Глава II. Самый магический-магический


Не пора ли, друзья мои, нам замахнуться
на Веньямина… м-м, нашего Франклина?

(Переосмысленная и перефразированная
реплика одного из персонажей
к/ф «Берегись автомобиля»)

Б. Франклин был наделён разносторонними дарованиями, он оставил заметный след в различных областях науки; имя его, как учёного, ещё при жизни завоевало всеобщее признание, он был избран почётным членом многих научных сообществ, в том числе Российской Академии Наук. С большим уважением к Франклину относился Академик П. Л. Капица, почитая его наравне с такими учёными, как Ломоносов, Резерфорд, Ланжевен.

Но даже не беря во внимание историческую значимость личности Бенджамина Франклина для своей страны и своего времени, как государственного и общественного деятеля США – дипломата, бесстрашного борца за демократические свободы и права сограждан, учёного, основателя первого в Америке Университета, основателя Философского общества (по типу Лондонского Королевского Общества), создателя Публичной библиотеки, ставшей впоследствии центром научной мысли в Америке, издателя, публициста, журналиста, и т. д. и т. д.,* но рассматривая одно только его увлечение магическими квадратами (при такой-то занятости!), поневоле проникаешься уважением к этому магу-чародею. Не имея в своём распоряжении не только компьютера, но и элементарного калькулятора; не имея таких предшественников-исследователей с их наработками в этой области, каких имеем мы, он сумел построить числовые квадраты, на века занявшие высшую в своём классе ступеньку пьедестала. Как Д. Шостакович, который, если бы сочинил одну только «Ленинградскую симфонию», уже был бы Шостаковичем, которого мы знаем, так имя Б. Франклина благодаря одному только словосочетанию «магический квадрат Бенджамина Франклина», уже узнаваемо.

* Кем он только не был – даже Президентом Соединённых Штатов Америки. Не верите J? Тогда смотрите сюда:

Но Б. Франклин не был профессиональным математиком, и не создавал алгоритмов построения магических квадратов с использованием сложных математических приёмов. С трудом представляю, как некий «математик-ботаник», вычисляя нечто с помощью алгебраических формул, заносит в клетку будущего магического квадрата очередное число. Такое представление вызывает улыбку: подобным способом магические квадраты никто не строит. Зато исследуют и анализируют с привлечением инструмента, не применявшегося при «строительстве». Не удивительно, что некоторые из этих исследований напоминают неудачную попытку развязать «бантик» на шнурке ботинка, когда потянешь не за тот конец.

Вот один из примеров недавнего исследования квадратов Франклина: «Plenty of Franklin Magic Squares, but none of order 12 C.A.J. Hurkens June 4, 2007» – книга, доступная интернет-пользователям (http://www.win.tue.nl/~wscor/Magic/SPORfms.pdf). Взгляните на небольшой фрагмент этой работы:

Если вы владеете английским языком, не факт, что это поможет вам понять, о чём здесь речь – как минимум, надо знать ещё один язык J. Автор работы, Гуркенс (Hurkens) построил «квадраты Франклина», и в частности, 16 порядка, достаточно высокого класса. Однако, это не приблизило его к разгадке секрета магического квадрата Франклина.

Кто из нас в детстве, в канун Нового года, не вырезал из салфеток «снежинки», чтобы украсить ими ёлку или прилепить их к оконному стеклу. Помните, как это делается? В сложенной салфетке там и сям вырезаются уголки, квадратики, клинышки, кружочки, и прочие фигурки. Затем сложенная салфетка разворачивается и о, чудо!, хаотично проделанные дырки образуют изящный узор! В магическом квадрате всё точно так же, только с «противоположным знаком»: в развёрнутом виде, то есть, в отрезке натурального ряда внешняя симметрия чисел сходу не видна, разве только двух крайних. Но если одинаковые куски этого отрезка сложить в правильную двумерную конструкцию – квадрат, симметрия порядковых чисел сразу становится наглядной; к примеру, квадрат 4×4, в котором построчно записаны порядковые числа от 1 до 16, и с этими числами ещё не производилось никаких действий, уже характеризуется центральной симметрией, как и симметричные магические квадраты (в частности, знаменитый квадрат Дюрера), а также, обладает свойством, за которое магические квадраты с таким свойством получили «титул» совершенных. Если в таком (натуральном, то есть, не магическом) квадрате симметрично перемещать туда-сюда группы чисел, то рано или поздно красивый «арифметический узор» обязательно получится. Ведь числовая симметрия, проявляющаяся в сумме чисел, неразрывно связана с внешней симметрией их расположения, как в отрезке натурального ряда, так и в квадрате. Но в квадрате легче выполнять перемещения чисел, имитируя действие зеркала, и даже не имеющий представления о закономерностях зеркальной симметрии, может «случайно» построить магический квадрат. Ведь ребёнок не задумывается о том, что он имитирует, вырезая в сложенной салфетке один уголок, а на самом деле, сразу четыре, или и того больше.

