Глава VI. Триединая система симметрии


К вопросам симметрии можно отнести и такую незамысловатую задачу, как разделение некоторой фигуры на две одинаковые части (половины). Для геометрического квадрата можно найти множество способов её решения, самые простые из которых, это разделение пополам «вдоль» и «поперёк». В магическом квадрате задача приобретает совершенно иное звучание: как разделить пополам совокупность чисел, чтобы в каждой половине сумма чисел была одинаковой – здесь речь идёт уже о внутренней, числовой симметрии. Найти множество способов такого разделения помогает особенность размещения чисел в магическом квадрате: для этого достаточно разделить числовой состав квадрата на две половины, включающие равное количество симметричных пар.
Нам известен такой способ, когда граница разделения квадрата пролегает между центральной и периферийной областями зеркальной системы.
Традиционный способ построения первого магического квадрата основан на зеркальном обращении половины симметричных числовых пар натурального квадрата.
Так что же такое симметричная пара в числовом квадрате?
Это пара чисел, равноудалённых от середины отрезка натурального ряда 1... 16. Но не только этой внешней симметрии они обязаны своим наименованием. Все такие пары характеризуются одинаковой (постоянной) суммой составляющих их чисел, в этом смысле все такие пары и сами одинаковые. Передать эту их «одинаковость» и призван более благозвучный термин «симметричность».
Казалось бы, в этих традиционных условностях всё логично и понятно. Хотя при желании к ним можно «придраться». Возьмём две симметричные пары 1-16 и 2-15. Если принять условие, что понятие симметричности здесь имеет отношение к числовой величине, то как расценивать несимметричность отдельных чисел, из которых составлены пары (из четырёх чисел никакие два не равны между собой)? Симметрия возникает только от сочетания отдельных (одиночных) чисел.
Не ощущается ли во всём этом некой недосказанности, маскирующей абсурдность традиционных представлений? Особенно после ознакомления с внутренней структурой зс.
В самом деле, с позиций зеркальной системы, 1-16 и 2-15, это не только пары, условно наименованные симметричными из-за одинаковой суммы их чисел, но в каждой паре это два числа, расположенные в полярных секторах углового зеркала, следовательно одно из них является безусловным зеркальным отражением другого.
Как же 16 может быть отражением единицы?!
Речь, разумеется, не идёт о цифрах. Число характеризуется не внешним графическим символом, его обозначающим, а определённой величиной. А величины у чисел 1 и 16, отнюдь, не рождают ассоциации с зеркальными близнецами.

Разрешить это противоречие может только не-традиционный взгляд на магические квадраты – числа магических квадратов обозначают точки и, одновременно, НОМЕРА этих точек. Точка №16 легко мыслится, как отражение точки №1.

Эта прямая связь внешней симметрии точек с постоянной суммой их номеров является «инструментом записи информации», скрытой в магических квадратах (кавычки означают образный смысл фразы), а ключ к расшифровке этой информации, он настолько прост, что догадаться о нём... почти невозможно.

Когда-то много лет назад в детской книжке встретилась мне подобная (по простоте) загадка. С тех пор, при удобном случае, я всегда загадывал её и детям и взрослым, и никто никогда не дал правильного ответа на неё.
Загадка звучит так: «почему охотник зайца ищет?» Если вы самостоятельно разгадаете её, смею вас уверить в том, что вам, простите, «по зубам» любые тайны Мироздания.

Итак, чтобы разгадать тайну магических квадратов необходим ключ. Можно ли его «вычислить»?
Будем рассуждать.
Чем мы запираем дверь своей квартиры? Очевидно, ключом. А отпираем? Тем же ключом. Но вращаем его в обратную сторону, не так ли?
Если информация в магическом квадрате «записана» при помощи симметрии, то что будет «обратным вращением ключа» (обратно, значит наоборот!)? Конечно же, асимметрия!

Очевидно, что на роль «антипода» абсолютно симметричной числовой пары может претендовать лишь столь же абсолютно асимметричная пара порядковых чисел натурального ряда. Последовательные пары порядковых чисел 1-2, 3-4 и т. д., это и есть ключ к дешифровке магических квадратов.

