Глава VIII. «Нераздельно и неслиянно»


Философский крест – ключ к пророчеству, и можно
открыть все двери науки пантаклем Езекииля,
в центре которого находится звезда,
образованная пересечением двух крестов.

(Э. Леви, «Учение и Ритуал Высшей Магии»)

В третьей главе был описан способ преобразования магических квадратов, названный операцией отражения четвертей [2/гл.III]. Было, также, сказано, что способ этот применим к любым (ко всем) правильным магическим квадратам, и т. д. В главе IV операция получила обоснование в рамках «Теории зеркальных систем»: отражение составных четвертей квадрата осуществляется комплексным действием малых угловых зеркал дзс. К сказанному ранее можно добавить, что применительно к остальным квадратам (кроме <2> и <4>), операция отражения четвертей выполняется с наложением на них схемы дискретной зс (в т. ч. цветовой схемы).

Ниже, на рис. [1-a] изображён квадрат <1>. Отражение его четвертей в горизонтальной плоскости (справа налево) зеркалами дискретной системы позволяет получить новый – квадрат [b], также, типа <1>, но уже не заглавный. Для наглядности на квадрат [b] наложена цветовая схема дзс. Пользуясь привычной (традиционной) терминологией, можно сказать: квадрат [b] получен перестановкой соседних столбцов исходного.

С аналогичной целью получения нового квадрата может быть испытана и другие зс. Так, квадрат [c] получен отражением в горизонтальной плоскости чисел исходного составными зеркалами взс или, другими словами, перестановкой нечётных и чётных столбцов квадрата [a]. Квадрат [c] магический, того же типа <1>, что и исходный, и отличный от него (новый). При этом он оказывается зеркальным двойником квадрата [b].

Что касается интегральной зс, то отражение чисел каждым из четырёх составных её зеркал в горизонтальной плоскости равнозначно взаимной перестановке крайних и средних столбцов и приводит к получению неварианта исходного, то есть, к полному его отражению справа налево [d]. Таким образом, квадраты [c] и [d] можно рассматривать как продолжение ряда «в зазеркалье».

[1]

   
a b c d
 

Если принять четыре квадрата ряда [1] за исходные и выполнить с ними аналогичные действия отражения чисел – последовательно, по схемам дискретной, веерной и интегральной зс, но в вертикальной плоскости (что будет равнозначно перестановкам строк), то в итоге мы получим группу из 16 квадратов [2]. Рассмотрим её.

Прежде всего, обращает на себя внимание то, что группа подразделяется на четыре четвёрки квадратов, в каждой из которых четыре квадрата являются взаимными производными зеркальной операции отражения четвертей, как в примере [2/гл.III]. При этом, сами четвёрки оказываются взаимными полными отражениями в секторах большого углового зеркала.

[2]

 

Следовательно, группа [2] на 3/4 состоит из квадратов-невариантов, но при этом обладает интересными свойствами. Вот некоторые из них.
Группа сама представляет собой квадрат 4×4 («квадрат квадратов»). И каждый, входящий в неё квадрат, занимает в группе точно такое положение, как в нём самом единица.
Если по порядку записать в четыре строки числа, расположенные в первых клетках всех 16 квадратов, будет получен исходный квадрат.
Если так же записать числа вторых клеток всех 16 квадратов, образуется второй квадрат группы, и т. д.
Числа первого квадрата могут служить «координатами» остальных. Например, в исходном квадрате во второй строке, на «расстоянии хода шахматного коня» от единицы расположена семёрка. И этим же числом (7) начинается квадрат во втором ряду, также, отстоящий «на ход коня» от исходного квадрата.
Кроме того, можно отметить эффект «бегущей единицы» в любом горизонтальном ряду квадратов, или вертикальном, или по диагонали... (даже «бегущего столбца» в горизонтальном ряду, или строки в вертикальном!)

Всё это не просто случайные разрозненные свойства числовой группы, но признаки специфической её симметрии. Такого рода симметрию я буду именовать двоичной.

В горизонтальной протяжённости группы, так же, как и в вертикальной, квадраты образуются друг от друга симметричными перестановками, или различными комбинационными сочетаниями одних и тех же пар столбцов или строк, подобно тому, как двоичный код образован различными комбинациями одних и тех же элементов, нулей и единиц.

Эти, скажем так, нерядовые свойства группы квадратов наводят на мысль о более глубокой её гармоничности, которая, однако, в полной мере пока не видна, так как чисел слишком много. Можно выбрать какие-то из них, с тем чтобы не беря в расчёт остальные, внимательнее рассмотреть характер их распределения в общем массиве. На рис. [2] в квадратах подчёркнута единица. Может быть, выбрать её? Но нет, это другая крайность – одних единиц для какого-либо анализа симметрии группы недостаточно.
Вероятно, требуется выбрать больше чисел? Сколько? И какие, конкретно?
Ответ на эти вопросы один, и он однозначен: конечно же, это должна быть четвёрка порядковых чисел натурального ряда. Почему?

