Глава I. Калейдоскопы Франклина


На рисунке [1-a] магический квадрат восьмого порядка с набором обязательных традиционных свойств – одинаковой суммой чисел в строках, столбцах и главных диагоналях. Но, кроме того, он обладает ещё и свойством числового калейдоскопа.

Квадрат подразделён на две группы (половины) чисел, одна из которых подчёркнута цветом. Это «колёса» – четыре «колеса», окрашенные для контраста каждое в свой цвет.
Другую группу чисел, заполняющих клетки главных диагоналей всех составных четвертей – квадратов 4×4 или, по-научному, квадрантов, я назвал «сепаратором» (разделителем).

Сепаратор (здесь и далее без кавычек) неподвижен, как картонная трубка калейдоскопа (поворачивание трубки в руках не в счёт). А вот колёса будем вращать, то есть, перемещать числа каждого из колёс по кругу. Они (эти числа) будут играть роль перекатывающихся цветных стёклышек или бусинок игрушечного калейдоскопа. Однако, цвет клеток квадрата не следует путать с цветом осколков стекла, создающих в калейдоскопе красочные симметричные узоры. Симметрия квадрата-калейдоскопа числовая! (хотя надо сказать, что и удачная цветовая палитра квадрата не лишена смысла: числовая симметрия, сопровождаемая меняющимся цветным орнаментом из клеток при вращении колёс только способствует положительному впечатлению).

Возьмите два обычных зеркала, поставьте их перед собой на рёбра, придвинув друг к другу таким образом, чтобы они напоминали открытую книгу. Вы получили, так называемое, угловое зеркало.
Пусть угол между «страницами» вашей «зеркальной книги» составляет 90°. Положите перед зеркалом монету и вращая её, наблюдайте за тем, что происходит с её отражениями в трёх других секторах углового зеркала. Вы увидите, что схему вращения монеты и её отражений можно изобразить круговыми стрелками, с такой же симметрией как на рис. [1-b], – квадрат здесь, это образ углового зеркала, в четырёх секторах которого вместо монеты и её отражений вращаются «числовые колёса».
Как монету можно вращать по часовой стрелке, или против, так и направление вращения колёс в квадрате-калейдоскопе может быть таким, как на рисунке, или противоположным – результат будет аналогичным.

Итак, прокручиваем колёса квадрата на один шаг (на одно число), соблюдая симметричность направлений вращения [1-b]. В результате, числовой состав строк и столбцов изменился, но вновь полученный квадрат, также, обладает свойствами магического [1-c]. С чисто математической точки зрения это уже другой, новый квадрат (отличный от исходного), хотя образно представляет собой просто новый «узор» данного числового калейдоскопа.

[1]

a b c

Прокручивание колёс на один шаг ничего бы не решало. Но колёса квадрата-калейдоскопа можно вращать до завершения полного 8-шагового цикла вращения (последний, восьмой шаг возвращает квадрат к исходному виду), в результате чего образуются 7 производных, в каждом из которых сумма чисел в строках и столбцах сохраняется неизменной (это обязательное условие, в противном случае считать квадрат числовым калейдоскопом просто нет оснований).
Магические квадраты среди которых нет повторяющихся, или зеркально дублирующих друг друга двойников (невариантов), в традиции принято считать существенно различными. Производные квадрата-калейдоскопа, действительно, различны «существенно» – ни в одной строке или столбце во всех 8 (вместе с исходным) квадратах, образованных вращением колёс, числовой состав не повторяется.

На рис. [1] показан квадрат [c], в котором относительно исходного [a] колёса прокручены на один шаг. Можно ли проверить, является ли квадрат калейдоскопом, не прибегая к практическому его переписыванию?
Для этого надо просто представить мысленно, как перемещаются числа при вращении колёс, и подсчитать их сумму.