Принцип «записи информации» с помощью симметрии можно изобразить примитивной схемой. На рисунке [1] изображён натуральный квадрат [a]. Что в нём «записано»? 8 пар порядковых чисел, следующих друг за другом, или восемь отрезков прямой, если объединить такие пары графически [b]. Это «белый шум», «гомогенная первоматерия» ещё не сотворённого мира (мира магических квадратов, конечно!), «латентное состояние необъективированной потенции».

[1]

a b
 

Квадрат [2-a] – магический. В ходе симметрического преобразования натурального квадрата – зеркального обращения группы чисел периферийной области изс, – половина чисел-точек переместилась; при этом в квадрате автоматически «записалась некоторая информация». Как прочесть её, т. е., дешифровать?

Снова объединим пары порядковых чисел-точек при помощи отрезков прямой: 1-2, 3-4, 5-6... [b].

[2]

a b
 

Затем, соединяя в замкнутый контур соответственные отрезки прямой в квадрате, мы получим эскиз некоторого «двойственного» геометрического изображения... Хотите ли сказать, что эта «информация» бессмысленна?

[3]

 

Таким образом, пары порядковых чисел в магических квадратах приобретают значение не меньшее, чем симметричные пары. И если последним было уделено достаточно внимания, то асимметричные числовые образования магических квадратов – пары, четвёрки и половины, представленные порядковыми числами, пока ещё совершенно не изучены. Каковы закономерности взаимоотношений этих чисел в зеркальных системах?

Магический квадрат достаточно сложная конструкция, поэтому для анализа какого-то из его свойств, в целях упрощения поставленной задачи, разумно дифференцировать квадрат, то есть, раздробить его, разделить. Первый, самый грубый вид дифференциации, это разделение на две части (половины).
Если нас интересуют порядковые числа, то такими половинами магического квадрата будут клетки с числами от 1 до 8, и от 9 до 16.
Операция разделения по этому числовому составу, выполненная во всех правильных магических квадратах, даёт неожиданный результат – всего три варианта распределения в квадратах внутренне асимметричных групп чисел 1... 8 и 9... 16. На рисунках [4-6] схемы этих трёх вариантов изображены в двух разных плоскостях каждая. По сходству с чем-либо из обыденности «картинкам»-схемам можно придумать названия:

[4]

 

[5]

 

[6]

ВИЛКА ЗИГЗАГ ВАЗА

Итак, 432 квадрата шести типов – и только три «картинки»!

Очевидно, что существуют какие-то правила, ограничивающие варианты расположения в квадратах асимметричных групп чисел.
Не нужно обладать феноменальной прозорливостью, чтобы догадаться: эти правила продиктованы закономерностями зс.
Что можно сказать об отделении чисел 1... 8 от остальных 9... 16, с точки зрения зеркальных закономерностей?
Граница разделения этих групп должна разрывать связи симметричных пар. А это значит, что каждое из одиночных чисел (1... 8) разъединённой пары должно находиться по одну сторону зеркала, а составляющее с ним симметричную пару (9... 16), по другую его сторону.
Если это так, то три картинки [4-6] должны отображать разделение и самих зеркальных систем на две половины, причём не грубо-механическое разделение, а ювелирно-точное: каждое из малых угловых зеркал должно быть разделено на две пары секторов, то есть каждая из половин системы должна включать по два сектора от всех четырёх составных угловых зеркал, в которых разместятся первые 8 чисел, тогда как другую их половину займут числа 9... 16 – отражения первых 8 чисел.
Как вы полагаете, к какой из трёх типов зс имеет отношение каждая из картинок – вилка, зигзаг, ваза?

Не гадайте!
Ниже, на рис. [7-9] изображены «точечные» схемы трёх зс и по шесть схем (по три картинки в двух плоскостях для каждой системы) разделения каждой из них на «ювелирно-точные» половины – все схемы разделения зс отвечают предположенному условию: каждая из них включает по два сектора всех четырёх малых угловых зеркал системы. Если вы ценитель эстетики изящных комбинаций, анализ этих схем, и даже простое их разглядывание, доставит вам большое удовольствие.

[7]

<1>

 
 


[8]

<2>

 
 


[9]

<3>

 
 

Теперь понятно, почему вариантов распределения в квадратах асимметричных групп чисел 1... 8 и 9... 16 так мало – это распределение обусловлено сложным строением внутренних структур зс.

