Глава V. Презентация квадратов-калейдоскопов


(...)

Итак, предлагаю вниманию читателей два квадрата с иллюстрациями, характеризующими их как калейдоскопы. Оба они обладают одинаковыми традиционными свойствами: это «трижды совершенные» магические квадраты – совершенные «в целом», составленные совершенными квадратами 8×8, которые, в свою очередь, сложены из совершенных магических квадратов 4×4; в числе их свойств, также, «магическая поляна» 2×2=514.

Как числовые калейдоскопы они могут действовать в двух зеркальных системах каждый, но «по природе своей», больше тяготеют к какой-то одной. Проявляется это в свойствах производных квадратов.

Вот они, эти два квадрата:

[1]

[2]

«MAGIOZI-1» «MAGIOZI-2»

Было бы неплохо как-то их персонально наименовать. Поскольку квадраты, даже «индивидуальные», образуют семейства, иногда достаточно обширные (производные действия калейдоскопов), первое, что приходит на ум, это сравнение их с мафиозной (семейной) структурой. Очень легко «приходит на ум», поскольку «мафия» и «магия» неожиданно оказываются столь созвучными. Отсюда просто «вытекает»... «maGiozi»
Почему «magiozi», а не «магиози»? Здесь всё просто: по-русски вместо «мафиози» следовало бы говорить «член семьи», так как «мафия» не русского происхождения; но так же и «магия» (maja – magus, magia, magic, image, imagination...)
Итак, один из них для различения получает персональное наименование «Magiozi-1», другой – «Magiozi-2».

«Magiozi-1» – квадрат, проявляющий себя как калейдоскоп, прежде всего, в дискретной зс. Как вы помните, полные схемы действия калейдоскопов в дзс и изс совпадают, но доминантная в данном случае определятся легко: в интегральной зс составные четверти – квадраты 8×8 не являются автономными калейдоскопами. В квадрате «magiozi-1», напротив, насчитывается девять 4-колёсных («сплочённых») квадратов-калейдоскопов 8×8, и семь условных, составляемых из разрозненных колёс. Итого, 16 калейдоскопов 8×8, которые могут действовать в квадрате 16×16 порознь, или в различных допустимых сочетаниях.
Ниже, на рис. [3] квадраты 4×4 условно обозначают квадраты 16 порядка, а четвёрки разноцветных клеток – калейдоскопы 8×8 в их составе (каждая клетка – одно колесо). Всего 16 калейдоскопов, о которых только что говорилось. Причём колёса действующих в сочетании калейдоскопов 8×8 могут вращаться в разном направлении, или они могут стартовать не одновременно, а с задержкой одного из них на 1, 2, 3 и т. д. шагов прокручивания колёс. И так далее. Вариаций достаточно, чтобы сбиться при подсчёте новых квадратов  16×16 – производных действия исходного калейдоскопа.

[3]

 

Веерная зс, также, доступна для квадрата «magiozi-1», но производные действия полного калейдоскопа в этой зеркальной системе оказываются ничем не выдающимися магическими квадратами. Перечисленные свойства не исчерпывают всех «способностей» квадрата «magiozi-1», как калейдоскопа, – возможны для него и другие демонстрации, характерные, также, и для квадрата «magiozi-2», но с более скромными результатами. Наиболее ярко полный калейдоскоп «magiozi-1» проявляет себя в дзс. Все 7 производных полного калейдоскопа (вращения всех его колёс) по схеме этой зс – совершенные магические квадраты 16×16, обладающие ещё и свойством «магической поляны» 4×4=2056. Любой из четырёхколёсных калейдоскопов в составе производных, условно обозначенный одной из 16 схем на рис. [3], также, совершенный магический квадрат 8×8.

Следующий квадрат заметно отличается от предыдущего свойствами калейдоскопа. Если вникать в подробности, придётся очень долго о нём рассказывать, поэтому я рекомендую ближе ознакомиться с темой, посвящённой квадратам-калейдоскопам 8×8, более полно раскрытой в книге «Волшебный конёк-скакунок», прежде чем вы захотите охватить взглядом все свойства квадрата-калейдоскопа «Magiozi-2».
Ещё только два примечания. Первое: доминантной для него следует считать веерную зс. И второе: не все возможные проявления этого калейдоскопа раскрыты в развёрнутых иллюстрациях, но все производные его действия, которые здесь воспроизведены, – все (!) совершенные магические квадраты 16×16.

Итак, ни в чём не уступая друг другу, и ни в чём друг друга не превосходя в традиционных оценках, квадраты «magiozi-1» и «magiozi-2» всё же различаются свойствами калейдоскопов. Отсюда вытекает не особо острая, но всё же, необходимость как-то подразделить квадраты с аналогичными характеристиками. А для этого, прежде всего, охарактеризовать данные квадраты-примеры. Первый из них, «magiozi-1», будем именовать универсальным калейдоскопом, второй – «magiozi-2», многофункциональным, учитывая его способность к многовариантному разделелению полного калейдоскопа на фрагменты, действие которых «генерирует» совершенные магические квадраты.

А теперь вы, наверное, хотите ещё квадраты?  Их есть у меня...

Первая серия – 24 квадрата. Две четвёрки квадратов, с 1 по 8 квадрат, и две с 9 по 16 квадрат, представлены каждая двукратно, с различными сочетаниями одних и тех же квадратов, чтобы полнее передать симметрию различных структурных областей отдельных квадратов и их групп. Квадраты с 17 по 24 не дублируются.

Наслаждайтесь! Нумерация квадратов и цветные акценты помогут вам. Все 24 – пандиагональные магические квадраты и универсальные калейдоскопы.