Подходить к разгадке алгоритма создания магического квадрата, надо вооружившись не столько алгеброй, сколько детской непосредственностью. Остальное зависит от намерения составителя данного квадрата и вашей проницательности. Готовый квадрат легко запутать так, что никакая проницательность и интуиция не поможет вам разгадать его секрет. Может быть, Франклин так и поступал при создании своих квадратов? Иначе как объяснить тот факт, что и через два столетия после смерти учёного-чародея тайна его квадратов остаётся нераскрытой, и продолжает интриговать поклонников числовой магии?

Особый интерес вызывает секрет его пандиагонального магического квадрата 16 порядка. Можно строить различные предположения о том, как Франклин до него «додумался», но достоверных сведений об этом теперь мы, конечно, не найдём. В свете этого неведения.., хотя нет, какой уж тут свет! Во мраке этого неведения остаётся одно: «измышлять гипотезы», – а почему бы и нет? Разве это предосудительно для того, кто не Ньютон? Итак, дерзнём проникнуть в тайну создания самого магического-магического квадрата.

Тот, кто хотя бы поверхностно знаком с шахматами, при взгляде на этот квадрат не может не заметить характерной его особенности: порядковые числа в квадрате «связаны» в пары «ходом коня». А ведь именно на передвижении этой фигурки по клеткам шахматной доски основан метод построения числовых калейдоскопов 8×8, о чём я уже упоминал в конце «Введения» (обратите внимание на расположение четвёрок порядковых чисел в квадрате-калейдоскопе 8×8 на рис. [1-a], гл.I, если не заметили этого раньше). Есть ли в действительности что-то общее между «ходом коня» и расположением чисел в квадрате Франклина? И если есть, то что это нам сулит? Это мы и попытаемся теперь выяснить.

Далее на рис. [1] первые четыре строки магического квадрата Франклина, с подчёркнутыми разным цветом колёсами.

[1]

 

Представим первую и вторую из этих строк так, как если бы числа были записаны на двух пластинах, соединённых подвижным шарниром (красная «точка»):

[2]

 

Опускаем вниз левую пластину [3-a], и продолжая вращать её вокруг шарнира, складываем с правой [b]. В результате такой манипуляции сходство размещения порядковых чисел в «двухколёсном блоке» с четырёхходовками коня на шахматной доске становится бесспорно очевидным, а половина из них, от 1 до 16, даже образуют два замкнутых микромаршрута коня, по восемь ходов каждый [с].

[3]

 

Восхитительная числовая комбинация! Может ли она быть случайной, как бы побочным следствием неизвестного нам способа построения этого квадрата? Я в этом сомневаюсь. Думаю, Франклин экспериментировал с ходом коня и именно результат этих экспериментов воплотился у него в один из самых знаменитых магических квадратов «всех времён и народов».

Покажу теперь процесс построения магического квадрата Франклина, каким он, вероятно, и был. Или мне просто хочется думать, что он таким был J? На всякий случай напомню читателям: это всего лишь гипотеза. Как знать, быть может, кто-то предложит другую, более правдоподобную...