Каковы же правила, диктующие столь жёсткие условия распределения в магических квадратах асимметричных групп?
Рассмотрим это на примере асимметричной пары чисел 1-2. Могут ли эти числа в магическом квадрате, быть отражениями друг друга? Очевидно, что принципиально не могут, даже если это номера точек; по определению не могут, поскольку составляют асимметричную пару. А ведь в магическом квадрате что ни клетка, то сектор углового зеркала – тяжело приходится асимметричным парам!

Проанализируем подробнее варианты размещения этой пары чисел в зеркальных системах. На рисунке [10] в цветовых схемах заглавных квадратов всех шести типов (включая обе разновидности нестандартных) возможные варианты расположения двойки обозначены чёрными «точками» (затушёванными кружочками). Цветовые схемы зс нестандартных квадратов отображают их структурные особенности, выявленные при их построении пошаговым методом [19-27/гл.IV]. В дальнейшем оказалось удобным применять изменённые цветовые схемы при построении этих квадратов методом заготовок [17/гл.V].

[10]

<1> <2> <3>
   
a b c
     
<6I>  <4I> <5I>
   
a' b' c'
     
<6II>  <4II> <5II>
   
a'' b'' c''
 

Сейчас этот приём не может быть признан целесообразным. Ведь любой квадрат может быть представлен и своим двойником (боковым невариантом), в котором столбцы становятся строками, и наоборот (двойка в таких невариантах может оказаться в другой клетке, также обозначенной «точкой», или переместиться в одну из тех, что заполнены полыми, незатушёванными кружочками). Если в невариантах изменять (переворачивать) и цветовые схемы, то их число скоро превысит разумное количество, а ведь зс всего три. Поэтому, вместо того, чтобы умножать число «нестандартных схем», рассмотрим закономерности размещения асимметричной пары 1-2 в трёх зс, независимо от возможной ориентациии квадратов (различной для боковых невариантов), и их «структурных особенностей».

Поскольку в зеркальной системе любые два сектора являются, в конечном итоге, близкими или дальними (опосредованными) отражениями друг друга, то практически, такого положения для двойки, при котором она не являлась бы отражением единицы, в квадрате вообще нет. Тем не менее, существует некоторое допущение, компромисс, ограничение на запрет. Так и мы, все люди – дети Адама и Евы, но при этом на Земле заключаются браки.

Итак, в квадратах строгого соответствия [11] не встречается число 2 в общей с единицей, центральной области системы – ни в клетке, окрашенной в красный цвет (секторы исходного зеркала), ни в одной из тех, что помечены белыми крестиками (полярный сектор центральной области).

Не может двойка находиться и в секторе периферийного зеркала, если этот сектор расположен на одной линии с заглавным (с единицей), соответствующие клетки помечены чёрными крестиками.

Допускается только непрямое зеркальное родство секторов малых угловых зеркал, в которых может находиться асимметричная пара (порядковых) чисел-точек. В итоге оказывается, что для размещения двойки в заглавных квадратах строгого соответствия доступны четыре сектора, принадлежащие периферийной области каждой из зс.

На рисунке [11] возможные положения двойки в квадратах обозначены разноцветными точками. При этом, для двойки, находящейся в квадратах <1>, <2>, <3> ближе к единице обозначением служат «точки», окрашенные в соответствующие цвета секторов – синий и зелёный. Для более удалённой двойки – «точки», окрашенные в родственные по спектру цвета – фиолетовый и жёлтый.

[11]

<1> <2>  <3>
 

Преобразование квадратов строгого соответствия в нестандартные «переселяет» двойку в другие секторы. Рисунок [12] отображает результаты такого переселения, здесь изображены схемы размещения двойки в квадратах соответствующих типов. Схемы для каждого типа нестандартных квадратов представлены в двух экземплярах, это необходимо, чтобы отобразить все возможные положения двойки, включая и те клетки, в которые она попадает неоднократно (дважды).
Цвет «точек» в схемах для нестандартных квадратов соотносится с их цветом в исходных квадратах строгого соответствия. Одинаковый цвет «точек» наглядно отображает миграцию двойки; так, проследить за перемещением двойки в одном из вариантов её расположения, при преобразовании квадратов строгого соответствия в нестандартные, можно на примерах [19-27/гл.IV]. Двойка в исходных и построенных квадратах в этих примерах соответствует точкам фиолетового цвета на рис. [12].