Традиционно, «магией» квадрата принято считать его внутреннюю, числовую симметрию, показателем которой является постоянная сумма чисел в четвёрках, из которых составлены строки, столбцы, и т. д. Но эта симметрия играет роль только покрывала.., числа в магических квадратах обозначают точки, хотя настоящая его симметрия даже не точечная, а геометрическая, записанная (зашифрованная) в квадрате посредством числовой «магии», и ключом к этой «записи», дешифратором информации, скрытой в магических квадратах, является асимметрия [1-3/гл.VI].

Группа [2] представляет собой большую магическую структуру, в основе которой числовая симметрия константы магического квадрата, то есть, четырёх чисел с одинаковой суммой. Прямой противоположностью этой самой константы является четвёрка порядковых чисел. Причём не имеет принципиального значения, какая именно четвёрка – первая, вторая и т. д., здесь важны не числовые отношения, а как это ни странно, только внешняя «картинка», образованная четвёркой порядковых чисел (точек). В магическом квадрате «упакованы» четыре экземпляра такой картинки, рассмотреть симметрию которых также непросто, как пасьянс в колоде карт.

На рис. [3] квадраты с картинкой некоторой конфигурации, заданной первой четвёркой, имитируют первый ряд квадратов, расположенных в зоне действия большого углового зеркала [2]. Картинка от квадрата к квадрату меняет положение, в соответствии с действием различных условных зеркал.

[3]

 

Эти четыре положения одной четвёрки квадрата идентичны схемам четырёх четвёрок в одном квадрате [4]. Но если в первом случае на четвёрку воздействует внешняя зеркальная система, то во втором размещение чисел в квадрате подчинено симметрическим закономерностям его собственной внутренней структуры [4]. Между тем, четыре четвёрки квадрата попросту воспроизводят отражения одной из них во внешней зеркальной системе [3].

Таким образом, между группой [2] и отдельным магическим квадратом наблюдается симметрическое тождество. Большое угловое зеркало позволяет «разложить пасьянс», то есть, развернуть «упакованные» в квадратах картинки и, таким образом, проявить скрытую их симметрию.

[4]

 

Всего схем размещения первой четвёрки в заглавных магических квадратах, без учёта невариантов, семь. Семь способов распределения первых четырёх чисел, это семь комбинаций клеток квадрата. Если эти клетки выделить цветом, получится семь разных картинок. Для удобства различения этих картинок неплохо бы как-то их обозначить. Хотя бы простой нумерацией, но можно придумать им и названия, например, такие [5]:

[5]

  1. вышка
  2. вигвам
  3. веретено
  4. периметр
  5. перо
  6. пирамида
  7. петля
 
a b  c  
      
d e  f g
 

Из этого следует, что для анализа симметрии распределения первой четвёрки в группах большого углового зеркала достаточно подобрать только семь заглавных квадратов, в которых первая четвёрка размещена одним из 7 способов [5], и создать на основе каждого из них группу, аналогичную группе квадратов [2].* Картинка, создаваемая каждой из этих схем в такой группе от квадрата к квадрату будет видоизменяться, и в совокупности, все 16 вариаций её отражения создадут в массиве квадратов общую картину симметрии первой четвёрки. Такое исследование, однако, не будет исчерпывающим. Ведь если за исходную принять не первую четвёрку, а скажем, вторую, третью.., то изменится и общая картина симметрии. Но ограничимся первой четвёркой, оставляя исследование симметрии других четвёрок другим энтузиастам.

* Если создать такие группы на основе всех 108 заглавных квадратов, три четверти из них окажутся невариантами, как и в одной отдельно взятой группе [2]. Но стоит ещё раз отметить общее их число, включающее и «балласт»: 108 × 16 = 1728.

Далее, на рис. [6,7] представлены примеры групп магических квадратов, построенных по образцу группы [2], с подчёркнутыми цветом числами первой четвёрки; подобраны квадраты с четвёрочными картинками «веретено» и «вигвам»; общий рисунок, складывающийся в каждой группе из 16 отдельных картинок говорит сам за себя.

[6]

 

[7]

Но это только две схемы (картинки) из 7. А что остальные?

Оказывается, не всегда рисунок столь выразителен, вот другой пример ещё двух групп квадратов [8,9]: хаоса в схемах распределения четвёрок нет, более того, рисунки обладают центральной симметрией, но если охарактеризовать их неформально, нельзя не отметить явной «одномерности» этих числовых мозаик, протяжённости их в одной плоскости, отсутствия чётко выраженного центра. Почему?

[8]

 

[9]

Дело в том, что схемы расположения четвёрок в квадратах неравноценны. Во втором случае, в приведённых примерах [8,9] подобраны квадраты со схемами-картинками: «периметр» и «перо» [5]. Может быть, и названия, присвоенные им, кажутся странными (то же относится и к двум другим картинкам – «пирамида» и «петля»), но это естественно: все эти картинки [5-d,e,f,g] «на букву п» – «плохие», так как неполны! Потому-то и общие рисунки их отражений в секторах большого углового зеркала столь малопривлекательны.

Что это значит? Об этом – далее.

Прежде нам уже не раз приходилось говорить о так называемых невариантах магических квадратов [4-7/гл.III]. В Традиции к невариантам относят квадраты, полученные как полными отражениями исходного, так и его поворотами на плоскости на на 90°. В последнем случае результатом оказывается «боковой невариант» исходного квадрата, в котором числа строк исходного расположены в столбцах, а числа столбцов образуют строки. Но при этом «боковой невариант» оказывается не заглавным квадратом, и возникает необходимость в дополнительной операции его отражения справа налево или сверху вниз. Ничего мудрёного в этом нет, тем не менее, ещё раз остановимся ненадолго на этом виде преобразования.

