Глава VII. Алгебра или Гармония?


Составление какого-то конкретного магического квадрата, если для этого используется другой квадрат, сводится, в конечном счёте, к единственному варианту перемещения чисел исходного. Так, если исходным служит натуральный квадрат, и мы хотим преобразовать его, скажем, в магический квадрат Дюрера, то существует единственная схема перераспределения чисел натурального квадрата для получения квадрата Дюрера. Любой другой вариант перераспределения приведёт к построению и другого квадрата, но только не квадрата Дюрера. «Новизна» способов, методов построения магических квадратов (особенно, когда они все уже известны, построены) может заключаться только в ином осмыслении известных операций, их обосновании, в сокращении промежуточных действий, в выявлении не отмеченных ранее каких-то закономерностей, в изобретении не применявшихся до сих пор комбинационных манипуляций с числами, и т. п. Но невозможно, применяя даже самые неожиданные ходы в операциях с числами, ничего нового добавить к конечной схеме их перераспределения, кроме... нового способа достижения этой цели.

«Конечная схема» кубика Рубика – одноцветные грани, и к этому нечего добавить. Но способов сборки существует множество.

Поскольку конечная схема перераспределения чисел исходного квадрата для получения конкретного магического, существует в единственном варианте, а способы реализации задачи множественны, то однажды два наиболее оптимальных способа могут настолько сблизиться, что у них не останется других различий, кроме иной интерпретации (истолкования, обоснования) действий над числами.

Показательным примером может служить процесс построения магического квадрата, путём преобразования натурального. Один из таких способов описан Б. А. Кордемским в его «Математической смекалке» (Москва, 1958 г.; стр.264-265):

[1]

 

Способ, скажем прямо, не самый удачный, что не удивительно, поскольку, как и сотни других, «остроумных способов и правил», теоретически никак не обоснован, и содержит целых четыре действия,* выполненных явно наугад (подбором перестановок).

* «Первый шаг» не в счёт, поскольку это просто запись натурального квадрата, но второй, по сути, включает два действия.

Но, наконец, обоснование способам составления «волшебных квадратов» 4×4 найдено. Его предоставляет «Теория зеркальных систем», раскрывающая обусловленность свойств магических квадратов четвёртого порядка закономерностями действия углового зеркала.

Хотя способ построения магического квадрата, «известный со времён Дюрера», описание которого даёт Е. Я. Гуревич в «Тайне древнего талисмана», по всей видимости, также, найден путём «слепого» перебора вариантов перераспределения чисел, он (этот способ) находит объяснение в интерпретации действий, как симметрической операции зеркального обращения чисел периферийной области изс.

И если этому древнему способу, прошедшему испытание временем, в течение веков не нашлось достойной замены, то это и не удивительно, поскольку объясняется просто: способ этот оптимален именно потому, что отвечает «Теории зеркальных систем».

Е. Я. Гуревич в своих изысканиях, касающихся квадратов 4×4, вплотную приблизился к «Теории зеркальных систем» – большинство его решений, по сути, основаны на закономерностях «двузеркальной симметрии».

Избрав за основу первый магический квадрат <1>, построенный упомянутым выше, классическим способом, и проделав некоторую работу, связанную с подбором чисел, рассуждениями и математическими расчётами, он составляет сразу четыре симметричных квадрата («Тайна древнего талисмана», стр. 32; здесь рис. [2], обозначения квадратов [a,b,c,d] мои – С.П.), после чего, уверенно заявляет:

  1. Можно даже не построив ни одного [квадрата], утверждать, что среди 880 магических квадратов 4×4 различного типа существует компактная группа из 48 родственных друг с другом магических квадратов, обладающих полной центральной симметрией. Каждый из них может быть преобразован в своего родича простой и симметричной перестановкой средних рядов — или строк, или столбцов, или и тех и других одновременно (стр. 37).

[2]

a b  c d
 

В самом деле, при преобразовании квадрата <1> универсальной зеркальной операцией [7-c/гл.IV], получаются три новых: один перестановкой средних столбцов исходного, другой – средних строк, и третий – одновременной перестановкой строк и столбцов – так можно описать действия с числами, переходя от «зеркальной атрибутики» к традиционной терминологии.

