Глава VI. Экзотические калейдоскопы

 

Какая ж песня без баяна, какая ж булка без изюма J... Это говорю вам я, – Сеня Пирогов!
Отойдём от высоких стандартов, сапоги тачать не будем, но изюминку в пирожную продукцию непременно добавить надо. Эта заключительная глава и станет такой добавкой.

Вот перед вами магический квадрат 16×16 [1]. И он же – калейдоскоп, в интегральной зс. Всё самое простое, никаких пандиагональных свойств, ни «магической поляны», ни прочих высоких материй. Ну, разве что.., есть у него одно интересное свойство. Составные его четверти – магические квадраты 8×8, и из каждой такой четверти можно сложить магический куб 4×4×4.

Ранее я уже отмечал некоторую индифферентность математиков, в их отношении к подобным свойствам магических квадратов. Дело в том, что любой магический квадрат – 4×4 или 8×8, если он включён в магический квадрат большего размера, то есть, входит в его состав, как 1/4 или 1/16 его часть, и так далее – такой «внутренний» квадрат считается нетрадиционным, так как не может состоять из одних только порядковых чисел (строго следующих друг за другом как в натуральном ряду). Безусловно, такое подразделение необходимо, так как построить нетрадиционный магический квадрат значительно легче (например, включить в него повторяющиеся числа – это тоже допустимо для нетрадиционного). Но есть, на мой взгляд, существенное различие между нетрадиционными магическими квадратами. В одном случае такой квадрат может быть произвольным плодом необузданной фантазии составителя, в другом – магическим квадратом в составе большего, как подобие части целому, как однородный элемент общей структуры, а порой превосходящий её – аналогично включению драгоценного камня в массив менее ценного минерала; или добавке изюма в булочку J – нехорошо разбрасываться такими свойствами булочек магических квадратов, поэтому мы их отмечаем.

[1]

«MAGIOZI-3»
 

На рис. [2] изображён нетрадиционный магический квадрат 8×8, составляющий четверть большего [1]. В свою очередь, он состоит из четырёх магических квадратов 4×4, между прочим, совершенных. Из них-то и складывается, как пирог из четырёх слоёв, магический куб 4×4×4 с магической константой равной 514. На рис. [2] слои куба пронумерованы так, как если бы следовали в таком порядке друг за другом сверху вниз (или снизу вверх). И так в каждой составной четверти квадрата [1].

[2]

 

Весьма примечательна внутренняя структура квадрата [1].

Особенный интерес она может вызвать у читателей, знакомых с содержанием книги «Волшебный конёк-скакунок». В числовых подразделениях квадрата они узнают и «мельницу», и «кристалл», и обе «паутинки» – зеркальные составляющие квадрата Йениша, только умноженные здесь четырёхкратно угловым зеркалом.

Итак, если числа от 1 до 256, в порядке естественного их следования, поделить на четыре части, то они образуют четыре диапазона натурального ряда: 1-64, 65-128, 129-192 и 193-256, или четыре числовые четверти натурального квадрата 16×16 (не путать с геометрически-числовыми четвертями квадрата!)
Ниже, на рис. [3] четырежды воспроизведён магический квадрат [1]. Цветом клеток в его экземплярах подчёркнуты числа четырёх диапазонов натурального ряда, или четырёх числовых четвертей натурального квадрата 16×16. В квадрате [a] – первой четверти; в квадрате [b] – четвёртой; в квадратах [c] и [d] – второй и третьей четвертей, соответственно.

[3]

a b
c d

Подчёркнутые цветом числа в квадратах [a] и [b] образуют в совокупности сепаратор квадрата [1]; в квадратах [c] и [d] – его колёса. Говорить о таком подразделении числового состава квадрата [1] есть все основания: как уже было отмечено, он является типичным, полным магическим числовым калейдоскопом в интегральной зеркальной системе.

Но кроме этого, он обладает ещё и свойствами нетипичного калейдоскопа.

Какое определение дать этому типу свойств магических квадратов? У материального калейдоскопа-игрушки уже появились различные модификации – афанеидоскоп, дебускоп, типоскоп, медитоскоп (http://fishki.net/43929-istorija-kalejdoskopa-15-foto.html). Вопрос о наименовании «модификаций» числового калейдоскопа остаётся пока открытым. Я не стану изобретать их, пусть «ВРИО» нового термина будет прежний – «числовой калейдоскоп», к которому в каждом случае можно прибавить какое-нибудь подходящее индивидуальное название.