[12]

<1>  <6> <6>
  +
a b c
     
<2>  <4> <4>
  +
a' b' c'
     
<3>  <5> <5>
  +
a'' b'' c''
 

Как видно из рисунка [12] в половине случаев двойка в нестандартных квадратах «нарушает запрет» на нахождение в секторах общей с единицей (центральной) области зс («точки» в клетках с тёмно-синим фоном). Подобные отклонения от зеркальных закономерностей естественны для симметрии квадратов «не-строгого соответствия», т е., нестандартных.

На следующем рисунке [13] разрешённые для двойки секторы заполнены в квадратах-схемах «точками», окрашенными в цвета, принятые для обозначения этих секторов. «Точки» (разного цвета) в каждой системе занимают все шесть разрешённых секторов; и суммарно, «точек» любого одного цвета во всех трёх зс шесть – по одной в каждом из разрешённых секторов; равновесие в распределении двойки между секторами трёх зс очевидно.

[13]

<1> + <6>  <2> + <4>  <3> + <5>
 

Но это так, к слову о закономерности распределения «точек»-двоек, которая всё ещё радует глаз своим внешним изяществом, хотя это изящество уже наполовину «урезано», а приводя к единому знаменателю всю статистику распределения в магических квадратах асимметричной пары 1-2, его придётся сократить ещё вдвое. Дело в том, что ровно половина, из разрешённых для размещения двойки секторов, в каждой зс, оказываются зеркальными двойниками (плоскость симметрии проходит по главной нисходящей диагонали квадрата). Поэтому, в действительности, простор для двойки в магических квадратах значительно скромнее. В действительности, только три клетки (!) в 108 правильных (заглавных) магических квадратах могут быть заняты числом 2:

[14]

 

А это означает, между прочим, что все 108 заглавных магических квадратов могут быть подразделены на три группы, по признаку одного из трёх вариантов расположения в них первой асимметричной пары 1-2:

[15]

IIIIII
 

Практические шаги в этом направлении дают неожиданные и удивительные результаты. Действительно, 108 правильных магических квадратов подразделяются на три группы, и при этом, равной численности – по 36 квадратов. Но это ещё не всё. Каждая группа из 36 квадратов подразделяется, в свою очередь, на шесть, составляющих её подгрупп, включающих по 6 квадратов.

Как же появляется число 6 в массиве квадратов двойной чётности, где царствует четвёрка – корень числа 16, основание квадрата и углового зеркала (с его четырьмя секторами и четырьмя прямыми углами раствора зеркал), чьим действием осуществляются все преобразования квадратов?

Ответом служит рисунок [16], на котором воспроизводится шестёрка квадратов одной из упомянутых трёх групп. В квадратах цветом выделены четвёрки чисел, скомпонованные из двух «симметрично-асимметричных» пар чисел.

Что сия «абракадабра» значит?

Если к числам 1 и 2, образующих первую асимметричную пару, «прибавить» числа 16 и 15, составляющие с единицей и двойкой симметричные пары, то будет получена четвёрка, включающая две внутренне симметричные пары 1-16 и 2-15, которые, однако, могут быть представлены и как две асимметричные 1-2 и 15-16.

Аналогичную «двойную природу» имеют и остальные четвёрки: 3-4 и 13-14, 5-6 и 11-12, 7-8 и 9-10, подчёркнутые в квадратах [16] каждая своим цветом. Далее подобные четвёрки, для отличия их от других, будут именоваться сбалансированными.

Из 36 квадратов, с двойкой в одной и той же клетке, не трудно было отобрать те, в которых единообразно расположена и сбалансированная четвёрка 1-2-15-16. Таких квадратов оказалось шесть. И это не случайно. Структура шестеричной (под)группы квадратов очевидна: при неизменном положение во всех шести квадратах одной сбалансированной четвёрки (1-2-15-16), три другие образуют максимум (6) возможных вариантов (комбинаций) взаимного расположения, определяя таким образом число квадратов подгруппы = 6.

Конфигурация четырёх клеток для каждой сбалансированной четвёрки остаётся неизменной во всех шести квадратах, но четвёрки, поочерёдно занимающие другие клетки, конечно, не могут оставаться в одном и том же положении. Комбинируются не числа внутри четвёрок, но сами четвёрки, безотносительно к взаимному расположению составляющих их чисел.