На рис. [10] натуральный квадрат [a] в зоне действия углового зеркала (часть чисел не показана, т. к. для иллюстрации достаточно одной строки и одного столбца). Из трёх его невариантов нас будет интересовать отражение в левом смежном секторе – квадрат [b]. Хотя квадрат этот получен в результате не двух а только одной операции – отражением исходного в смежном секторе углового зеркала, он оказывается заглавным боковым невариантом, что и требовалось получить.

[10]

a
 c
d
 

То обстоятельство, что квадрат [a] и его зеркальное отражение [b] – оба начинаются с единицы, есть весьма полезное обстоятельство. Сравнивать между собой два или несколько квадратов значительно легче, если придать им по возможности единообразную ориентацию, пусть даже это единообразие ограничивается одинаковым положением только единицы.

Зеркальное отражение в теории, как известно, связывают с осевой симметрией.
Квадраты [10-a] и [10-b] могут рассматриваться, как две полуплоскости, взаимно совмещающиеся при повороте на 180° вокруг оси симметрии (на рис. [10] такой осью может служить линия, разделяющая секторы с этими квадратами).
Однако, если сравнить расположение чисел в этих квадратах, то становится очевидным, что невариант может быть получен более простым способом (хотя, куда уж проще...) – поворотом исходного квадрата на 180° вокруг собственной оси симметрии, совпадающей с его главной нисходящей диагональю:

[11]

 

Такое действие легче представлять мысленно, поэтому в дальнейшем пусть оно будет отождествляться с соответствующей операцией зеркального отражения исходного квадрата, в результате чего образуется его «боковой невариант».

Выполняя мысленно такой поворот в пространстве разных квадратов, мы можем констатировать инвариантность относительно этого преобразования первых трёх картинок [5-a,b,c], то есть их свойство сохранять неизменную конфигурацию в исходном квадрате и его боковом неварианте (имеется ввиду картинка-схема целиком, безотносительно к положению чисел внутри четвёрки):

[5]

a b c
 

Этого нельзя сказать об остальных четырёх схемах размещения четвёрок [5-d,e,f,g], обозначенных на следующем рисунке точками:

[12]

периметр-1  перо-1  пирамида-1  петля-1
 

Однократное (однозеркальное) отражение этих схем (или поворот на 180° в пространстве, о котором мы только что говорили), приводит к получению их боковых невариантов [13].
Возникает вопрос: какой из двух невариантов этих схем использовать для анализа симметрии 16 квадратов в зоне действия большого углового зеркала [2]? Каждый поочерёдно? А может быть, оба одновременно, совместив точки в одном квадрате?

[13]

периметр-2  перо-2  пирамида-2  петля-2
 

Так и сделаем. В следующих двух рядах изображены семь схем, из которых три «непарные» [14], и четыре [15], полученные совмещением боковых невариантов, например, «общая» схема «периметр» составлена из точек «периметра-1» и «периметра-2» [12,13].

[14]

вышка  вигвам  веретено
 

[15]

периметр  перо  пирамида  петля
 

Итого, семь схем распределения первой четвёрки в магических квадратах. Теперь все семь – «диагонально-симметричные» инварианты (см. [11]). В четырёх последних [15] парность перешла в двойственность, и теперь это уже как бы и не четвёрки... теперь схемы «на букву п» – тоже «полные».

Итак, на рис. [16] изображена группа квадратов в зоне действия большого углового зеркала, в которых обозначены точками числа первой четвёрки двойственной схемы «периметр». От квадрата к квадрату схема, состоящая из семи точек, подвергается зеркальным преобразованиям (см. [2]), в результате чего создаётся общая картина «точечной симметрии» группы.

[16]

Следующим шагом проявления симметрии этого «точечного скопления» должен быть переход к графическому объединению точек. Какими должны быть правила, или условия этих действий?

Первое и непреложное правило заключается в том, что рисунок должен быть центрально симметричным. Если в одном секторе соединить отрезком прямой две точки, то зеркало синхронно воспроизведёт его отражения в трёх других секторах. Так как зеркало условное, и «от имени зеркала» мы действуем сами, то первое правило можно сформулировать следующим образом: не надо обманывать зеркало!

Для первого опыта создания магических узоров задействуем двойственную схему «петля», а затем обсудим другие правила.

петля

На рисунке [17] в группе 16 квадратов изображён созданный на основе этой схемы геометрический узор, для которого можно придумать какое-нибудь подходящее название, например: «мотив с крестиками».

[17]

 

Поскольку для создания узора в группе используются точки только одной четвёрки, никаких особых условий их соединения отрезками прямой нет. Не обязательно, также, ограничиваться объединением только последовательных пар, составляющих четвёрку, или «замыкать в круг» соответственные отрезки, как в примере с отдельным квадратом [2,3/гл.VI].