Далее [3], «несимметричной перестановкой рядов» квадрата <1> (на предыдущем рисунке [d]), автор «Талисмана» легко получает квадрат типа <2>. Несимметричной перестановка рядов выглядит относительно правильной формы квадрата, но структурно, это всё та же универсальная операция, выполненная в квадрате <1> по схеме взс (см. примеры преобразований квадратов с наложением сторонних схем [9/гл.IV] и [31-33/гл.IV]).

[3]

 

 
<1>     <2>
= Ú =
     
 

Аналогичен переход от квадрата <2>, имеющего структуру «четыре косых креста», к квадрату <3>.
«Одновременная симметричная перестановка средних рядов» в квадрате <2> тождественна универсальной зеркальной операции, выполненной в нём по схеме изс:

[4]

 

 
<2>     <3>
= Ú =
     
 

При поиске решения, позволяющего найти способ преобразования квадрата строгого соответствия в нестандартный (в нашей терминологии), автор «Талисмана» останавливает свой выбор на квадрате <2>, намереваясь получить на его основе квадрат <4>. Выбор правильный – оба квадрата представляют одну и ту же (дискретную) зеркальную систему.

Как нам уже известно, характерной особенностью нестандартных квадратов является их парность, которая проявляется при их построении пошаговым методом [19-27/гл.IV] или методом заготовок [13-18/гл.V] и, кроме всего прочего, проявляется эта парность в различной ориентации числовых пар: в одних квадратах из них сложены строки, в других столбцы. В целом, можно говорить об ориентации «под углом» 90° оносительно друг друга самих парных квадратов.

Такая ориентация характерна для отражений смежных секторов углового зеркала; именно поэтому, нестандартные квадраты олицетворяют собой эти секторы углового зеркала, и их количество вдвое превышает число квадратов строгого соответствия.

Конечно же, для таких инструментов математики, как алгебра, или комбинаторика, которыми оперировал Е. Я. Гуревич, положение квадратов не принципиально, едва ли он придавал этому значение, но двухвариантность операции и закономерность распределения чисел в нестандартных квадратах-вариантах вне его внимания остаться, разумеется, не могли. Когда эта закономерность, впервые встречается в преобразованиях квадратов <2> Ú <4>, он поясняет:

  1. В квадрате <2> они (числовые группы, образующие ряды квадрата – С.П.) находятся на лучах I и III, в квадрате <4> они должны быть на лучах I и II. Однако первая группа, находившаяся в квадрате <2> на луче I, в квадрате <4> с равным правом может быть записана и на луче I, и на луче II.
    Оказывается, одному магическому квадрату <2> соответствуют два магических квадрата: <4I> и <4II>

    («Тайна древнего талисмана», Глава 2, «Ещё и ещё Френикль»).

О чём здесь речь?  I, II и III лучи, это ряды магического квадрата – верхняя строка, диагональ и левый столбец. Понятия тоже не однозначны; например, луч I в боковом неварианте квадрата превращается в луч III. Но если не вдаваться в детали, то мы встречаемся здесь с описанием той же закономерности, в силу которой числовая пара, занимающая в квадрате строгого соответствия <2> полярные секторы малого углового зеркала (диагональные клетки), в нестандартном (всё равно какого типа) – c равным правом может располагаться в любой паре смежных секторов, расположенных в квадрате горизонтально или вертикально, и в конечном итоге оказывается, что из одного квадрата типа <2> рождаются два нестандартных квадрата типа <4>.

Следующий рисунок [5] из «Тайны древнего талисмана» (стр. 32) иллюстрирует превращение алгебраического квадрата <2> в пару нестандартных квадратов <4>, а тех, в свою очередь, в квадраты типа <5>.

Преобразование квадратов <4> Ú <5>, это универсальная зеркальная операция в интегральной зс, выполненная с числами исходных <4> (снова «симметричная перестановка средних рядов»).