[16]

   
 

Таким образом, выявляются первые признаки внутренней структуры массива 108 заглавных магических квадратов, располагающих к организации их в ТРИЕДИНУЮ СИСТЕМУ СИММЕТРИИ.

* * *

Триединство предполагает нечто одно в трёх аспектах, или наоборот, три аспекта чего-то одного.
Три-Единая Система Симметрии (далее сокращённо: ТЕСС) правильных магических квадратов, это, собственно, собрание магических квадратов, с подчёркнуто выраженным подразделением на три группы (три «аспекта»), единство которых проявляется не только в общих, в смысле аналогичности, характеристиках каждой из групп, но и в свойствах, действительно, общих для всех трёх групп, то есть, в свойствах, в целом, всего массива квадратов.

ТЕСС включает не все 880 традиционных магических квадратов, а только те из них, которые в принятой здесь терминологии именуются  правильными, то есть, 432 квадрата.

Симметрия – великая вещь! Угол падения равен углу отражения – закон не только оптики.
Как аукнется, так и откликнется; что посеешь, то и пожнёшь – это ведь тоже не только про эхо и огородные грядки.
Равновесие, сбалансированность физических условий внешней среды позволяют биологическому организму не только адаптироваться и выжить в этом мире, но иногда даже неплохо себя чувствовать в нём. Симметрия помогает нам ориентироваться в мире и правильно соизмерять свои возможности с его условиями. Причём в большинстве случаев у нас, сознательных созданий это происходит, практически, на бессознательном уровне. В самом деле, кто из нас, желая вскипятить чаю, хоть раз промахнулся, потянувшись за чайником, даже если «сознательно не прицеливался»! А ведь если вдуматься, мы все, по меньшей мере наполовину слепы; никто из нас никогда не видел чайника! Да-да, не видел! Я имею ввиду весь чайник, а не только небольшую часть его наружной поверхности, которую нам достаточно видеть, чтобы «не промахнуться».

Подобным образом обстоит дело и с правильными магическими квадратами. Симметрия позволяет не «ворочать» всей их массой из четырёх с лишним сотен (432), а ограничиться четвёртой частью от этого количества.
Правильный магический квадрат – очень симметричная числовая конструкция, и чтобы иметь о нём полное представление, достаточно разглядеть его только «с одной из четырёх сторон».
ТЕСС в целом, также, обладает аналогичными свойствами, присущими ей по определению (система симметрии!), поэтому представлена только четвертью всех правильных магических квадратов, то есть, только 108 заглавными квадратами.

Итак, если сравнить текст текущего повествования с «живой» лекцией, то наглядными пособиями для этой лекции будут служить схемы и сами квадраты, остаётся решить вопрос с указкой – не водить же лектору по наглядным пособиям пальцем.
Роль указки будут выполнять цветовые акценты, расставленные в наглядных пособиях в нужных местах.
Понятно, что возможности такой «указки» ограничены, так как её нельзя перемещать, а один раз воспользовавшись, уже нельзя «убрать». Но преодолеть это положение легко: пусть «указка неповоротлива», но зато можно тиражировать наглядные пособия.

Таким образом, чтобы представить полную картину ТЕСС, 108 правильных магических квадратов будут воспроизведены четырёхкратно – с подразделением в каждом случае, на три группы, и с цветовой акцентировкой, проявляющей грани симметрии собрания 108 квадратов с четырёх различных сторон.

Прежде чем перейти к рассмотрению основных подразделений ТЕСС, повторим некоторые положения «Теории зеркальных систем».

Итак, три системы угловых зеркал, структуры которых отождествляются с тремя первыми типами квадратов, не только являются инструментом преобразований, но и строго регламентируют распределение чисел в квадратах. Принципы этого распределения, основанные на закономерностях взаимодействия составных зеркал системы, можно проанализировать на примере отдельных чисел, или групп чисел. Можно избрать в качестве исследуемых числовых образований симметричные пары. Но подобный анализ уже проведён Е. Я. Гуревичем («Тайна древнего талисмана», гл.1), и по результатам этого анализа им создана классификация, за основу которой принят характер расположения в квадратах симметричных пар.