Однако, в этом случае число возможных линий может перейти границы разумных пределов, поэтому следующее правило, которому необходимо следовать, создавая подобные узоры, направлено на сдерживание буйства фантазии и состоит в том, что линии, соединяющие точки схемы, не должны пересекать другие числа квадратов. Чтобы контролировать выполнение этого условия все другие числа, кроме первой четвёрки, обозначены в квадратах группы незатушёванными кружочками.

Третье, и последнее правило заключается в том, что не существует более никаких других правил, кроме тех, что подсказывают здравый смысл, интуиция и воображение.

На следующем рисунке [18] представлена композиция из линий, соединяющих точки схемы «периметр» (см., также, [16]; кстати, такова, в частности, схема размещения чисел первой четвёрки, только не двойственная, а в «одиночном аспекте», в квадрате Дюрера).

[18]

 

Обратите внимание на то, что не все точки схемы включены в узор. На этот счёт, также, нет никаких предписаний, которые повелевали бы использовать все точки схемы.

Не задействованные на рис. [18] точки для узора кажутся ненужными, лишними. Но узор может быть и другим. А кроме того, представьте этот квадрат в виде раппорта, то есть бесконечно повторяющегося рисунка, узора некоего орнамента на плоскости. Возможно, в таком орнаменте незадействованные точки окажутся очень даже уместными.

Два следующих примера «симметричной паутины» иллюстрируют, во-первых, некоторую перегруженность рисунков, когда в них задействованы все точки схемы, а главное, отсутствие в них чётко выраженной определённости, идеи, мотива; и во-вторых, неоднозначность решений в каждом случае – в узорах [19] и [20] использована одна и та же схема «пирамида».

[19]

 

[20]

Это всё, что я хотел сказать о «правилах» создания магических узоров, на основе схем размещения первой четвёрки чисел в магических квадратах.

Правила принято нарушать, иначе в них не будет смысла, однако, чувство меры не должно изменять вам – не будьте злостными нарушителями.

Узоры, в том виде, в каком они изображены в приведённых примерах, конечно, ещё только «сырые полуфабрикаты». Дальнейшая доработка их предполагает удаление вспомогательных линий (сетки квадратов), а иногда и некоторых фрагментов узора (стирание «невидимых» линий) и, конечно, самих точек. Затем окончательная «доводка» – цветовое оформление, или раскраска.

Если результат этого длительного процесса неудовлетворительный, узор нужно без сожаления выбросить и создать новый. Число возможных (и при этом разрешённых вторым правилом) вариантов соединения точек любой схемы в группе квадратов большого углового зеркала достаточно велико, поэтому, вовсе не обязательно останавливаться на первом же варианте узора.

Если композиция оказывается удачной, а тем более, отвечает замыслу, то желательно, чтобы у неё было название.

Вот, теперь всё сказано не только о правилах, но и о «технологии» создания узоров.

Теперь читатели, боюсь, забросят чтение и посвятят художественному творчеству в жанре «точечной композиции» (или «землемерия») остаток своих дней (лет J).

Но, может быть, я ошибаюсь...

В таком случае, предлагаю моим верным читателям просто посмотреть несколько готовых узоров, «сочинением» которых я, не без удовольствия, развлекался в часы досуга. Некоторые из этих стилизованных рисунков представлены в сопровождении краткого комментария.

 

 

[21]

вигвам
Утро Воскресения
 

В центре рисунка [21] звезда, которая «светит ярче других». Это Утренняя Звезда, или звезда Утра Воскресения; как бы затмевая свет других звёзд, она располагается на переднем плане, в окружении... гробов. Это не дань приверженности к некромантии или склонности к некрофилии. Смерть, которую олицетворяют здесь гробы, это не смерть от водки и от простуд. Это смерть тех, для кого она есть сокровище (Г. Линкольн, «Священная загадка»)

  1. Как только достигнуто такое состояние небытия, в Святилище вновь стоит Тот, Изначальный, Освящённый. И тогда наступает славная, святая и божественная минута, когда Неописуемо Великий встаёт перед кажущимся обличьем, доказывая тем самым, что Воскресение стало действительностью.

    (Я. Райкенборг, «Универсальный Гнозис»).

  1. (...)
  2. Назиад, передай братьям моим в Ширазе, что лицо Смерти прекрасно и отливает золотом точно так же, как последняя кисть виноградной лозы, как луна в осенних сумерках. Ты скажешь им, что поцелуй её – единственное на свете, что может утолить неутолимую жажду... [Саади]

    (В. Шмаков, «Великие Арканы Таро»)

 


 

[22]

перо
Малиновый звон
 

 


 

[23]

перо
Луг Духовный
 

 


 

[24]

перо
Магический кристалл
 

 


 

[25]

перо
Кощей Бессмертный
 

 


 

[26]

перо
Кундалини
 

  1. Кундалини Шакти – Мощь или сила, движущаяся змеевидно или извиваясь. Это есть всемирный жизненный принцип, всюду проявляющийся в Природе. Эта сила вмещает две великие силы притяжения и отталкивания. Электричество и Магнетизм есть лишь ее проявления.
    Это есть мощь, которая приносит то постоянное приноравливание между внутренними и внешними соотношениями, которое... есть сущность жизни и... является основою трансмиграции душ... (перевоплощения) в доктринах древних индусских философов.
    Йог должен вполне овладеть мощью этой силы прежде, нежели он достигнет Мокша (освобождения)...