Следующие 48 пандиагональных магических квадратов представлены группами по 6 экземпляров. Весь массив поделён пополам по признаку незначительной перемены во внутренней структуре квадратов этих частей; рассмотрите расположение в этих квадратах порядковых чисел четвёрок – они ограничивают в квадратах по 25 (5×5) клеток, но обращайте внимание на ориентацию пар порядковых чисел: в первой части массива они расположены в квадратах горизонтально, во второй – вертикально.
Каждая группа демонстрирует комбинационные сочетания в 6 квадратах одних и тех же чисел, подчёркнутых одинаковым цветом клеток. Аналогичную комбинаторику вы могли встретить в массивах квадратов 4×4 («Посвящённые Юпитеру», гл.VI), и 8×8 («Волшебный конёк-скакунок», гл.VI, «Собрание 1728 избранных магических квадратов восьмого порядка»).
Все 48 квадратов Приложения №12 – многофункциональные калейдоскопы. Повторов среди них нет.

Группы, объединяющие квадраты одновременно в сложно-комбинационные и мультизеркальные сочетания, составляют следующую серию из 48 квадратов. Оставляю читателям возможность самостоятельно анализировать симметрические свойства и комбинационные взаимоотношения квадратов этой серии в группах и групп между собой. Здесь, также, все квадраты уникальны (невариантов нет), и также, все являются многофункциональными калейдоскопами.

Очередные в нашей экспозиции – два больших пандиагональных магических квадрата 32×32. Квадраты представлены вместе с производными действия их полных калейдоскопов: первого в дзс, второго в изс и взс.
Первый из них, GrandMagiozi-1 – универсальный калейдоскоп.

(сочтите число 4-колёсных калейдоскопов в его составе!)

Второй, GrandMagiozi-2 – многофункциональный.

И завершает обзор серия совершенных магических квадратов-калейдоскопов 8×8.
Здесь я несколько отступлю от регламента этой главы, предполагающий показ только готовых квадратов и уделю некоторое внимание вопросу о происхождении квадратов этой последней серии. Для этого придётся ещё раз обратиться к уже не раз упоминавшейся здесь книге «Волшебный конёк-скакунок», в раздел Приложений которой входит большая коллекция квадратов 8×8, озаглавленная «Собрание 1728 избранных магических квадратов...» Несколько десятков квадратов в этом «Собрании...» являются калейдоскопами, и ещё столько же ими не являются, но обладают предрасположенностью к превращению их в таковые.

Квадраты-калейдоскопы в «Собрании 1728 избранных...» размещены на листах с 041 по 048 включительно, то есть, всего 96 квадратов. Подчеркну: квадраты совершенные. Единственное, чего им не достаёт, в сравнении с представленными здесь, другими квадратами-калейдоскопами (16×16 и 32×32), это свойства «магической поляны». Конечно, были предприняты поиски способа преобразования этих квадратов, наделяющего их таким свойством. И такой способ достаточно быстро был найден, однако действенным он оказался не для всех 96 квадратов, а лишь для 1/4 их представителей. Расположены эти «представители» в «Собрании 1728 избранных...» только на листах с чётными номерами из перечисленных выше, то есть: 042, 044, 046, 048; и только в составе второй (нижней) шестёрки на каждом из этих листов.

Далее иллюстрация преобразования на примере квадрата №7, лист 042 (символ '№' на листах «Собрания 1728 избранных...» не используется, номера квадратов подразумеваются при условии естественной их нумерации по порядку размещения на листе).
Преобразование не сложное и, наверное, понятно из рисунка.

[4]

[5]

Ú
1728/042/7 мк с 'магической поляной'

Таким образом были получены 24 совершенных магических квадрата-калейдоскопа со свойством «магической поляны». Ещё столько же удалось «отвоевать» у «Собрания 1728 избранных...»,* путём превращения в калейдоскопы квадратов первых шестёрок на листах 051, 055, 059, 063. Квадраты эти, как уже было сказано, калейдоскопами не являются; естественно, поэтому, что превращение их в таковые, да ещё со свойством «магической поляны», потребовало несколько операций.
На следующем рисунке [6] воспроизводится цепочка действий по превращению в калейдоскоп исходного квадрата №1, лист 051. Итоговый квадрат [e] повторяется под пунктом [f] с восстановленной цветовой схемой калейдоскопа.

* Зачем понадобилось «отвоёвывать», если можно оставить в «Собрании...» улучшенные варианты этих квадратов?
Дело в том, что нельзя оставить. Изменения исходных квадратов затрагивают их внутреннюю структуру, нарушая закономерность размещения в них чисел, характерную для квадратов «Собрания 1728 избранных...», в результате чего, их «улучшенные варианты» не могут ему принадлежать. Потому и рассказ об этих вариантах более уместен здесь.

[6]

1728/051/1   перераспределение четвертей   перестановка колёс сверху вниз
a b c
перестановка нижних пар строк   перегруппировка столбцов   повтор с цветовой схемой
   
d e f

Итак, в наличии оказалось 48 совершенных магических квадратов-калейдоскопов 8×8 со всеми известными, присущими им свойствами. Путём их сравнения были выявлены различные операции преобразований этих квадратов с целью получения новых, с такими же свойствами. В результате число их возросло до 360. Здесь представлена четверть этой коллекции – 90 квадратов, каждый из которых может быть легко размножен с помощью преобразования, представляющего собой некоторую разновиднось универсальной зеркальной операции (см. «Посвящённые Юпитеру», гл.IV).

Ниже приводится пример такого преобразования квадрата [6-f]; на рис. [7], это исходный квадрат [a]. Квадраты [b], [c] и [d] – производные операции. Комментировать иллюстрацию нет необходимости, поскольку порядок перемещения чисел достаточно прост, чтобы во всём разобраться по рисунку.

[7]

a b
c d