свою правильную форму (на рис. [2] не искажена форма только одного углового зеркала, с секторами-клетками жёлтого цвета).* С позиций внутренней симметрии, однако, структура системы <1>, которую лишь приближённо, условно удаётся отобразить на схеме, самая правильная, самая гармоничная; не случайно квадраты типа <1> получили в Традиции отличительное наименование симметричных. Систему угловых зеркал <1> я назвал интегральной.

* В приведённой выше цитате из «Тайны древнего талисмана» говорится о «4 косых крестах» в рисунке «структуры, обладающей полной центральной симметрией» (<1>), «но трёх размеров». На рис. [2] – левый столбец квадратов – это хорошо просматривается: в квадрате [b] – два зеркала разного размера (клетки красного и жёлтого цвета), и в квадрате [с] также, два, но одинаковой конфигурации (размера), хотя и ориентированные по-разному. Соединив полярные секторы в этих четырёх малых угловых зеркалах отрезками прямой, мы и получим графическое изображение структуры «4 косых креста трёх размеров». Но автор «Талисмана», подбирая пиктограмму для квадратов этого типа, отказывается от крестов, предпочитая для обозначения их структуры «кружок в квадратной рамке с точкой в центре». С зеркальной точкой углового зеркала!!! Эх, Ефим Яковлевич! Это называется «наступать на приметы», не замечая их...

Система угловых зеркал типа <3> в этом отношении занимает среднее положение, здесь так же, как и в системе <2>, четыре зеркальные точки, но зеркала не изолированы, их секторы частично, как бы перекрывают друг друга (подобно игральным картам «веером» в руках игроков). При выполнении некоторых симметрических операций (например, при отражении составных четвертей, и т. д.) её малые зеркала, так же, как в системе <2>, сохраняют конфигурацию (не «свёртываются» и не изменяют «размер»). Ещё одна любопытная особенность системы <3> в том, что линии, разделяющие секторы (линии «пересечения» зеркал), не совпадают с линиями клеточной сетки квадрата. Системе угловых зеркал типа <3> я присвоил наименование веерной.

В дальнейшем наряду с полными названиями зеркальных систем будут использоваться и сокращённые (аббревиатуры):
дискретная зеркальная система – дзс
интегральная зеркальная система – изс
веерная зеркальная система – взс
либо просто зеркальная система – зс

Схему любой зс, так же, как и любой квадрат можно поместить в зону действия углового зеркала. В этом случае зс войдёт, как «содержимое» сектора, в ещё более сложную систему зеркал. На следующем рисунке [3] в зоне действия углового зеркала схемы дискретной и веерной систем. Обе они, в отличие от изс асимметричны и образуют законченный (симметричный) рисунок только вкупе с тремя своими полными отражениями.

[3]

<2> <3>
 

В магических квадратах кроме основных свойств, можно выделить множество четвёрок чисел, содержащих константу. На рисунке [4] в квадратах-схемах подобраны такие сочетания секторов малых угловых зеркал, в которых четвёрки чисел в квадратах строгого соответствия дают в сумме 34 только в обозначенной системе. Причина этой уникальности ясна: равнозначная, по «статусу» секторов, их комбинация (в примере [4] в каждом ряду), обуславливающая постоянную сумму расположенных в них чисел, в разных зс имеет различную конфигурацию (в квадратах – схему размещения чисел).
Такие различные обстоятельства необходимо учитывать при выборе способа преобразования того или иного квадрата, однако, трудностей при этом, как правило, не возникает, поскольку полное тождество между структурой квадрата и «его» зеркальной системой всегда очевидно.

[4]

 <1> <2>  <3>
   
   
 

На рисунке [5] в схемах дзс и взс цветом выделено по одной паре полярных секторов всех четырёх угловых зеркал центральной и периферийной областей. Комбинации (сочетания) секторов в разных системах, сумма чисел которых постоянна, часто совпадают (сравните, например, четыре клетки при вершинах, или в центре квадратов-схем верхнего ряда на рисунке [5-b,c]).

[5]

<1> <2>  <3>
a b c
   
d e f
 

Повторюсь: на рисунке [5-b,c,e,f] в схемах цветом выделено по одной паре полярных секторов малых угловых зеркал дискретной и веерной систем. При этом выделенные клетки в целом образуют в квадратах форму (конфигурацию) центральной [а] и периферийной [d] областей интегральной системы. Это можно истолковать как следствие универсальности внутренней структуры интегральной системы, но не только...