    (Е. Блаватская, «Тайная Доктрина»).

 


 

[27]

вышка
Lapis Exilis
 

  1. ...Lapis Exilis... упал с неба... Михаил.., во главе ангельского войска напал на Люцифера и его легионы восставших духов. Михаил огненным мечом во время битвы выбил сверкающий Lapis Exilis из короны своего врага, и зелёный камень упал через все небесные кольца во мрак и неизмеримую Бездну. Из Лучистого камня Люцифера был сделан Святой Грааль, из которого, по поверью, Христос пил на Последней Вечере.
    (...)
    До сих пор не было дано удовлетворительной интерпретации Мистерии Грааля (...) Зелёный цвет чаши соотносит её с Венерой и мистерией возрождения, а также, с верой ислама с его священным зелёным цветом, чьей субботой является пятница, день Венеры (...)
    Для христиан, чья мистическая вера делает особый упор на элемент любви, Святой Грааль типизирует сердце... для христиан поиск Святого Грааля есть поиск собственного "Я", открытие которого знаменует завершение Великой Работы.

    М. П. Холл,  «Энциклопедическое изложение масонской, герметической, каббалистической и розенкрейцеровской символической философии».

 


 

[28]

вышка
Ночь
в Гефсиманском саду
 

На первый взгляд, линии очертания (окантовки) креста на цветном рис. [28] пересекают «пустые точки» схемы (четыре кружочка с каждой стороны группы квадратов), что возбраняется «вторым правилом» создания узоров. На самом деле, точки группы расположенные по периметру рисунка, надо рассматривать как его (рисунка) границы (линии геометрического квадрата, обрамляющего группу числовых квадратов, это просто рамка рисунка) Таким образом, изображение креста на рисунке образовано не «запрещёнными» линиями, а общим фоном композиции.

 


 

[29]

веретено
Протуберанцы
 

Протуберанцы – плазменные образования в СОЛНЕЧНОЙ КОРОНЕ, выступающие над поверхностью Солнца на сотни тысяч км.

Идея рисунка навеяна другой композицией, поражающей своей реалистичностью и также, созданной на основе схемы «веретено» – это «Корона», изображённая на следующем рис. [30]

В обоих рисунках допущено незначительное нарушение принятых условий: линии узоров пересекают четыре центральные «пустые» точки.

 


 

[30]

веретено
Корона
 

Неравномерное соотношение четвертных схем, использованных при создании рисунков, представленных в этой подборке, наверное, не осталось скрытым от внимания читателей. Действительно, самой продуктивной оказалась схема «перо», из неё получилось целых пять рисунков.
В этом смысле «веретено» занимает достаточно скромное положение – всего две композиции выполнены на основе этой картинки-схемы – «Протуберанцы» и «Корона».

Подобный, более чем субъективный критерий сравнения схем, конечно, нельзя принимать всерьёз. Да и существует ли, и нужен ли вообще, способ объективного их сравнения, и на предмет чего?

Между тем, одна из этих 7 схем четвёрок отличается выдающимся качеством, или свойством, или особенностью. Это именно, «веретено», среди себе подобных – подлинно королевская картинка-схема [6-b/гл.VI], и кажется, что совсем не случайно, она – сама «Корона»!., но это тема уже совсем другого исследования...

 


 

[31]

пирамида
Кронос
 

  1. Кронос обозначает бесконечное... протяжение Времени, без начала, без конца, вне делимости времени и вне Пространства (...) Когда Кронос изображён... калечащим Урана, своего Отца, то смысл аллегории становится ясным. Абсолютное время становится конечным и условным; часть взята от целого, показывая, таким образом, что Сатурн, Отец Богов был преображён из Вечной Длительности в ограниченный период.
    Кронос своею косою скашивает даже самые длинные и для нас как бы бесконечные циклы, которые в силу этого ограничены в Вечности и этою же косою он уничтожает самых мощных восставших. Да, никто не избежит Косы Времени! Хвала Богу или Богам, или же смейтесь над тем и другими, но коса эта не дрогнет ни на одну миллионную секунды в своем восходящем и нисходящем ходе.

    (Е. Блаватская, «Тайная Доктрина»).

 


 

[32]

 

 


 

[33]

 

 

Изображения Свастики [32,33], также, как и «Кронос», получены, на основе схемы «пирамида».
Возможно, что это единственный из всех рисунков, в котором нет ничего искусственного, «надуманного». Было бы очень непросто из одной схемы получить десяток вариантов одного изображения, если бы оно, действительно, не было скрыто в этой схеме.
В каждом из 4 цветных рисунков [32,33] нужно увидеть контурное изображение свастики, такой же формы, как цветная, но противоположного направления вращения.
Таким образом, из всех изображений свастики, полученных на основе схемы «пирамида» (т. е., включая «Кронос»), можно выделить не менее 10 различных – по форме, направлению вращения и ориентации.