Итак, по образу и подобию изящной «конно-шахматной» числовой комбинации [3-c] составляем такие же, из каждых последующих 16 порядковых чисел натурального ряда, от 17...32 до 113...128.
В группу полученных числовых блоков [4] включена и первая комбинация:

[4]

a b
c d
e f
g h

Теперь разворачиваем каждый числовой блок в пару строк по примеру с «пластинами на шарнире», только в обратном порядке, от [3] к [2]. На рис. [5] все блоки развёрнуты, и намечена предварительная группировка чисел в квадрат 16×16: легко определяются его строки и столбцы. Образованную парами строк группу чисел стоит подробно исследовать – в ней уже заложены основы практически всех свойств будущего квадрата. Осталось только слегка подретушировать получившуюся картину. И как увидят читатели, корректировка не потребует долгих импровизаций – иной раз так пройдёт шахматный конь, что и неопытный следопыт по следам видит: волшебник прошёл...

[5]

 

Следующий рисунок [6], только усовершенствованный вариант предыдущего: никаких операций с числами, кроме более чёткого их подразделения на квадраты 4×4:

[6]

 

Как правило, простой числовой квадрат приобретает магические свойства в результате подразделения его чисел на равные части и затем, зеркального противоположения этих частей. Чаще этими частями являются половины, или четверти числового состава, а противоположение достигается операциями зеркального отражения. Следующее действие преследует именно такую цель и заключается в зеркальном обращении четвёрок чисел нижней половины каждого из квадратов 4×4 и подчёркнутых на рисунке жёлто-зелёным цветом клеток. Каждая такая чётвёрка, как одно целое обращается на 180°. Или, что то же самое, числа четвёрок крестообразно меняются местами. Результат операции на рисунке ниже [7]:

[7]

 

Далее требуется как-то «разрядить» столбцы с числами, чтобы освободить половину занятых клеток, для последующего, равномерного их заполнения оставшимися числами. Решается эта задача просто: надо «сдвинуть с места» половину чисел столбцов, но естественно, с соблюдением симметрии. Рис. [8] иллюстрирует эту бесхитростную операцию.

[8]

 

В результате этой операции, клетки которые теперь заняты числами, расположились в квадратах 4×4 наподобие зигзага, причём в двух различных вариантах. Можно определить их как левый и правый «зигзаг», что обозначено на рисунке буквами «лв» (левый) и «пр» (правый). Перегружать читателей рассуждениями о художественных достоинствах этих «картинок» я, конечно, не буду, но о той роли, которая отводится им в магических квадратах, умолчать никак нельзя. Дело в том, что эти самые «зигзаги» являются составляющими симметрической структуры зеркальных систем и отображают один из трёх наилучших способов их разделения на равноценные половины (подробнее в  Посвящённых Юпитеру, гл.VI) Другими словами, с позиций симметрии такое расположение чисел очень удачное. Однако, здесь, в общей картине симметрии группы, «зигзаги», как некий индикатор, сигнализируют о возможной недостаточности, или неточности в действиях, подчёркивая асимметрию самой операции. Хотя на первый взгляд сдвиг чисел выполнен равномерно, однако, визуальное впечатление обманчиво, на самом деле «зигзаги» следуют сверху вниз не симметрично, а последовательно: левый-правый-левый-правый. Мы ещё вернёмся к обсуждению этого порядка, а сейчас продолжим. Точнее, завершим – осталась финальная процедура: расстановка в квадрате остальных чисел.

На следующем рисунке [9-a] наш «квадрат-полуфабрикат» изображён в одеянии новой цветовой палитры, наличие которой сильно упрощает задачу расстановки недостающих чисел. Это цветовая схема интегральной зеркальной системы в масштабе каждого отдельно взятого квадрата 4×4.

Как можно видеть на рисунке [9-a], числа в квадратах (4×4) занимают по две диагональные клетки одного цвета, то есть, по два полярных сектора каждого из четырёх малых угловых зеркал изс. Отсутствующие числа, следовательно, должны занять места, в качестве отражений имеющихся, в свободных секторах малых угловых зеркал. Такими взаимными отражениями в магических квадратах являются любые два числа, равноотстоящие от начала и конца отрезка натурального ряда, то есть, числа симметричных пар. Например, 1 и 256 составляют (симметричную) пару в отрезке натурального ряда от 1 до 256 (как два ведра на коромысле J). Другой такой парой будет, к примеру, 4 и 253. И так далее. Симметричные пары потому ещё так называются, что характеризуются одинаковой суммой. В квадрате 16×16 сумма чисел любой симметричной пары равна 257.