Далее, на рис. [2] квадрат [a] в исходном виде. Цветом подчёркнуты числа, входящие в состав колёс в первой и последней (для примера) строках. Числа сепаратора не окрашены. Константа квадрата равна 260; при этом четыре числа колёс в строке составляют в сумме 130, и столько же дают при сложении четыре числа сепаратора. И так во всех строках (и в столбцах тоже). Поскольку числа сепаратора не перемещаются, то четвёрки чисел, которые окажутся в строках после первого шага вращения колёс, также, должны составлять в сумее по 130. На рис. [2-b] эти числа подчёркнуты цветом, выбранным для каждого из колёс (сравните с выполненным действием в [1-b]). Подсчитываем их сумму: 10+55+38+27=130, и 59+6+23+42=130.
Далее сдвигаемся (мысленно) ещё на один шаг назад, против направления вращения, и подсчитываем сумму чисел в выделенных цветом клетках, которые переместятся в строки на следующем этапе вращения, а здесь (в исходном положении) располагаются в столбцах [c]. И тут всё благополучно – суммы их составляют по 130. И так далее. То есть, подсчитывается сумма всех пар чисел по окружности колеса и складывается с суммой двух других чисел, симметрично расположенных в «соседнем» колесе (в смежном секторе углового зеркала). К примеру, на рис. [2-b] проверяется сумма чисел в оранжевых и синих клетках, а также, в оранжевых и зелёных. Аналогично для других колёс (смежных секторов углового зеркала): в жёлтых и синих, в жёлтых и зелёных.

[2]

a b c

На рис. [3] продолжение примеров. Цикл проиллюстрирован не до конца, но во всех, подлежащих проверке четвёрках чисел, сумма их оказывается равной 130. Вывод: квадрат [2-a] – числовой магический калейдоскоп.

[3]

a b c

Магический квадрат [1-a] можно рассматривать как модель углового зеркала, каждый из четырёх секторов которого представлен составной четвертью, или квадратом 4×4. Если составить из четырёх или шестнадцати таких квадратов один большего размера, мы получим числовую модель уже не просто зеркала, а целого комплекса зеркал, или зеркальной системы.
Однако, четверти 4×4 в составе квадрата 8×8 уже и сами, аналогично магическим квадратам четвёртого порядка, являются зеркальными системами, составленными, каждая из четырёх малых угловых зеркал 2×2 клетки.
Магические квадраты 4×4 своей внутренней структурой определяют конфигурацию зеркальных систем в них самих и в магических квадратах двойной чётности больших размеров – 8×8, 16×16 и так далее. Существует три зеркальные системы, в «Посвящённых Юпитеру» им были присвоены индивидуальные названия – дискретная, интегральная и веерная. На рис. [4] приводятся цветовые схемы этих зеркальных систем, с детальным отображением симметрической структуры [a,b,c], и подразделением каждой системы на две половины [d,e,f]. Каждая четвёрка клеток одного цвета в квадратах-схемах [a,b,c] условно обозначает четыре сектора малого углового зеркала системы; следует различать смежные секторы этих малых угловых зеркал (пары клеток одного цвета в строках или столбцах), и полярные (пары диагональных клеток, также, одноцветных).
Четвёрки клеток-секторов малых угловых зеркал могут располагаться сплочённо, в форме квадрата 2×2, как в дискретной зеркальной системе (дзс), либо раздельными парами, как частично в интегральной зеркальной системе (изс), а то и вовсе разрозненно, как в веерной зеркальной системе (взс); В зеркальной системе малые угловые зеркала 2×2 сами становятся секторами углового зеркала большего масштаба, что наиболее наглядно демонстрирует рис. [4-d]: квадрат-схема здесь выглядит как одно угловое зеркало с четырьмя секторами, но каждый из которых и сам является таким зеркалом, только меньшего размера). В двух других зеркальных системах [e,f] эта иерархия секторов и зеркал не так очевидна, поэтому для наглядности здесь и приводятся рисунки цветовых схем, подчёркивающих внутреннюю структуру каждой из них.

[4]

дискретная зс интегральная зс  веерная зс
a b c
   
d e f
 

Любая из трёх зеркальных систем подразделяется на две структурно равнозначные половины – центральную и периферийную область. В цветовых схемах [d,e,f] эти области подчёркнуты светлым и тёмным фоном клеток, соответственно. В свою очередь, каждая из этих областей представлена парой полярных секторов, что опять-таки наиболее наглядно в квадрате-схеме [d]. В квадратах-схемах [a,b,c] полярные секторы центральной области это четвёрки клеток красного и жёлтого цвета; полярные секторы периферийной области – клетки синего и зелёного цвета (четырёхцветная палитра схем [a,b,c] не даёт забыть о том, что любой сектор, центральной ли области, или периферийной, сам составлен четырьмя секторами меньшего размера, то есть, сам является малым угловым зеркалом).