  1. Свастика, наиболее священный и мистический символ в Индии, "Крест Джаина", как она называется сейчас у масонов, несмотря на её прямую связь и даже тождественность с Христианским Крестом, была обесчещена...
    Это "дьявольский знак", говорят нам миссионеры Индии. Разве не блистает он на голове великого Змия Вишну, на тысячеглавом Шеша-Ананта в безднах Патала, в Нарака или индусском Аду?
    Именно так; но что есть Ананта? Так же, как Шеша, это почти бесконечный Манвантарный Цикл Времени, и он становится именно Бесконечным Временем, когда его именуют Ананта, великим Семиглавым Змием, на котором покоится Вишну, Вечное Божество на протяжении Бездеятельности Пралайи. Что общего имеет Сатана с этим высоко метафизическим символом?
    Свастика из всех символов является наиболее философски научным... Это есть суммирование в нескольких линиях всего труда "творения" или, как следовало бы сказать, эволюции, начиная от Космотеогонии до Антропогонии, от неделимого, непостижимого Парабрамана до скромного монерона материалистической науки, начало которого так же неведомо этой науке, как и начало самого Все-Сущего Божества.
    Мы находим Свастику, возглавляющую религиозные символы каждой древней народности. Это есть "Молот Работника" в халдейской Книге Чисел.., "Молот" в "Книге Сокровенной Тайны", который высекает искры из огнива (Пространства), и эти искры становятся Мирами. Это есть Молот Тора.
    (...)
    Воистину, многочисленны значения этого молота!
    В макрокосмической работе "Молот Творения" с его четырьмя концами, загнутыми под прямыми углами, относится к постоянному движению и круговращению невидимого Космоса Сил.
    В работе проявленного Космоса и нашей Земли, он указывает на вращение в Циклах Времени мировых осей и их экваториальных поясов; две линии, образующие Свастику, означают Дух и Материю, четыре крючка предпосылают движение вращающихся циклов.
    В приложении к микрокосму, человеку, символ этот показывает, что человек есть связь между Небом и Землей; правая рука поднята на конце горизонтальной линии, левая же указывает на Землю. На Изумрудных Таблицах Гермеса на поднятой руке написано слово "Solve", на левой же слово "Coagula". Этот знак является одновременно алхимическим, космогоническим, антропологическим и магическим с семью ключами к его внутреннему смыслу. Не будет преувеличением сказать, что сложный символизм этого всемирного и наиболее изобразительного из знаков, содержит ключ к семи тайнами Космоса
    (...)
    Было время, когда восточный символ креста и круга, Свастика, был универсально принят. Для буддистов, китайцев и монголов эзотерически и экзотерически Свастика означает "десять тысяч истин". Эти истины, говорят они, принадлежат к тайнам Невидимой Вселенной и первозданной Космогонии и Теогонии.

    (Е. Блаватская, «Тайная Доктрина»).

Что сказала бы Е. П. Блаватская теперь, когда свастика не просто «обесчещена», но многими уже и не воспринимается иначе, нежели как зловещая эмблема идейных последователей бесноватого фюрера.
Хотя, впрочем, автор «Тайной Доктрины» ясно выразила своё отношение к фактам надругательства над древним символом, имевшим место в «её» время:

  1. ...символ этот настолько унижен сейчас, что он часто украшает головные уборы "Богов", отвратительных идолов святотатственных последователей Бонпо – дугпа или колдунов в Тибетских пограничных землях – до тех пор, пока... не сорван вместе с головой "Бога", хотя было бы лучше если бы, именно, голова подобного поклонника была отделена от его греховного тела.

    (Е. Блаватская, там же).

«Пожелание» Е. П. Блаватской остаётся актуальным и по сей день, хотя сегодня его следует отнести уже к другим «святотатственным поклонникам».
Что же касается поражённых особой разновидностью фобии, преследователей символа свастики, гоняющихся за тенями призраков, вместо преследования реальных «греховных тел», то их собственные головы, конечно, никому не придёт в голову «отделять от тел», ибо кому нужны пустые головы...

Несмотря на то, что все эти рисунки образованы точками четвертных схем магических квадратов, все они в определённой степени произвольны, за исключением, пожалуй, всё-таки, свастики. Тем не менее, в них есть и некоторая объективная сторона: при всём разнообразии «сюжетов» изображений, их объединяет один общий мотив – это всегда крест. А точнее, два креста.

Но что же здесь удивительного? – с недоумением спросят одни.

Это же естественно, – добавят другие, – что ещё можно увидеть в картине крестообразно ориентированных зеркалом отражений?

Действительно, если в трубке калейдоскопа мы видим узоры, в большинстве случаев, по форме напоминающие снежинки, то это потому, что зеркала в этой игрушке расположены под углом 60°. Такое угловое зеркало делит круг на шесть секторов (360 : 60 = 6), поэтому симметрия отражений нескольких бусинок в таком зеркале близка к симметрии снежинки. Если бы зеркала в калейдоскопе располагались под углом 90°, мы наблюдали бы в трубке узоры, преимущественно, крестообразной формы.
Так что ничего удивительного нет и в рисунках [21-33], но главное, что из этого следует, – в них нет ничего неестественного.

Тем не менее, изображения [21-33] не во всём подобны узорам, которые можно наблюдать в реальном угловом зеркале, отражая «точечные» предметы (например, бусинки).
В нашем случае, объектами отражений, также, служат точки (-числа) схем магических квадратов, а если говорить упрощённо и обобщённо, четвёрки чисел. Но картина симметрии четвёрки в системе угловых зеркал не точечная, а в конечном итоге геометрическая, и она двойственна! Это не «сумма», а именно двойственность, потому как, что особенно примечательно, – она неразделима!