Итак, в квадрате на рис. [9-a] первая клетка (окрашенная в красный цвет) занята числом 14. Другим, составляющим с ним симметричную пару является число 243, и для него есть две свободные клетки такого же цвета – при вершинах данного квадрата 4×4. В одну из них, четвёртую в строке, и вписываем число 243.

Таким же образом заполняются клетки всех других однородных (одноцветных) секторов малых угловых зеркал в этом и остальных квадратах 4×4. Магический квадрат Франклина построен [9-b] – проверяйте:

[9]

a b

Симметричные пары в квадрате Франклина занимают смежные секторы малых угловых зеркал в квадратах 4×4 (горизонтально расположенные, т. е., в строках квадратов). В идеале они должны занимать полярные секторы угловых зеркал; в квадратах 4×4 на рис. [9] это клетки одного цвета, расположенные по диагонали. Но такие пары клеток в квадратах 4×4 к началу завершающей операции оказались уже занятыми, поэтому оставалась возможность размещения симметричных пар в смежных секторах, что не является ошибочным: интегральная зеркальная система соответствует внутренней структуре квадратов 4×4 двух типов, один из которых как раз и характеризуется расположением числовых пар в смежных секторах. Здесь из двух смежных секторов выбор был сделан в пользу расположенных горизонтально (в строках, а не в стобцах). Почему? Просто потому, что это был правильный выбор, определённый опытным путём. Так же, как и выбор типа магического квадрата 4×4, а именно – <6> (обозначение, принятое в классификации Е. Я. Гуревича – см. «Посвящённые Юпитеру», гл.IV) с конкретной внутренней структурой (не обязательно с числами), в качестве шаблона для заполнения свободных клеток строящегося квадрата 16×16. Это ключевой момент: Б. Франклин, конечно же, ничего не знал о классификации Е. Я. Гуревича; также, как мог и не ассоциировать симметрию магических квадратов 4×4 с закономерностями действия углового зеркала, но внутренняя структура квадратов, обязанная характеру распределения в них симметричных пар, никак не изменилась ни за последние триста лет, ни за три тысячи, ни даже за пять тысяч лет.

К слову сказать, теперь, когда у вас сложилось представление о зеркальных системах, перед вами полнее раскроется и одно из свойств магического квадрата Франклина, которому я присвоил легкомысленное наименование «магическая поляна». Посмотрите на рис. [10-a]. В магическом квадрате Франклина любые четыре числа не только в форме квадратика 2×2, но в любых четырёх клетках, расположенных подобно малым угловым зеркалам изс в квадрате 4×4, составляют в сумме 514 (как и две симметричные пары). Таким образом, где бы мы не очертили квадрат 4×4 на поле квадрата Франклина, он будет иметь внутреннюю симметрическую структуру, подобную структуре изс. При этом, «всё поле» – одно большое угловое зеркало [10-b], составленное такими же, только меньшими 8×8, и ещё более миниатюрными 4×4; и при всём том, это совершенный магический квадрат и числовой магический калейдоскоп. Поистине, шахматный конь творит чудеса!

[10]

a b

Остаётся вопросить (в пространство...) – пользовался ли Бенджамин Франклин каким-либо источником, давшим ему ключ к построению магического квадрата столь высокого класса? И не из этого ли источника в мир шахмат пришла задача о ходе коня? А может, она сама и родилась из этого квадрата?..
Ставшую классической в шахматной математике, задачу о ходе коня нередко связывают с именем выдающегося учёного Л. Эйлера, посвятившего её исследованию большой аналитический труд. Автор задачи неизвестен. А вот годы жизни Эйлера и Франклина известны, сравните их: Эйлер 1707-1783, Франклин 1706-1790.

* * *

Итак, мы воссоздали вероятную цепочку действий, приводящих к построению квадрата Франклина, хотя действия самого автора квадрата могли в чём-то и отличаться. Сколько же звеньев насчитывает эта цепочка? Два?, три?..