[5]

 

Продолжая наш экскурс по страницам «Тайны древнего талисмана» обратимся к алгебраическим схемам преобразования квадратов типа <5> в квадраты <6>. Здесь уместно напомнить «роковую» фразу Е. Я. Гуревича, которая уже цитировалась в гл. III:

  1. Магические квадраты <6I> и <6II> можно ещё раз преобразовать симметричной перестановкой средних рядов. При этом получаются новые магические квадраты <6III> и <6IV> такой же структуры и в таком же количестве — по 48 вариантов.

    (Е. Я. Гуревич, «Тайна древнего талисмана», стр. 44).

[6]

 

Теперь нам известно, что «симметричная перестановка средних рядов» в квадратах, достаточно часто используемая в их преобразованиях, именуется универсальной зеркальной операцией в интегральной зс. Причём выполненная только в этих квадратах – <1> и <6> – она приводит к получению новых, того же типа, что и исходные, поскольку сами квадраты <1> и <6> принадлежат к этой зс.

Превращение магических квадратов в «Тайне древнего талисмана» берёт своё начало с квадрата <1>, на основе которого сперва были получены квадраты <2> и <3>, а затем по цепочке преобразований и остальные: <2> Ú <4> Ú <5> Ú <6>.

Квадраты первых трёх типов (строгого соответствия) представлены в книге Е. Я. Гуревича (стр. 42) в алгебраическом виде «без вариантов», т. е., в единичных экземплярах [7]:

[7]

<1> <2> <3> 
Ú Ú
a a'  a''
 

Это легко исправить. Выполнив в квадратах <1> и <2> [7] универсальную зеркальную операцию в соответствующих каждому из них зс (интегральной и дискретной), получаем четвёрки квадратов этих типов – взаимных производных данного преобразования [8].

В то же время, между собой квадраты <1> и <2> [7,8] являются взаимными производными универсальной зеркальной операции в веерной зс; способ этого их превращения может напомнить схема на рис. [3].

[8]

 <1> 
a     c
b     d
 <2> 
a'     c'
b'     d'
 

В этих группах [8] нас будут интересовать исходные квадраты [a] и [a'], и их полярные близнецы [d] и [d']. Квадраты [a] и [d], как уже понятно из всего вышеизложенного, могут переходить друг в друга путём «симметричной перестановки средних рядов», и абсолютно в таких же отношениях находятся между собой квадраты <6I> и <6III>;  <6II> и <6IV> [6]. Между тем, в преобразованиях Е. Я. Гуревича задействовался только один из симметричных квадратов <1>, квадрат [a], от которого, по порядку действий был образован квадрат <2> – [a'], и далее остальные – см. рис. [5,6].
Используем теперь полярные близнецы этих исходных квадратов. Превращение [d] Ú [d'], очевидно, комментариев не требует – образцом может служить пример аналогичного преобразования [a] Ú [a'] на рис. [7], или снова схема с числовыми квадратами [3]. Поэтому, без долгих предисловий запускаем процесс преобразования квадрата <2> [d']. Копируя алгоритм действий, отображённых иллюстрациями на рис. [6,7], получаем на его основе алгебраические квадраты <4>, <5>, <6> [9]:

[9]

 

Ба!, что видим! Снова квадраты <6III> и <6IV>, которые уже были получены ранее – рис. [6].
Где же они более уместны?

Конечно же, это никакие не  <6III>  и  <6IV>,  а всё те же  <6I>  и  <6II>, просто другие варианты, как и все остальные квадраты группы [9] – все они полярные близнецы соответствующих квадратов [6,7] в «своих» зс, включая исходные [a'] и [d'].