В квадратах на порядки больших размеров зеркальные системы ещё более усложняются и на первый взгляд разобраться в таком мультизеркальном числовом скоплении просто нереально. В действительности дело обстоит вовсе не так безнадёжно: зеркальные системы переходят в новый масштаб измерения, а мы – на новый уровень восприятия, и всё оказывается понятным и доступным. К примеру, магический квадрат-калейдоскоп [1-a] можно рассматривать как модель сложной многозеркальной системы, но вместе с тем и как простое угловое зеркало, с секторами которого в нём отождествляются уже не отдельные клетки, как в квадратах 4×4, а сами такие квадраты. В квадрате 16×16 квадрат такого размера (8×8) сам превращается в один из четырёх секторов, и т. д.

Внутренняя симметрическая структура квадратов 4×4 в квадратах больших размеров просто множится подобно росту кристалла; мы любуемся блеском и формой кристалла, чаще не имея понятия о структуре его атомной решётки, потом учимся обрабатывать его, а вслед за этим и синтезировать, а некоторые даже выращивать.

Подробнее о зеркальных системах и связанных с ними свойствах магических квадратов 4×4, можно узнать из первой моей книги «Посвящённые Юпитеру». Здесь же читателям достаточно принять новые термины Теории зеркальных систем, не вникая глубоко в их смысл, и уяснив только то, что стоит за ними на практике, применительно к числовым калейдоскопам.

Проверим, является ли магический квадрат Франклина калейдоскопом. На следующем рисунке [5] этот квадрат изображён в трёх экземплярах, c наложенными на них цветовыми схемами трёх зеркальных систем (сравните эти экземпляры с квадратами [4-a,b,c]), а также, со схемами вращения колёс в каждой из зеркальных систем. Колёса минимальных, 8×8, калейдоскопов в составе квадрата 16×16, подчёркнуты общим цветом, и как видим, могут быть представлены компактно (сплочённо) – в виде сложенных квадратов 8×8 [5-a], но чаще разобщёнными парами колёс, и даже отдельными, разрозненными колёсами [5-b,c] – всё в точном соответствии с одноцветными клетками цветовых схем квадратов 4×4 [4-a,b,c]). Cкладывая мысленно эти колёса в калейдоскоп 8×8, следует подразумевать схему их взаимно-подчинённого вращения такой же, как и монеты с её отражениями в угловом зеркале, или колёс в квадрате [1].

Только для краткости и удобства, и только условно я называю эти четвёрки одноцветных колёс в составе квадрата 16×16 [5] калейдоскопами. На самом деле, пока известно одно: что это просто квадраты 8×8, и на наличие в них свойств калейдоскопа их ещё только предстоит проверить.

Итак, в дискретной зеркальной системе (дзс) четвёрки колёс предполагаемых минимальных калейдоскопов в составе квадрата 16×16 расположены компактно [5-a], и совпадают с его составными четвертями – квадратами 8×8. Ни один из этих квадратов по отдельности не является калейдоскопом, что легко проверить описанным выше способом (рис. [2,3]).
Но, может быть, «в сумме» они всё-же образуют большой калейдоскоп?
Прежде чем мы приступим к проверке этого предположения, хочу обратить внимание читателей на схемы вращения колёс в дискретной и интегральной зс. Хотя конфигурация этих зеркальных систем не одинакова, что подчёркнуто и их цветовыми схемами, отображающими различный состав минимальных калейдоскопов 8×8, полные схемы вращения колёс в этих зс фактически совпадают. Поэтому, проверяя наличие свойств калейдоскопа в одной из них, мы получим результат сразу для обеих этих зеркальных систем. Итак, перейдём к практическим действиям.

[5]

дискретная зеркальная система
a
интегральная зеркальная система веерная зеркальная система
b c

Ниже, на рис. [6], изображён первый ряд колёс (вместе с числами сепаратора) этого квадрата. Сумма чисел сепаратора в первой строке (неокрашенные клетки) равна 1028. Такая же сумма чисел и в окрашенных клетках*, принадлежащих колёсам. Вместе 2056, магическая постоянная квадрата. И так во всех строках [a]. Проверке подлежит совокупность всех пар чисел, симметрично расположенных по окружностям во всех четырёх колёсах. В примерах [b] и [c] сумма их, также, равна 1028. Подсчёт суммы всех остальных таких чисел в этом, и трёх других горизонтальных рядах колёс квадрата даёт аналогичный результат.