Попробуйте для эксперимента в двойственной схеме «перо» стереть «лишние» точки, оставив только четыре – как в магическом квадрате, в одном из двух аспектов этой схемы [12,13].
Тогда, при удалении соответствующих «лишних» точек, их отражений и соединяющих линий из схемы большого углового зеркала, например, на рис. [24], можно ожидать, что «Магический кристалл» лишится одного креста.

Но это не так. Двойственность четвертной схемы магического квадрата не механическая, и общей картине симметрии большого углового зеркала она передаётся, так же – как синтез двух аспектов схемы, а не их сумма: удаление половины точек (принадлежащих «одному из этих аспектов») на рис. [24] приведёт к нарушению целостности изображения обоих крестов «Магического кристалла».

Итак, двойственность четвертной схемы, как это уже отмечалось ранее, и как теперь, с помощью опыта ещё раз подчёркивается, нельзя рассматривать, как простое суммирование двух её («не)вариантов»: схема двойственна, и два её аспекта (но не варианта!), это единство. Такое же неделимое единство, как и 4-точечные схемы («вышка», «вигвам», «веретено»). Те и другие рождают в большом угловом зеркале двойственную картину симметрии – синтеза двух крестов, сочетающихся "НЕРАЗДЕЛЬНО И НЕСЛИЯННО".

* * *

Любой составитель магических квадратов в своей работе непременно сталкивается с таким понятием, как «зеркальные близнецы», даже если не акцентирует внимание на зеркальной симметрии. Такие квадраты неоднократно встречались и в нашем исследовании. Примерами могут служить как неварианты, полученные полным отражением квадратов, так и различные между собой, производные операции отражения четвертей, универсальной зеркальной операции, в т. ч. преобразований с наложением схем, и т. д. В связи с этим не мог не появиться вопрос и о роли двоичной симметрии в выявлении новых «родственных связей» квадратов. К примеру, 432 (число правильных магических квадратов) кратно 16. Не «делится» ли массив 432 квадратов на 16 групп, аналогичных [2]?

Фантастичное предположение! Все 432 правильных магических квадрата существенно различны, а в группе [2] таковых только одна четверть, остальные просто в силу действия зеркала, неварианты (отражения исходной четвёрки квадратов).
И всё-же, и всё-же... Три четверти правильных магических квадратов (324) являются производными зеркальной операции отражения четвертей в 108 заглавных [2/гл.III], следовательно, каждый из квадратов входит в подобную четвёрку «зеркальных близнецов». Но и группа 16 квадратов в схеме большого углового зеркала [2] составлена из отражений такой четвёрки. И если учесть, что схем расположения четвёрок в заглавных квадратах всего семь, и что для проявления симметрии в большом угловом зеркале важна только картинка, конфигурация четвёрки, но не расположение в ней отдельных чисел, то предположение о возможности организации 432 квадратов, в соответствии с этим видом симметрии, уже не кажется таким уж фантастичным.

Итак, если бы удалось сформировать из 432 квадратов 27 групп (432=16×27) таким образом, чтобы картинка первой четвёрки в каждой из них, имитировала действие большого углового зеркала, то одно это уже дало бы основания говорить о двоичной симметрии правильных магических квадратов. А может быть, при переформировании групп, такую же симметрию продемонстрировала бы и картинка второй четвёрки.., и т. д.

Дело было за малым: от фантазий перейти к практической работе. Такая работа была проведена, и результаты её хотя и оказались не идеальными, но превзошли все ожидания. Весь массив правильных магических квадратов, действительно, подразделяется на 27 групп «по образу и подобию» группы [2]. Причём, в 24-х из них (№№1-24) все четыре (!) четвёрки порядковых чисел образуют картинки, которые реально являются взаимными отражениями. А в первых 18 группах (две трети всех квадратов), кроме того, симметрия первых четвёрок (1-2-3-4) иллюстрируется не только их одинаковой конфигурацией (картинкой из клеток), но и расположением каждого из 4-х чисел – «цифра в цифру»!, как в примерах с квадратами-невариантами [6-7].

Этот вид организации правильных магических квадратов я назвал Системой двоичной симметрии. 27 групп квадратов данного вида подразделения представлены на 10 отдельных страницах в разделе Приложений книги.

Вот ведь какой удивительный каламбур получается! 108 заглавных магических квадратов составляют 1/4 от их общего числа 432. А это общее их количество составлено 27 зеркальными семействами (по 16 квадратов, как чисел в одном квадрате), в то время, как число 27 составляет 1/4 от 108.

Особенности представления системы следующие. Каждая из 27 групп воспроизведена дважды под одним номером. Сделано это для большей наглядности: в одной из них подчеркнуты (цветом) первая и вторая четвёрки порядковых чисел, в другой – третья и четвёртая.
Подобно тому, как в примере [2] четвёрочные группы составлены квадратами – производными операции отражения составных четвертей, так и четвёрки квадратов Системы двоичной симметрии расположенные в каждом из секторов условного углового зеркала находятся в таких же отношениях. В масштабе всего углового зеркала эти четвёрки квадратов ориентированы в соответствии со схемой его действия. Но «полные отражения» в его секторах – только имитация, все 16 квадратов каждой из таких больших групп, естественно, различны.