В какой-то мере «тёмным местом» в этих действиях [9] является начало процесса. Что за порядок перемещения чисел отображает схема прехода от исходного квадрата к нестандартным <4>? Удивительно, но если внимательно приглядеться и вспомнить операции, встречавшиеся нам при работе с зеркальными системами, то можно обнаружить, что это описанный ранее, пошаговый метод построения нестандартных квадратов (см. гл. IV). Если применить цветовую схему, то операция станет более очевидной. Правда, только для квадрата <4I>. В квадрате <4II> опознать результат этой операции труднее, но можно – если заменить исходный квадрат <2> боковым невариантом. Иллюстрация на рисунке ниже. Отметим вначале второй этап операции – взаимное перемещение секторов нижней половины квадрата <4II> (четвертей, окрашенных в зелёный и жёлтый цвета). Теперь не трудно увидеть, что во всех четырёх малых угловых зеркалах взаимно перемещены (отражены справа налево) символы, опять же, нижних смежных секторов (в парах клеток второй и четвёртой строк квадрата).
Что тут скажешь, только одно: браво!, аплодисменты автору «Талисмана»!..

Итак, всё проясняется. Очевидно, что автор «Талисмана» опробовал на квадратах такую привлекательную, естественную и простую операцию, как одновременная симметричная перестановка средних строк и столбцов. В квадратах <1> она оказалась бесспорно результативной (Можно даже не построив ни одного [квадрата], утверждать...) и т. д.
В квадратах <2> привела к построению квадратов нового типа <3>; то же и в случае с превращением квадрата <4> в квадрат <5>. Кто же мог знать, что квадраты <6> таят в себе такой подвох, превращаясь этим способом «сами в себя»! J. Способность к многовариантному «перевоплощению» является общим свойством квадратов, в том числе и нестандартных; в этом смысле квадраты <6> ничем не обделены, просто реализуется эта способность по-разному, в зависимости от конфигурации зс, которой принадлежит квадрат [8,10/гл.IV]. Коварный характер магических квадратов проявил-таки себя, причём весьма курьёзным образом: почти сотня их не то что «ускользнула из-под опеки правил» (алгебры), но напротив, – явила себя дважды...

На этом можно было бы поставить жирную точку. Однако, вовсе не «для вящей убедительности», но лишь для полноты картины, приведу теперь примеры преобразований числовых магических квадратов, в строгом соответствии с алгоритмом Е. Я. Гуревича.

Прежде всего, разместим первые, построенные автором «Талисмана», четыре квадрата <1> – рис. [2] – в условной схеме углового зеркала, и в таком же представлении, образованные от них, квадраты <2>:

[10]

 <1> 
 c
 d
 <2> 
a'   c'
b'   d'
 

Далее в преобразованиях исходными служат квадраты <2> – [a'] и [d']. Подтипы нестандартных квадратов второй из этих групп [12] намеренно обозначены надстрочными индексами III и IV, что было бы более корректным для классификации Е. Я. Гуревича, включающей такие подразделения квадратов, как <6III>  и  <6IV>, поскольку все однотипные квадраты обеих групп находятся в одинаковых отношениях, являясь полярными близнецами универсальной зеркальной операции в соответствующих зс (для квадратов <6> это интегральная зс, и операция равнозначна «симметричной перестановке средних рядов»). Правда, для того, чтобы привести к «общему знаменателю» всю иерархию обозначений, следовало бы ввести и такие подразделения квадратов, как <2I>  и  <2II>, и т. д.

[11]


 

[12]

 

Таким образом, квадраты <6III> и <6IV> в классификации Е. Я. Гуревича находятся в двусмысленном положении: либо они уместны, но тогда необходимо ввести аналогичную градацию для остальных квадратов; причём в этом случае обозначения должны претерпеть существенные изменения. Либо от выделения этой разновидности квадратов (<6III>, <6IV>) надо отказаться, что кажется предпочтительнее, так как чем больше подразделений включает классификация, тем ниже способность схем к обобщению (да и сам автор классификации выделил этот вариант квадратов только потому, что мыслил их не как ветвь единого дерева, но как побег отдельной ветви).

Рис. [13] иллюстрирует вариант классификации магических квадратов первых шести типов в алгебраическом виде. Квадраты первых трёх типов отображают способ их взаимного превращения методом трансляции.

