Глава V. Презентация квадратов-калейдоскопов


В этой главе я ненадолго остановлюсь на примерах двух квадратов с несколько различающимися характеристиками, а затем представлю на суд читателей небольшую (!..) подборку подобных им вариантов. Причём, это будут не разрозненные экземпляры, а целые сообщества, объединённые по признакам зеркального и комбинаторного «родства».

Итак, предлагаю вниманию читателей два квадрата с иллюстрациями, характеризующими их как калейдоскопы. Оба они обладают одинаковыми традиционными свойствами: это «трижды совершенные» магические квадраты – совершенные «в целом», составленные совершенными квадратами 8×8, которые, в свою очередь, сложены из совершенных магических квадратов 4×4; в числе их свойств, также, «магическая поляна» 2×2=514.

Как числовые калейдоскопы они могут действовать в двух зеркальных системах каждый, но «по природе своей», больше тяготеют к какой-то одной. Проявляется это в свойствах производных квадратов.

Вот они, эти два квадрата:

[1]

[2]

«MAGIOZI-1» «MAGIOZI-2»

Было бы неплохо как-то их персонально наименовать. Поскольку квадраты, даже «индивидуальные», образуют семейства, иногда достаточно обширные (производные действия калейдоскопов), первое, что приходит на ум, это сравнение их с мафиозной (семейной) структурой. Очень легко «приходит на ум», поскольку «мафия» и «магия» неожиданно оказываются столь созвучными. Отсюда просто «вытекает»... «maGiozi»
Почему «magiozi», а не «магиози»? Здесь всё просто: по-русски вместо «мафиози» следовало бы говорить «член семьи», так как «мафия» не русского происхождения; но так же и «магия» (maja – magus, magia, magic, image, imagination...)
Итак, один из них для различения получает персональное наименование «Magiozi-1», другой – «Magiozi-2».

«Magiozi-1» – квадрат, проявляющий себя как калейдоскоп, прежде всего, в дискретной зс. Как вы помните, полные схемы действия калейдоскопов в дзс и изс совпадают, но доминантная в данном случае определятся легко: в интегральной зс составные четверти – квадраты 8×8 не являются автономными калейдоскопами. В квадрате «magiozi-1», напротив, насчитывается девять 4-колёсных («сплочённых») квадратов-калейдоскопов 8×8, и семь условных, составляемых из разрозненных колёс. Итого, 16 калейдоскопов 8×8, которые могут действовать в квадрате 16×16 порознь, или в различных допустимых сочетаниях.
Ниже, на рис. [3] квадраты 4×4 условно обозначают квадраты 16 порядка, а четвёрки разноцветных клеток – калейдоскопы 8×8 в их составе (каждая клетка – одно колесо). Всего 16 калейдоскопов, о которых только что говорилось. Причём колёса действующих в сочетании калейдоскопов 8×8 могут вращаться в разном направлении, или они могут стартовать не одновременно, а с задержкой одного из них на 1, 2, 3 и т. д. шагов прокручивания колёс. И так далее. Вариаций достаточно, чтобы сбиться при подсчёте новых квадратов  16×16 – производных действия исходного калейдоскопа.

[3]

 

Веерная зс, также, доступна для квадрата «magiozi-1», но производные действия полного калейдоскопа в этой зеркальной системе оказываются ничем не выдающимися магическими квадратами. Перечисленные свойства не исчерпывают всех «способностей» квадрата «magiozi-1», как калейдоскопа, – возможны для него и другие демонстрации, характерные, также, и для квадрата «magiozi-2», но с более скромными результатами. Наиболее ярко полный калейдоскоп «magiozi-1» проявляет себя в дзс. Все 7 производных вращения его колёс по схеме этой зс (или, что равнозначно, интегральной зс) – совершенные магические квадраты 16×16, сложенные из совершенных магических квадратов 8×8, обладающие ещё и свойством «магической поляны» 4×4=2056:

Следующий квадрат заметно отличается от предыдущего свойствами калейдоскопа. Если вникать в подробности, придётся очень долго о нём рассказывать, поэтому я рекомендую ближе ознакомиться с темой, посвящённой квадратам-калейдоскопам 8×8, более полно раскрытой в книге «Волшебный конёк-скакунок», прежде чем вы захотите охватить взглядом все свойства квадрата-калейдоскопа «Magiozi-2».
Ещё только два примечания. Первое: доминантной для него следует считать веерную зс. И второе: не все возможные проявления этого калейдоскопа раскрыты в развёрнутых иллюстрациях, но все производные его действий, которые здесь воспроизведены, – все (!) совершенные магические квадраты.

Итак, ни в чём не уступая друг другу, и ни в чём друг друга не превосходя в традиционных оценках, квадраты «magiozi-1» и «magiozi-2» всё же различаются свойствами калейдоскопов. Отсюда вытекает не особо острая, но всё же, необходимость как-то подразделить (другие) квадраты, с аналогичными характеристиками. Поэтому, прежде следует охарактеризовать квадраты-примеры. Первый из них, «magiozi-1», будем именовать универсальным калейдоскопом, второй – «magiozi-2», многофункциональным, подразумевая его предрасположенность к многовариантному разделелению полного квалейдоскопа на фрагменты, действие которых «генерирует» совершенные магические квадраты.

А теперь вы, наверное, хотите многия квадраты? Их есть у меня J. Первая серия – 24 квадрата. Две четвёрки квадратов, с 1 по 8 квадрат, и две с 9 по 16 квадрат, представлены каждая двукратно, с различными сочетаниями одних и тех же квадратов, чтобы полнее передать симметрию различных структурных областей отдельных квадратов и их групп. Квадраты с 17 по 24 не дублируются – у них и так достаточно сложная картина зеркальной симметрии.

Наслаждайтесь! Нумерация квадратов и цветные акценты помогут вам. Все 24 пандиагональные магические квадраты являются универсальными калейдоскопами.

Следующие 48 пандиагональных магических квадратов представлены группами по 6 экземпляров. Весь массив поделён пополам по признаку незначительной перемены во внутренней структуре квадратов этих частей; рассмотрите расположение в этих квадратах порядковых чисел четвёрок – они ограничивают в квадратах по 25 (5×5) клеток, но обращайте внимание на ориентацию пар порядковых чисел: в первой части массива они расположены в квадратах горизонтально, во второй – вертикально.
Каждая группа демонстрирует комбинационные сочетания в 6 квадратах одних и тех же чисел, подчёркнутых одинаковым цветом клеток. Аналогичную комбинаторику вы могли встретить в массивах квадратов 4×4 («Посвящённые Юпитеру», гл.VI), и 8×8 («Волшебный конёк-скакунок», гл.VI, Приложение «Собрание 1728 избранных магических квадратов восьмого порядка»).
Все 48 квадратов Приложения №12 – многофункциональные калейдоскопы. Повторов среди них нет.

Группы, объединяющие квадраты одновременно в сложно-комбинационные и мультизеркальные сочетания, составляют следующую серию из 48 квадратов. Оставляю читателям возможность самостоятельно анализировать симметрические свойства и комбинационные взаимоотношения квадратов этой серии в группах и групп между собой. Здесь, также, все квадраты уникальны (невариантов нет), и также, все являются многофункциональными калейдоскопами.

Завершают экспозицию два совершенных квадрата 32×32.

Первый – универсальный калейдоскоп (сочтите число 4-колёсных калейдоскопов в его составе!)
второй – многофункциональный.