Между тремя зеркальными системами существует множество примечательных закономерностей. Эти, пока малоприметные с виду, признаки некой взаимозависимости, или общности трёх зс, в действительности являются следствием их фундаментального свойства – единства, которое, как вскоре мы убедимся, проявляется практически, во всех операциях с числами квадратов, и очень часто весьма неожиданным образом.

Малые зеркала зеркальных систем служат инструментом внутренних преобразований магических квадратов.

Прежде уже отмечалось, что зеркальная система по отношению к числам квадрата пассивна. Числа могут быть записаны в клетки квадрата в строгом соответствии с любой из зс, или с нарушением их закономерностей. Мы можем констатировать подобные факты, и тогда это будет элементом анализа структуры «готовых» квадратов. Но мы можем, также, влиять на расположение чисел, изменяя его по своему усмотрению, не выходя, правда, за рамки закономерностей симметрии «слишком далеко». Тогда это будет преобразованием квадратов...

Наше повествование всё более приобретает характер некоего методического пособия: новые термины, стоящие за ними новые понятия, нетрадиционный взгляд на привычную атрибутику магических квадратов.., кажется, пора всё это обобщить, путём введения ещё одного термина – теория. Пусть это будет «Теория зеркальных систем». Будущее покажет, насколько оправдано это нововведение, – послужит ли новая теория конструктивной основой для работы с магическими квадратами, или окажется только претенциозным прожектом её автора, фикцией...

Преобразование квадратов с помощью зс осуществляется двумя основными методами.
Первый заключается в комплексном действии на числа всех малых угловых зеркал системы; иллюстрацией такого преобразования может служить рис. [2/гл.III].*

* Теперь можно согласовать это преобразование с «Теорией зеркальных систем». Составные четверти квадрата совпадают с малыми угловыми зеркалами дискретной зеркальной системы, поэтому «операция отражения четвертей» является ни чем иным, как операцией комплексного действия её угловых зеркал. Комплексное действие означает участие в операции всех четырёх малых угловых зеркал системы или, что одно и то же, всех четырёх её секторов.

Другой метод предполагает избирательное (частичное) применение малых угловых зеркал системы – в таких операциях, как правило, не участвует сектор системы, включающий единицу. Это позволяет получать новые квадраты такого же типа, как исходный, или другого, но всегда заглавные.
Представление об избирательном применении зеркал системы может дать опыт построения первого магического квадрата.

Под построением «первого» магического квадрата подразумевается «решение задачи с нуля», когда для этого не используется уже готовый другой магический квадрат. Первый магический квадрат обычно строится путём преобразования натурального квадрата, либо каким-то другим способом. К примеру, можно записать четвёрки порядковых чисел натурального ряда 1-16 в две строки по симметричной схеме, затем перевернуть одну из строк справа налево и по той же схеме прочитать/записать первый магический квадрат [11,12/гл.II].

Ранее мы уже строили магический квадрат путём преобразования натурального, причём двумя способами. В первом случае преобразование осуществлялось с помощью операции зеркального обращения периферийной группы его чисел; во втором – симметричной перезаписью строк и столбцов [13,14/гл.II].

Рассмотрим теперь оба эти способа, как результат действия изс.

Ниже, на рисунке [6] изображён натуральный квадрат [a], помещённый в зону действия углового зеркала. Обозначения отражающих пластин (перекрестия) призваны нагляднее передать изменения, которые происходят в квадратах в процессе их преобразований, но в секторах зеркала не полные отражения квадратов; действующими следует подразумевать малые (внутренние) угловые зеркала систем самих квадратов. Причём не все – действие зеркальной системы в данном случае избирательно («частичное»): в операциях отражения участвуют только два малых угловых зеркала, секторы которых обозначены в квадрате [a] синим и зелёным цветом. Но принцип тот же, что и при комплексном действии зеркал [2/гл.III], т. е., упрощённо можно говорить о перемещении с одновременным отражением содержимого упомянутых секторов в другой квадрат. Это один способ преобразования, эквивалентный зеркальному обращению периферийной группы чисел натурального квадрата [13/гл.II]. Итог операций – магический квадрат [d]

Производные операции в смежных секторах условного углового зеркала [b,c] не являются в этом преобразовании магическими квадратами, они лишь иллюстрируют промежуточные этапы операции. В принципе, из схемы преобразования их можно было исключить. Но данная иллюстрация призвана, во-первых, обосновать действием углового зеркала способ построения первого магического квадрата, «известный со времён Дюрера», а во-вторых, детализировать операцию обращения на 180° периферийной группы чисел исходного квадрата, то есть, разложить общую операцию на «составляющие» её, отражения секторов периферийной области зс. Поэтому, схема преобразования приводится здесь в полном виде.