Классификация квадратов не призвана отображать процесс их преобразований, но всё же отбражает его. За одним исключением: алгебраический квадрат <2> не может быть получен из квадрата <1> методом трансляции и одновременно с помощью операции преобразования <1> Ú <2>, предложенной автором «Талисмана» [3], что равнозначно и преобразованию [9/гл.IV] – из-за «неподчинения» квадратов этих типов общему правилу, о чём говорилось в комментариях к рис. [32-33/гл.IV].

Схемы второго и третьего рядов группы [13] символизируют нестандартные числовые квадраты, строящиеся пошаговым методом из квадратов первых трёх типов [19-21/гл.IV], наглядно передавая характер распределения чисел в парных квадратах-вариантах, соответствующих подтипам в классификации Е. Я. Гуревича, включая и различную ориентацию в разных плоскостях числовых пар в этих квадратах, соответствующих в алгебраических квадратах-схемах [13] одинаковым буквам латиницы (a1a2, b1b2 и т. д.)

Цветовые схемы алгебраических квадратов не являются непременным атрибутом классификации, но их наличие предпочтительно, поскольку они эффективно подчёркивают конфигурацию зс; различия между квадратами и одновременно, максимальное их сближение, обусловленное свойством единства трёх зс, позволяющим применять к квадратам наиболее простой способ их взаимного превращения методом трансляции.

[13]

<1> <2> <3>
<6I> <4I>  <5I>
<6II>  <4II> <5II>
 

* * *

Итак, несмотря на отдельные шероховатости классификации, предложенной E. Я. Гуревичем, не будет лишним сказать ещё раз о том, что практически все выполненные им действия по преобразованию алгебраических и числовых (правильных) магических квадратов 4×4, могут быть интерпретированы, как симметрические операции, основанные на действии зс. И наоборот: если скрыть цветовые акценты в квадратах во многих приведённых здесь примерах преобразований, и не сопровождать их комментариями, то они вполне могли бы служить иллюстрациями к текстовым страницам «Тайны древнего талисмана».

Так стоила ли игра свеч, если то и другое по сути одно и то же, только различно именуемое?

Да, действительно, оказывается, действие зеркальных систем в процессе преобразований, на практике, сводится к банальным перестановкам строк, столбцов и прочих числовых групп квадратов. Но при подобном «осмыслении» и Лунную сонату Бетховена можно «свести» к «закорючкам» на нотном стане. Игра, безусловно, стоила свеч!

Во-первых, «Теория зеркальных систем» сыграла важную роль в детализации разделов классификации, выявив тем самым чёткие контуры массива правильных магических квадратов и признаки их явного отмежевания от неправильных. Так появилась цифра 432 – количество всех правильных магических квадратов, и четверть от него 108 – количество заглавных. Эзотерический символизм этих сакральных чисел древних мифологий, имеющих, как оказалось, прямое отношение и к магическим квадратам, даже сам по себе, неразгаданный, уже достойная награда за разработку «Теории зеркальных систем».*

* См. Постскриптум в конце главы.

Во-вторых, «Теория зеркальных систем» обосновала и систематизировала наиболее оптимальные способы преобразования магических квадратов, подчеркнув тем самым единство свойств правильных магических квадратов, гармоничность их числовой организации не только в традиционных «строках, столбцах и диагоналях» отдельных экземпляров, но и в определённых группах (Метод трансляции), и в массиве в целом (Триединая система симметрии).

В-третьих, «Теория зеркальных систем» предопределила практические действия с числами натурального ряда (или натурального квадрата) для построение правильных магических квадратов, от первого до последнего, и что примечательно, без математических расчётов и вообще, – без единого алгебраического символа (Метод заготовок).

И, наконец, в-четвёртых, в чём наиболее важное значение «Теории зеркальных систем» – в перспективности, основанных на «двузеркальной симметрии», методов составления и преобразования квадратов, больших чем 4×4, размеров.