* На рисунках [6,7] цветовые акценты не соответствуют принятой условной палитре цветовых схем ни одной из трёх зс; различный цвет, которым подчёркнуты числа в этих примерах выбран для более контрастного размежевания колёс.

[6]

a      
  
b      
  
c      
 

Такая же проверка выполняется и в вертикальных рядах. Проверим.
На рис. [7] изображён трижды повторенный первый вертикальный ряд колёс магического квадрата Франклина. В первом случае [a] в левом столбце цветом выделены числа колёс, составляющие в сумме 1028. Числа сепаратора в этом столбце, также дают в сумме 1028; итого, константа 2056. Это исходное состояние.
Суммируем числа, которые займут левый столбец при прокручивании колёс на один шаг. И тут нас ждёт разочарование. Увы, но сумма их не равна 1028 [b]. Проверку можно не продолжать – калейдоскопа нет. Но всё же, посмотрим, что там дальше. В ряду колёс [c], следующего этапа их вращения, сумма чисел снова равна 1028. Но это уже не утешает. Однако, это ещё не приговор. Есть ведь ещё веерная зеркальная система.

[7]

a b c

Далее, на рис. [8] приведены примеры проверки первого ряда колёс на разных этапах (не всех) их вращения* в квадрате Франклина, с целью определения в нём свойств калейдоскопа в веерной зеркальной системе. Такие свойства выявлены. Полная проверка магического квадрата Франклина показала, что при такой схеме вращения колёс (в взс), он является полноценным числовым магическим калейдоскопом.

* Мысленные этапы вращения необходимы, чтобы «примерить» сумму проверяемых чисел колёс к числам сепаратора в выбранном столбце, или строке квадрата. Иногда проверяемые пары чисел уже выстроены в линию, и входят в состав строк или столбцов, а иногда приходится выстраивать их в ряд мысленно, и этому помогает воображаемое вращение колёс. В действительности, проверяемые числа должны иметь необходимую сумму, оставаясь на своих местах, и надо просто запомнить такие «места», чтобы суммируя эти числа в статичном квадрате, быстро определить наличие или отсутствие в нём свойств калейдоскопа.

[8]

  
  
  
  
  
  
  
 

Далее предлагаю вниманию читателей развёрнутую иллюстрацию действия числового калейдоскопа в магическом квадрате Франклина в обеих зеркальных системах. Хотя в первом случае калейдоскопом в полной мере квадрат себя не проявил, оценка свойств производных квадратов в этих преобразованиях по-своему интересна.

Итак, в первом варианте (изс) квадрат Франклина можно считать калейдоскопом только при условии прокручивания колёс сразу на 2 шага (принимать такое условие, считая квадрат «частичным» калейдоскопом, либо не принимать и не считать – дело индивидуальное). Причём, производные каждых двух шагов вращения колёс – квадраты №№2,4,6 – не просто магические, но как и исходный, совершенные в целом и с совершенными четвертями – квадратами 8×8.

Во втором варианте (взс) квадрат Франклина является полноценным магическим калейдоскопом – все 7 производных квадратов магические. Как частный случай, можно отметить дополнительное свойство производного №4: это совершенный магический квадрат с совершенными составными квадратами 8×8.

Кстати, почему все производные вращения колёс в веерной зс простые магические квадраты, а один (№4), как белая ворона, совершенный? Дело здесь вот в чём. Как бы по-разному, в смысле направления, не вращались колёса калейдоскопа, на четвёртом этапе вращения они достигнут половины оборота, и в этот момент числа всех колёс займут в производном квадрате одинаковое положение, как в интегральной, так и в веерной зс. То есть, это будет один и тот же квадрат, в нашем случае №4. Этот фактор необходимо учитывать при подсчёте общего числа производных квадратов, когда речь идёт о действии калейдоскопа в разных зс. Ну, а более гармоничное состояние квадрата №4 объясняется просто: половина чисел его колёс в этот момент находится в диаметральном противоположении, относительно их положения в исходном квадрате, а это какая ни есть, симметрия, и вполне естественно её проявление в конкретном свойстве производного квадрата.