Но хотя квадрат построен, один из результатов выполненных операций, вызывает сомнения. Может быть, надуманные, пустые... Однако, почему бы не проверить? Речь идёт о внешней симметрии распределения чисел после операции сдвига, то есть о «зигзагах». Желательно проверить, не изменятся ли свойства квадрата при симметричной очерёдности этих «картинок», то есть, в порядке их следования сверху вниз: лв-пр-пр-лв (или наоборот: пр-лв-лв-пр) на рис. [8]. Для этого достаточно поменять местами третий и четвёртый (либо первый и второй) ряды квадратов 4×4; сделать это можно как на «ранней стадии» их формирования [6,7...], так и на завершающем этапе, и даже в готовом квадрате 16×16.
Ниже, на рис. [11] представлен оригинальный (фактический) квадрат Франклина, и его вариант [12], в котором два нижних ряда квадратов 4×4 поменялись местами:

[11]

[12]

Прежде, чем мы поговорим о свойствах полученного квадрата [12], хотелось бы выполнить ещё одно преобразование – сделать его заглавным, так я называю квадраты, начинающиеся с единицы.

Пандиагональные (совершенные) магические квадраты обладают одним своеобразным свойством: если перенести первый столбец на правый край квадрата, или верхнюю строку переместить вниз, и делать это сколько угодно раз, свойства квадрата не изменятся – он останется пандиагональным. Такие действия называют «переносами на торе», или «торическими переносами». Почему так называют? Суть в следующем. Если свернуть листок бумаги с изображением квадрата в горизонтальную трубочку (цилиндр), то первая строка соединится с последней, и тогда слева на поверхности цилиндра можно выбрать любую крайнюю клетку в качестве начальной для презаписи квадрата – полученный вариант квадрата останется «при своих свойствах». Это будет равнозначно перемещению сверху вниз строк квадрата. Если теперь изогнуть цилиндр так, чтобы соединились его торцевые края, получится «бублик», или тор. Конечно, так изогнуть бумажную трубочку не получится, но мысленно «бублик в клеточку» вообразить не трудно. Одним словом, на торе магический квадрат 16×16 превращается в этакую кривую замкнутую клетчатую поверхность, у которой нет ни начал, ни краёв, и любая из её 256 клеток может служить в качестве начальной для нового варианта магического квадрата со свойствами исходного пандиагонального.
Н. Макарова, в публикациях которой я нашёл квадрат Франклина (http://www.klassikpoez.narod.ru/franklin.htm), также, предпочитает квадраты, начинающиеся с единицы, и превращает магический квадрат Франклина в заглавный [13], используя эти самые торические переносы. Затем полученный заглавный квадрат Н. Макарова ещё и «укладывает на бок», так что строки его становятся столбцами, а столбцы строками; речь сейчас не о том, для чего это ей понадобилось, а о том, что именно в таком виде «бокового» неварианта она его и представляет в своей публикации, и в таком же виде этот квадрат изображён здесь [13]:

[13]

При этом составные квадраты 8×8 в её «заглавном варианте» не только утратили свойство совершенных, но и вовсе перестали быть магическими. Может быть, математики подобные дополнительные свойства магических квадратов больших размеров никак не учитывают, и Н. Макарова сознательно проигнорировала эту утрату. Но вот о чём она явно не подозревала, так это о свойствах калейдоскопа, которых модернизированный ею «квадрат Франклина» лишился напрочь, иначе она не поступила бы с ним так безжалостно. Вывод: квадрат-калейдоскоп нельзя «истязать на торе». И вообще, аккуратнее надо обращаться с квадратами, автором которых вы не являетесь; может быть, его составитель что-то зашифровал в своём творении.

Характеристики «заглавного варианта» квадрата Франклина, представленного ниже, на рис. [14] ничем не отличаются от свойств и внутренней структуры «просто варианта» [12], это каждый может проверить; получен он путём выполнения в исходном [12] нескольких операций двоичной симметрии (о том, что кроется за этим термином, читайте в «Посвященных Юпитеру», гл.VIII). Не отличается квадрат [14] традиционными магическими свойствами и от оригинального (фактического) квадрата Франклина. Отличие его от оригинального магического квадрата состоит в том, что он является усовершенствованным магическим калейдоскопом: все (!) производные его действия в двух (!) зеркальных системах – пандиагональные (!) магические квадраты 16 порядка.

[14]

магический квадрат Франклина (вариант заглавный)