Симметричные пары состоят из двух чисел, которые во внутренних зеркалах систем выполняют роль взаимных отражений. Смысловой противоположностью симметричных пар являются асимметричные пары, складывающиеся из порядковых чисел 1-2, 3-4 и т. д. В 108 заглавных магических квадратах число 2, входящее в состав первой асимметричной пары (1-2), при неизменном положении единицы, может занимать только три клетки. Причём каждый тип зс в квадратах строгого соответствия «выделяет» для двойки не все три клетки, а только две из них (на рис. [12] по четыре вместе с невариантами – в квадратах левого вертикального ряда):

[17]

<1> <2>  <3>
 

Если все три клетки, разрешённые для размещения двойки [14] обозначить буквами A, B и С [18],

[18]

 

то порядок распределения клеток между первыми тремя типами квадратов [17] будет иметь вид комбинационных сочетаний трёх элементов по два [19]:

Здесь одинаковые буквы выделены общим цветом, никак не соотносимым с цветом «точек» на рис. [17].

[19]

<2> <1>  <3>
AB  BC  CA
 

Итак, комбинаторика снова заявляет о себе.

Комбинационные сочетания трёх каких-либо элементов связаны с числами 3 и 6. Из математики известно, что три элемента можно расположить шестью способами, и эта закономерность может быть обозначена «n!», где «n» – произвольное число, а восклицательный знак («!»), в данном случае, – математический символ, знак факториал (букв. сомножитель), обозначающий действие перемножения чисел натурального ряда от 1 до n. «Три факториал» (3!) равно 1×2×3=6. Сомножители 1×2×3 иначе можно представить, как «формулу» различных сочетаний трёх элементов, а их произведение 6 – как максимально возможное число этих сочетаний.

Пусть такими элементами будут три буквы, тогда их комбинации дадут шесть следующих сочетаний:

[20]

ABCBCACAB
CBAACBBAC
 

Три тройки букв нижнего ряда, как это хорошо видно из рисунка [20], являются зеркальными отражениями троек верхнего ряда. В случаях, когда комбинируются простые элементы, такие сочетания (отражения) можно проигнорировать.
Сбалансированные четвёрки в квадратах являются сложными (составными) элементами, шесть их сочетаний не приводят к повторам [16].
Если всё же отбросить неварианты комбинационных сочетаний (букв), их останется три:

 

ABC BCA CAB
 

Предположим, что нам необходимо сочетать в такой закономерности три элемента (ABC), но включая в каждую из комбинационных групп только два из них. В этом случае мы можем просто отбросить из комбинационных сочетаний по одному «лишнему» элементу. Пусть в нашем предыдущем примере этими «лишними» элементами будут последние буквы в тройках. Тогда комбинация оставшихся примет вид:

 

AB BC CA
 

Чтобы нагляднее представить данную схему комбинационных сочетаний, назначим теперь каждой букве отдельный цвет:

[21]

AB  BC  CA
 

В итоге мы получили сжатую схему, или «формулу» [21] комбинационных сочетаний трёх элементов по два*, которая вместе с полной [20] отображает внутреннее строение TECC, структура которой буквально пронизана подобными комбинациями различных её элементов (разумеется, эта формула не абсолютна, она может иметь и другой вид, например, АB-АС-СB, и т. п.) С двумя из них мы уже познакомились: это шестерка квадратов [16] и сочетание трёх клеток с двойкой – по две в каждом из квадратов строгого соответствия разных типов [17].

* Подобным образом комбинируются нуклеотиды ДНК, которых четыре, но сочетаются они в триплеты, то есть комбинируются
  четыре элемента по три.

Комбинационные закономерности ТЕСС, конечно же, являются следствие зеркальной симметрии, ведь именно закономерности зеркального отражения обуславливают распределение в квадратах симметричных и асимметричных пар, четвёрок, и иных групп чисел; а также, лежат в основе всех преобразований квадратов. Именно поэтому, внутренняя структура массива 108 заглавных магических квадратов проявляет триединую систему симметрии а не комбинаторики.

На рисунке [22] изображена схема одной из трёх групп 36 квадратов TECC (I, II или III). Группы сформированы по признаку расположения в квадратах асимметричной пары 1-2, в соответствии со схемой [15-I-II-III]
Все квадраты групп связаны посредством комбинаторных сочетаний сбалансированных четвёрок с образованием шестеричных подгрупп – по примеру, приведённому на рис. [16].