В трёх последних группах (№№25-27), симметрия третьей и четвёртой четвёрок оказалась несовместимой с симметрией первой и второй. Другими словами, орнамент, образуемый числами третьей и четвёртой четвёрок в этих группах оказался несимметричным. Симметрия всё же была достигнута, но при ином формировании этих групп. В связи с этим, парные группы под одинаковыми номерами 25, 26 и 27, строго говоря, одинаковыми не являются. Хотя различия их минимальны, тем не менее, они имеют место быть. В состав этих групп входят одни и те же квадраты, одинаковы даже четвёрки квадратов, из которых две расположены в «парной» группе иначе – вот и всё различие. В любую четвёрку квадратов входит только один заглавный. В тех «парных» группах №№25-27, в которых единицы заглавных квадратов расположены не в вершинах (больших) групп, они (единицы) выделены контрастным цветом.*

* В группе №25 две нижние четвёрки квадратов с выделенными контрастным цветом единицами поменялись местами. В группе №26 две правые четвёрки квадратов обращены на 180° каждая. В группе №27 вся нижняя её половина отражена сверху вниз.

Прежде чем, собирать группу из 16 квадратов, для упрощения задачи были подобраны заглавные квадраты, впоследствии разместившиеся в вершинах групп. Такие четвёрки квадратов, также имитируют симметрию чисел-точек, только не в сложной зс [2], а подобно невариантам полных отражений в «простом» угловом зеркале. Собрание 108 заглавных магических квадратов в такой «комплектации», под названием Системы симметрии углового зеркала, также, вошло в раздел Приложений. Квадраты здесь скомпонованы в «сплочённые» четвёрки, в виде квадратов 8×8 – (образцы на рисунке ниже) и в этих квадратах выделены все четыре четвёрки порядковых чисел – каждая отдельным цветом. Четвёрки квадратов в этом собрании (в разделе Приложений) обозначены теми же номерами (с №1 по №27), под которыми в «Системе двоичной симметрии» расположены образованные от них группы по 16 квадратов.

 

На третьей странице собрания «108 заглавных магических квадратов в системе симметрии углового зеркала» объединены в четвёрочные группы (№№19-27) 36 заглавных магических квадратов с общей конфигурацией четвёрок порядковых чисел, ранее получившей название «пирамиды» [5-f]. Две из этих четвёрок квадратов, №19 и №23, изображены на рис. [34] под пунктами [a] и [c], соответственно.
Примеры [b] и [d] иллюстрируют возможность иных вариантов формирования из этих 36 квадратов четвёрочных групп и, следовательно, образованных от них больших – по 16 квадратов (примеры [b] и [d] иллюстрируют только такую возможность, на самом деле, образованных от них больших групп по 16 квадратов в собрании «432-х в Системе двоичной симметрии» нет).

Так, в группах [a] и [b] верхнюю половину составляют одни и те же квадраты, а нижнюю разные. Также, и в группах [c] и [d] общей является только пара квадратов – на нисходящей диагонали.

[34]

№19 
ab
№23 
cd

Возможность различных комбинационных сочетаний квадратов 4×4 может косвенно свидетельствовать о том, что для больших (по 16 квадратов) групп №№19-27 квадраты подобраны неправильно, поскольку в трёх из них «не совмещается» симметрия всех четырёх «пирамид». Необходимо найти способ правильного формирования групп, либо убедительно показать невозможность этого, но в таком случае «философски» осмыслить эту, хотя и незначительную, но всё же нарушающую общую картину симметрии, дисгармоничность.

Ни в том, ни в другом ваш покорный слуга не преуспел L... Может быть, кто-то из читателей окажется более удачливым?

* * *

Преобразования, соответствующие закономерностям двоичной симметрии, могут выполняться и с большими квадратами двойной чётности – 8×8. При этом роль углового зеркала в «генерации» новых магических квадратов весьма заметна: один исходный квадрат умножается количественно в 64 раза! Три четверти этого множества оказываются взаимными невариантами, но одна-то четверть – а это ни много ни мало, 16 квадратов – представлена существенно различными квадратами, то есть, в результате такого преобразования появляется 15 новых магических квадратов!

При такой «продуктивности» зеркальной системы её роль в выявлении внешней симметрии массивов больших магических квадратов может показаться второстепенной, незначительной. Тем не менее, отметить эту роль большого углового зеркала не лишено смысла. Взгляните на пару рисунков, запечатлевших в очень уменьшенном виде 2 группы из 64 квадратов каждая, построенных (и организованных) в соответствии с закономерностями двоичной симметрии:

[35]

В обоих случаях в квадратах подчёркнуты цветом 16 первых чисел из 64.
Вариации симметричных узоров в подобных группах, даже «без геометрии», поистине, безграничны.

Призываю увлечённых читателей оторваться уже от «плоской геометрии», и пойти дальше – как знать, не откроется ли, и в самом деле, «воистину не человеческое, а божественное чудо... тому, кто после этого... будет рассматривать трёхмерно протяжённые (числа) и подобные по своей пространственной природе...» (Архит Тарентский).


 

Корона-город, Россия. 2008/2015  С. С. Пирогов.