Известный, хрестоматийный способ построения «первого» магического квадрата 8×8 из такого же размера натурального, впервые в XIX в. пространно описанный Роузом Боллом, может быть определён более лаконично: как центрально симметричное обращение (на 180°) группы чисел периферийной области интегральной зеркальной системы. Известны, также, и два другие аналогичные способа, но уже не связанные с именем этого английского математика, однако, определённо связанные с дискретной и веерной зеркальными системами; воспроизвести их легко, если в натуральном квадрате 8×8 обратить на 180° группу периферийных или центральных чисел этих систем [3/гл.IV]. По сути, три эти способа являются одним, основанным на «грубом» размежевании чисел в натуральном квадрате 8×8, по границе зеркальной двойственности трёх зс, пролегающей между центральной и периферийной их областями.
«Ювелирно-точную» детализацию внутренней структуры зеркальных систем демонстрируют варианты половинных подразделений числового состава магических квадратов 4×4 – «вилка», «зигзаг», «ваза» [7-9/гл.VI]. Здесь (в квадратах 4×4) эти подразделения как внешне, так и внутренне асимметричны: каждая из «картинок», отображающих клеточную конфигурацию половин квадрата, представляет собой только фрагмент (четверть) некоего полного изображения, которое с помощью углового зеркала легко воссоздать («распространить» с помощью зеркала на квадрат 8×8). При наложении трёх таких полных изображений на натуральный квадрат 8×8, в горизонтальной и вертикальной плоскостях, мы получим 6 вариантов подразделения его чисел на две части. При этом, во всех шести случаях сумма чисел этих частей оказывается одинаковой и составляет 1040 (то есть, 1/2 суммы всех чисел в диапазоне от 1 до 64). Эти части являются ничем иным, как равноценными и равнозначными структурно-числовыми половинами зеркальных систем, поэтому, диаметральное (или центрально симметричное) их противопоставление в натуральном квадрате 8×8, закономерно приводит к получению магических квадратов.
Девять «мк» (магических квадратов) этого примера – лишь «первые ласточки» возможного, продуктивного, выходящего далеко за рамки квадратов 4×4, опыта применения «двузеркальной симметрии» в работе с «магическими» числами.

* * *

Начало своей работы с числами будущих магических квадратов 4×4 автор «Тайны древнего талисмана» не случайно назвал «чёрной работой», ибо пробирался он через буреломы числовых комбинаций наугад, практически вслепую. Интуиция и логика служили ему компасом и картой, не давая сбиться с пути поиска, а её величество Алгебра бесстрастно помогала упорядочивать находки.

Мы, Семён Пирогов, имели честь презентовать в своей работе «Теорию зеркальных систем», с помощью которой поверили Алгебру Гармонией, а результативность этой поверки пусть оценят без нашего участия.

* * *

ПОСТСКРИПТУМ

Вопрос о подразделении массива 880 магических квадратов 4×4 на различные группировки остаётся открытым. Способов такого подразделения столько-же сколько самих исследователей: как говорится, каждый кулик...

  1. Если стремиться только к проверке общего числа магических квадратов 4×4, то можно было бы ограничиться ранее названной работой Ф. Фиттинга. Это у него была цель сосчитать число этих квадратов, и своей цели он добился. Любопытно, что и у него вся масса магических квадратов 4×4 оказалась разделённой на группы. В первой оказались 528 квадратов... Во второй 352 = 192 + 112 + 48 квадратов...

    («Тайна древнего талисмана», стр. 52)

Добился своей цели и Е. Я Гуревич: классификация и систематизация квадратов по характеру их внутренней структуры выполнена. При этом «общее число магических квадратов 4×4, получилось как побочный результат их классификации».

Но только ли «общее число»? Нет сомнений в том, что и разделение массива квадратов на две неравные части, также, как-то связано с классификацией (подозреваю, в определённой степени связано это и с воздействием «гипноза авторитетов»).

Но как именно? Почему число 528 с неизменным постоянством, как эстафетная палочка, на протяжении десятков лет передаётся от одного поколения исследователей магических квадратов, к другому? По каким критериям отбирались квадраты, образовавшие эту группу?

Продолжу цитирование фразы из «Тайны древнего талисмана» (см. выше), намеренно её не завершая; пусть желающие ищут ответы на обозначенные вопросы самостоятельно, поскольку в круг интересов данного исследования они не входят. Итак, слово Е. Я. Гуревичу:

  1. Но это разделение [у Фиттинга – С.П.] было лишь побочным результатом расчёта и отражало классификацию не магических квадратов...