Это первый, из четырёх, вид представления ТЕСС;
три группы по 36 магических квадратов в данном представлении обозначены «six-group -I, -II, -III»

[22]

 

Правые и левые шестёрки квадратов в группах «six-group» имеют одинаковую конфигурацию комбинирующихся четвёрок (подчёркнутых ещё и одинаковой цветовой палитрой), наделяя тем самым, группы квадратов I, II, III свойством двойственности. Не будем при этом забывать и о том, что все 36 квадратов каждой из групп связывает признак единообразного расположения асимметричной пары 1-2.

Однако, свойства группы (I, II или III), связывающие в единство её квадраты, этим не ограничиваются. Аналогичной закономерностью комбинирующихся четвёрок группы оказываются «прошитыми» и по вертикали. На рисунке [23] представлена схема размещения квадратов всё тех же групп TECC (I, II и III), но с другим их подразделением на шестеричные подгруппы и новыми цветовыми акцентами.
Как видно из схемы размещения квадратов [23], вертикальные ряды групп «six-group» [22] здесь стали горизонтальными, и наоборот. Но ни один квадрат ни в одной из трёх групп не изменил своего положения, относительно других.

Примечание: в действительности, какая-либо маркировка или нумерация рядов в группах ТЕСС отсутствует; в данном случае условные обозначения являются вспомогательной информацией и полезны только совместно с комментарием, а значит, уместны лишь в поясняющих схемах, то есть, здесь.

Это второй вид представления ТЕСС массива 108 магических квадратов;
в данном представлении группы обозначены «six-line -I, -II, -III»

В массиве «six-line» шестёрка квадратов с комбинирующимися четвёрками расположена в линию (горизонтальный ряд). Конфигурация клеток с фиксированной и комбинирующимися четвёрками, геометрически, подобна у всех квадратов группы, но один и тот же цвет клеток квадратов в каждом ряду сопровождает только определённые четвёрки чисел. И это уже не сбалансированные четвёрки, а смешанные, причём состав их меняется в каждой «линии»; впрочем, в каждой группе – только в трёх, а затем симметрично повторяется, подчёркивая, таким образом, двойственность группы ещё раз. Так, в первом ряду фиксированная четвёрка сложена из двух асимметричных пар 1-2 и 3-4; в следующем ряду 1-2 и 5-6; в третьем ряду 1-2 и 9-10; в остальных рядах – в обратном порядке. Аналогично, от ряда к ряду, меняется числовой состав и «маневренных» (собственно, комбинирующихся) четвёрок.

[23]

 

Три системы угловых зеркал, управляющие числами правильных магических квадратов, предписывают определённые правила размещения асимметричных пар. Однако, из этих пар складываются четвёрки порядковых чисел, а затем и восьмёрки (числовые половины квадратов). Небезынтересно, поэтому, проанализировать закономерность распределения этих числовых образований в массиве квадратов с фиксированным первичным их элементом (асимметричной парой 1-2), то есть, в группах квадратов ТЕСС.
С этой целью 108 квадратов воспроизведены ещё дважды – сначала с подчёркнутыми цветом числовыми половинами квадратов, а затем только одной, первой четвёрки порядковых чисел.

Схемы размещения чисел 1...8 и 9...16 в квадратах, если помните, образуют из клеток квадрата нечто близкое к трём примитивным картинкам, которым ранее были присвоены названия – вилка, зигзаг, ваза [4-6].

На рисунке [24] изображены схемы трёх групп TECC с подчёркнутыми цветом картинками числовых половин квадратов: зигзаг – жёлтым; вилка – синим; ваза – зелёным.

Это третий вид представления ТЕСС массива 108 магических квадратов;
три группы по 36 магических квадратов в данном представлении обозначены «ogdoad -I, -II, -III».

[24]

I II III

В первой группе преобладают квадраты с рисунком зигзага (жёлтый цвет). Во второй и третьей группах, также, оказывается по 12 «избыточных» квадратов, с одним из двух других рисунков – вилки, и вазы. Если условно считать таковыми квадраты центральных вертикальных рядов (на схемах эти квадраты отмечены клетками с точками) и исключить их из рассмотрения, то справа и слева от них в шестеричных подгруппах останется по четыре квадрата, в которых картинки сочетаются в уже знакомой нам закономерности (с обобщённой формулой AB-BC-CA): группа I – сверху вниз: зигзаг+вилка; ваза+вилка; ваза+зигзаг; и т. д.
Комбинационная закономерность сочетания картинок сохранится, также, если исключить из рассмотрения 12 «избыточных» квадратов не центральных вертикальных рядов, а диагональных, расположенных крестообразно. И ещё одно замечание, относительно двойственности групп «ogdoad». Эту характерную их особенность цветовое выделение квадратов делает достаточно наглядной: любую из трёх схем [24] плоскость симметрии делит на правую и левую половины.