Итак, в целом выявляется некоторая дисгармоничность квадрата в части свойств калейдоскопа (калейдоскоп – он либо есть, либо его нет, а «половинчатый», как в интегральной зс, свидетельствует о какой-то недоработке квадрата). Если Франклин знал об этом свойстве своего детища, почему не довёл его до логической завершённости? Не смог? Или всё-же не знал?

Однако, сомнения в том, что этот чародей «не ведал, что творил», только усиливаются при более пристальном взгляде на его полумагический квадрат [9], о котором речь шла ранее (см. [2], 'Введение'). Оказывается, это тоже квадрат-калейдоскоп, полностью проявляющий свои свойства в взс и частично в изс. Конечно, производные действия этого калейдоскопа, также, оказываются полумагическими квадратами, и всё-же, квадрат [9] – калейдоскоп, пусть и полумагический, ведь вращение колёс не нарушает исходных его свойств.

[9]

 

После такой неожиданности уже не казалось легкомысленным намерение проверить полумагический квадрат Франклина 32 порядка.* Вы не поверите: он тоже оказался калейдоскопом! – 64 вращающихся колеса не нарушают основных исходных свойств этого квадрата! Более того, колёса можно вращать в любой из четырёх составных его четвертей независимо, т. е., в каждом из квадратов 16×16 по отдельности (например, только в каком-то одном из них), и при этом константа в строках и столбцах целого квадрата сохраняется. Такого типа калейдоскоп можно назвать фрагментарным, или раздельным. Возможность раздельного вращения различных групп колёс, естественно, означает наличие в квадрате свойств и полного калейдоскопа. Кроме того раздельный калейдоскоп позволяет получать различные комбинации вращающихся колёс, а также, направлений их вращения, которое в каждом фрагменте можно менять на противоположное.

* Квадрат я нашёл в одной из статей Н. Макаровой, опубликованной на сайте http://refdb.ru/look/2026544-pall.html

Свойства калейдоскопа в этом полумагическом квадрате в полной мере проявляются при вращении колёс в изс, и частично – в взс (обе зеркальные системы в квадрате 32×32 образуются сложением четырёх одинаковых зс соответствующей конфигурации, в масштабе квадрата 16×16).
Есть и ещё один вариант вращения колёс в этом квадрате. Если рассматривать его не как сложную зеркальную систему, а как одно угловое зеркало с четырьмя секторами, и вращать колёса какой-то одной его четверти 16×16 все в одну сторону, а других с соблюдением общей симметрии вращения, характерной для секторов углового зеркала, как в квадрате 8×8 [1], то мы, также, получим действующий полный калейдоскоп; то есть, все производные квадраты, полученные при вращения колёс по такой схеме, сохраняют свойства исходного полумагического квадрата.

Нельзя не сказать и ещё об одной, характерной для квадратов Франклина особенности, которой обладает и этот большой полумагический квадрат: это наличие в нём «магической поляны», образованной квадратиками 2×2, сумма чисел которых, где бы они не располагались в квадрате 32×32, постоянна, и равна 2050, или 1/8 константы.

Эти неординарные свойства полумагических квадратов 16×16 [9] и 32×32, а именно – калейдоскоп, «магическая поляна» – рождают некоторое недоумение, и даже подозрительность: неужели добившись таких результатов, Франклин не сумел выправить всего две диагонали (в особенности, в меньшем из них) и избавить свои квадраты от уничижающей приставки «полу...»?
На одном из сайтов автор статьи о квадратах Франклина, Н. Макарова, цитирует некий журнал, в котором можно прочесть следующее:

  1. Необходимо заметить, что Бенджамин Франклин оставил уникальное научное и духовное наследство следующим поколениям исследователей, причем, видимо принципиально не раскрыл до конца ни одного из своих алгоритмов по построению магических квадратов, а в особенности для своего легендарного магико-магического квадрата 16×16, который являлся в то время высшим уровнем разработки удивительной серии магических квадратов (http://refdb.ru/look/2026544-pall.html)

Вот как! Магико-магический! Народ не просто восхищается, но испытывает определённое благоговение, пиетет к самому магическому-магическому квадрату, подчёркивая это эмоционально-экспрессивными его характеристиками.

Но народ не всё ещё знает: действительно, Франклин намеренно не дал описания способов построения своих квадратов, но не только! Он ещё скрыл и сами квадраты! За исключением одного, рассказ о котором в следующей главе.