    («Тайна древнего талисмана», стр. 52)

* * *

В чём предназначение «Теории зеркальных систем», применительно к магическим квадратам 4×4? В рациональном осмыслении оптимальных способов их преобразования, в логическом обосновании симметрических операций. «Теория зеркальных систем» не может (да и не призвана), не ссылаясь на математические расчёты, самостоятельно давать безусловные заключения о количестве магических квадратов, хотя бы и только правильных, к которым она имеет отношение. А одни лишь логические доводы, основанные на гармоничной завершённости группы 432 квадратов, взыскательных читателей, наверное, не убедили бы. Поэтому, для склонения сомневающихся на правую сторону, сошлюсь на результаты математического обоснования этого числа.

В ответ взыскательные читатели могут сказать, – а стоит ли, вообще, ломать копья на ровном месте? Е. Я. Гуревич и не ставил себе целью определение числа магических квадратов; со своей задачей он справился, а мимолётную погрешность в очевидно не главном для него вопросе, нивелирует известная поговорка «Не ошибается только тот, кто ничего не делает».
Ну, что ж, признаюсь: я и не вижу в исследованиях автора «Талисмана» никакой математической ошибки; а пристрастность к «мимолётной погрешности» в его выводах, это страшная месть!!!M, но не Гуревичу-математику, а Гуревичу-скептику и, может быть, именно ему в меньшей степени, чем другим в его лице скептикам – математикам и популяризаторам математики, не упускающим случая саркастически усмехнуться по поводу «мистического тумана», с древности сопутствующего магическим квадратам. Ведь что такое для них число 432, как не бомба, брошенная в храм науки, над которым стелется туман незнания!

Источник, встретившийся мне после того, как «Посвящённые Юпитеру», в одной из первых «авторских редакций» (кстати, с возом ошибок L), определённым «тиражом» уже успели разойтись в Интернет'е, не лишил меня той невещественной награды, что имеет отношение к эзотерическому аспекту магических квадратов (строгие математики сами отказываются от подобных наград, не желая видеть в магических квадратах никаких иных аспектов, кроме занимательной арифметики), напротив, ценность её только возросла! Но первооткрывателем самого числа 432, как выяснилось, я не стал. Но это как раз и замечательно! Замечательно, что «Теория зеркальных систем» в этом отношении оказалась в согласии с алгеброй, а риторический вопрос, вынесенный в название данной главы, пусть подразумевает её соперничество с алгеброй лишь во второстепенных деталях, подобных тем, о которых спорит Вологда и спорит Кострома...J

Итак, речь идёт о книге «В царстве смекалки или арифметика для всех», издание четвёртое, в трёх томах; С-Пб, 1914 г. Автор или, как он сам именует себя, составитель – Е. И. Игнатьев.

Предлагаю к прочтению главу из первого тома этого сборника «Средние волшебные квадраты с шестнадцатью клетками», стр. 260-263.

Прелюбопытно: следующая за этой, глава тома называется... «Правильные волшебные квадраты с 16-ю клетками», в которой количество указанных в заголовке квадратов, методами алгебры определено числом ... 528!  Всё смешалось в доме Облонских...
Дальше – больше, цитата из этой же главы: Кроме правильных квадратов есть ещё много неправильных волшебных квадратов (...) Таким образом, вопрос о составлении неправильных волшебных квадратов приводится.... К чему «приводится» этот вопрос, поясняется на языке алгебры. Заключает мысль последняя фраза главы: Мы не знаем простого решения этого вопроса и предоставляем читателям найти таковое.

Эти извлечения из сборника Е. И. Игнатьева я привёл ещё и с целью обозначить несоответствие наименований, присвоенных подразделениям квадратов в данной работе, традиционной терминологии. Какие квадраты относятся здесь к правильным, а какие к неправильным, изложено в гл. III. Чтобы никого не ввести в заблуждение, ещё раз подчеркну: значение этих терминов не совпадает с традиционными.