Далее, на рисунке [25] изображены схемы размещения трёх групп TECC с подчёркнутыми цветом четвёрками порядковых чисел 1-2-3-4.

Это четвёртый вид представления ТЕСС массива 108 магических квадратов;
три группы по 36 магических квадратов в данном представлении обозначены «tetra -I, -II, -III».

Напомню, что во всех четырёх случаях мы имеем дело с одной и той же схемой расположения одних и тех же 108 квадратов в одних и тех же трёх группах, – схемой, которая лишь в массиве «six-line» была рассмотрена с иной позиции (что способствовало лучшему восприятию, но никак не изменило саму схему).

Разнообразие четвертных картинок (tetra) в магических квадратах превышает количество половинных, т. е., восьмеричных (ogdoad), и это разнообразие ещё и неравномерно (общее количество каждой из восьмеричных картинок – вилки, зигзага и вазы в массиве 108 квадратов одинаковое – 36).

Квадраты с преобладающей количественно схемой («картинкой») расположения чисел первой (выделенной) четвёрки, находятся в группах массива «tetra» [25] в крайних вертикальных рядах. В центральной же части групп наблюдается очень своеобразный порядок распределения квадратов по типу их четвертных картинок. В четырёх центральных вертикальных рядах, следуя сверху вниз, они чередуются в закономерности, которую условно можно обозначить AB-АC-BС, причём независимо от того, рассматривается ли один вертикальный ряд, два, три в любой их комбинации, или все четыре (в схемах это чередование клеток по две, три, или по четыре, но всегда только двух цветов).
Кроме того, в совокупности, эти квадраты (повторюсь, за исключением внешних рядов), объединяясь по признаку одинаковых четвертных картинок, обнаруживают внешнее сходство своих образований с одной из «восьмеричных» схем: они сами образуют в центре группы рисунки двух ваз, обрамлённых полукольцами из других 8 квадратов и сцепленных между собой наподобие поясной пряжки. Комбинационные сочетания этих рисунков связывают вместе все три группы: в первой из них это квадраты, обозначенные на схеме [25] жёлтым и зелёным цветом, во второй – оранжевым и жёлтым; в третьей – оранжевым и зелёным.

[25]

I II III

Как уже отмечалось, разнообразие типов картинок, образованных четвёрками порядковых чисел в квадратах, в отличие от половинных групп, количественно неравномерно. Из них – а всего их семь — три внешне симметричны относительно главной диагонали квадрата.
В квадратах групп «tetra» каждый тип картинки выделен своим цветом. Исключение составляют три типа упомянутых «диагонально-инвариантных», и при этом, самых малочисленных картинок, оформленных единообразно во всех трёх группах. В схемах на рисунке [25] ячейки (клетки), соответствующие квадратам с этими картинками, выкрашены в красный цвет. Это восьмёрки тех квадратов, что полукольцами обрамляют сцепленные вазы. Причём в каждой из трёх групп встречается только одна из этих картинок.

 

В заключение приведу три варианта схем распределения квадратов в трёх группах ТЕСС по типам в классификации Е. Я. Гуревича.
На рисунке [26] одна клетка в схемах трёх групп обозначает шестеричную подгруппу. Подчёркиваю: одной клетке в схеме [I], [II] или [III] на рис. [26] соответствует не отдельный квадрат, а целых шесть.
Каждая из шестеричных подгрупп включает, как оказывается, квадраты только одного типа. Эти типы и обозначены в клетках схем для каждой их 18 шестеричных подгрупп ТЕСС.
Полагаю, читателям будет небезынтересно проанализировать эти схемы самостоятельно (подсказка: в первых двух комплектах схем сравнивайте обозначения в клетках одного цвета в трёх группах).

[26]

I II III
   

I II III
   

I II III