[6]

a b
c d
e f
g h

Во втором случае преобразования натурального квадрата [6-e], в операциях отражения участвуют три угловых зеркала системы <1>, но применение их ограниченно. Числа одного из секторов центральной области (жёлтого цвета) отражаются дважды, в двух измерениях; периферийные – однократно, каждая четвёрка чисел «своим» зеркалом, и только в одной плоскости (на втором этапе преобразований [f]Ú[h], [g]Ú[h] числа вписываются в итоговый квадрат уже без отражения). Это другой способ преобразования, эквивалентный симметричной перезаписи строк и столбцов натурального квадрата [14/гл.II]. Итог операции – магический квадрат [6-h].

Приведённые примеры [6] избирательного действия системы угловых зеркал несколько нетипичны, так как отражения чисел выполнялись здесь в натуральном квадрате. Далее будут рассмотрена универсальная зеркальная операция преобразования магических квадратов. В деталях действия с числами в квадратах разных типов различаются, что обусловлено различием конфигураций зеркальных систем, к которым они принадлежат, но сам приём работы с числами общий для квадратов любого типа: это единообразное избирательное действие зеркальной системы.

Вообще говоря, «избирательное действие» для реального зеркала – нонсенс. В реальности зеркало бесстрастно отражает, например, несколько предметов, не делая исключений ни для одного из них, поэтому, по поводу такого «искусственного» его применения могут иметь место «смутные сомнения...» Рассеять их помогает правильное отношение к действию углового зеркала в реальности, и к функциям его, по сути, числовой схемы. В магических квадратах числа являются, скорее, не объектами отражения, а воплощением, или олицетворением закономерностей зеркала, демонстрируя их в различных вариациях, то есть, закономерности отражения в любом из секторов зеркала, затем различные сочетания отражений, и т. д. Другими словами, сами числа в зспервичны. Но это уже «философия» J.

Каждый из подобных способов по-своему универсален, если может быть применён к квадратам разных типов. Но только один из них, как самый востребованный, будем именовать универсальной зеркальной операцией – по признаку единого алгоритма действий с числами квадратов. Подробное его описание приводится ниже.

Итак, первый пример применения универсальной зеркальной операции – к квадратам строгого соответствия [7].

Квадраты в четвёрочных группах разделены перекрестиями, которые как и в предыдущих иллюстрациях [6], не являются схемой большого углового зеркала, это как бы «собирательный образ», или «общий знаменатель» зеркальных систем каждого из четырёх квадратов. Суть операции не нова, но всё же, ещё раз перескажу порядок перемещения/отражения чисел. Нагляднее всего сделать это на примере квадрата <2>.

На рис. [7-а] в исходном заглавном квадрате секторы зеркальной системы (или её малые угловые зеркала) окрашены различным цветом (подобная цветовая схема применяется и в квадратах других типов). Исходный сектор центральной области, включающий единицу, в операции не участвует, сохраняя первоначальное положение. Во всех квадратах он не окрашен (или серого цвета; если в квадратах такой же цвет имеют другие секторы, это означает, что они также, не были задействованы на данном этапе операции и числа в них не перемещались).
Другой, полярный сектор центральной области окрашен в жёлтый цвет и два полярных сектора периферийной области имеют один синюю, другой зелёную окраску.
Полярные секторы периферийной области по отношению к секторам центральной области являются смежными. Повторяюсь, но сейчас это важно, так как хотя обе области равны во всех отношениях, но центральная избрана как бы отправной (один из её секторов исходный), поэтому операции в секторах периферийной области должны выполняться, именно как в смежных секторах углового зеркала.

Наверное, схема перемещения/отражения чисел разных секторов понятна из самой закономерности действия углового зеркала, но в двух других зс это не так наглядно, поскольку малые угловые зеркала в них не совпадают с составными четвертями квадрата, как в дискретной. Поэтому, чтобы лучше усвоить порядок действий над числами, полезно применить такое мнемоническое правило: в правом смежном секторе (синий цвет клеток) числа отражаются справа налево; в нижнем (зелёные клетки) – снизу вверх. Числа полярного сектора (жёлтый цвет клеток) отражаются вместе с числами смежных секторов, и справа налево, и сверху вниз, в итоге – центрально симметрично. Алгоритм операции сохраняет силу в четвёрке квадратов, при выборе любого из них в качестве исходного.

Труднее распознать, где «правый», а где «нижний» сектор в интегральной системе – четвёрка квадратов [7-c].
При более естественном положении схемы углового зеркала нижний, это полярный сектор центральной области, а смежные располагаются слева и справа [3/гл.II]. Квадрат, в его привычном виде не соответствует естественному положению схемы, но если мысленно повернуть его на плоскости, по часовой стрелке, на 45°, он примет вид ромба, и тогда смежные секторы окажутся слева и справа (соответствие им зелёного и синего цвета в квадрате <1> легко определяется, если единица вверху: тогда слева зелёная клетка, а справа синяя). На практике, делать этого не стоит, иначе придётся все квадраты выставлять в непривычной для глаз «позе», и кроме того, перестанет работать мнемоническое правило. Лучше запомнить, что нижним здесь назван сектор, на самом деле левый (во всех квадратах зелёного цвета).
Впрочем, усвоить алгоритм универсальной зеркальной операции будет ещё легче, если вовсе не думать о том, «правая-левая где сторона». Смежные секторы (вместе с полярным) всегда «переворачиваются» в сторону исходного (в сторону единицы).

[7]

 a 
b c
 

Итак, преобразование этим единым способом одного квадрата строгого соответствия позволяет получить из него ещё три новых, существенно различных квадрата того же типа, что и исходный.

В нестандартных квадратах универсальная зеркальная операция выполняется по «сокращённой схеме», которая не включает отражения смежных секторов условного углового зеркала. Если выполнить с числами нестандартного квадрата те же действия, что и в квадратах первых трёх типов [7], то будет получен только один новый магический квадрат; в группе из четырёх квадратов он располагался бы по диагонали от исходного (в полярном секторе). Два другие оказались бы немагическими, поэтому из схемы преобразований они исключены.

На рис. [8] представлены примеры получения новых нестандартных квадратов в процессе выполнения в одном из них универсальной зеркальной операции. Как и в случае с квадратами строгого соответствия, операция обратима: каждый из пары квадратов может служить исходным для другого.

[8]

  <4>  
у
  <5>     <6>  
у   у
       

В рассмотренных примерах [7,8] показано, как из одного магического квадрата могут быть получены новые, принадлежащие к тому же типу, что и исходный, путём преобразования последнего в зс, которую он сам и представляет, то есть, в «своей» зеркальной системе.
Универсальность данного преобразования распространяется дальше: новый магический квадрат может и не принадлежать к типу исходного, если тот был преобразован в другой, «не родной» ему зеркальной системе.

В следующей группе изображений приведены примеры взаимного превращения квадратов двух различных типов при преобразовании в зс, к которой не принадлежит ни один из пары. Важно! – расцветка квадратов на рис. [9,10] не соответствует их типу, но той зс, по схеме которой выполняются отражения чисел. По сути, это всё та же универсальная зеркальная операция, но с наложением на квадрат схемы не свойственной ему зеркальной системы.

Наложение на квадрат цветовой схемы, не свойственной ему, сторонней зеркальной системы, может преследовать разные цели – не обязательно преобразование, но к примеру, анализ распределения чисел «на фоне» другой системы. Но как в одном, так и в другом случае, цветовая схема выполняет только вспомогательную роль, подчёркивая (и таким образом напоминая) особенности внутренней структуры зеркальных систем.

[9]

[10]

<1> <2> <6> <4>
у у
<1>   <3> <6>   <5>
у у
<2>   <3> <4>   <5>
у у

Таким образом, между квадратами <1>, <2> и <3> можно построить цепочку преобразований любой последовательности, при которой квадрат одного типа легко превращается в аналогичный [7], либо другого типа [9]. То же относится и к нестандартным квадратам [8,10].