Далее, на рис. [4-a] вы видите квадрат 16×16 с четырёхцветной окраской клеток, составляющих периферийную область интегральной зс (или совокупность клеток колёс). Цветные клетки образуют четыре замкнутых контура, складывающихся в изображение креста (или двух крестов – жёлто-зелёного и оранжево-синего цветов). Если привести в движение одновременно все числа этих контуров в магическом квадрате [1], то в результате одного шага их перемещения будет получен квадрат с новым числовым составом строк и столбцов. И так при каждом следующем шаге. В результате полного обхода контуров появляются новые квадраты, которые вместе с исходным образуют целое их семейство. Квадрат [4-a], это не что иное, как схема перемещения чисел в магическом квадрате [1]. Числа в каждом контуре следуют в направлении увеличения числовых значений схемы и сдвигаются все сразу, и одновременно (синхронно).

[4]

a b

При демонстрации действия этого нетипичного калейдоскопа, даже статической, нецелесообразно окрашивать все клетки с перемещающимися числами, так как не будет очевидной динамика процесса. Поэтому часть клеток оставлены без окраски [b]. Квадрат [1], как представитель особо отмеченной здесь «мафиозно-магиозной» касты получил собственное имя «Magiozi-3». А этому его калейдоскопу я присвоил наименование «Крест».

Все производные (числом 31) этого действа – магические квадраты (а иначе какой же это был бы калейдоскоп). Кроме того, каждый из этих квадратов обладает и свойствами типичного полного калейдоскопа, действующего, как и исходный, в интегральной зс.

В описании калейдоскопа «восьмёрка» в квадрате 8×8 (см. «Волшебный конёк-скакунок», гл.III) была показана «непрерывность» свойств типичного и нетипичного калейдоскопов, этакая «цепная реакция» между ними. Любопытно, существует ли такое взаимодействие свойств калейдоскопов в квадрате [1]? Иначе говоря, если в каком-то из производных калейдоскопа «Крест» вращать колёса, то вновь полученные квадраты, также, будут магическими. Это проверено. Но будут ли и они, в свою очередь, обладать свойствами калейдоскопа «Крест»? И так далее. Выборочная проверка дала положительный ответ. Полная представляет собой огромный объём работы, поэтому, едва ли осуществима практически.

Ещё одна обнаруженная «способность» квадрата [1] сходна с упоминавшейся только что «восьмёркой», – это калейдоскоп, которому я присвоил название «Волны». Хотя в цветовом оформлении производных квадратов мне видится, скорее не морская стихия, а космическая – «столкновение галактик» (вот так!, никак не меньше J!), которые дважды сходятся и снова разлетаются.

Далее, на рис. [5-a] показана схема перемещения чисел в магическом квадрате [1]. Числа перемещаются по синусоидам, «туда и обратно», замыкаясь в круг в каждом горизонтальном ряду колёс. На рис. [5-b] исходная палитра калейдоскопа.

[5]

a b

Разумеется, все производные действия этого калейдоскопа, магические квадраты, и как в предыдущем случае – типичные калейдоскопы в интегральной зеркальной системе.

* * *

Следующий, и последний представитель магических квадратов, получивший собственное имя – «Magiozi-4», также, нетипичный, и «по совместительству», обычный («колёсный») полный калейдоскоп в изс, представлен ниже [6].

[6]

«MAGIOZI-4»
 

Как обычный магический квадрат он уж точно, самый обычный, не имеющий никаких неординарных свойств. И как калейдоскоп, по признаку вращения колёс, также, не таит в себе ничего неожиданного. Поэтому, перейдём к рассмотрению его свойств, характерных для нетипичных калейдоскопов.

На рис. [7-a] цветные клетки в этом квадрате, в каждой его четверти, окрашены таким образом, что в совокупности напоминают орбиты электронов в атомах, как их иногда изображают в школьных книжках. По две орбиты в каждой четверти. Это те траектории, по которым перемещаются числа в этом калейдоскопе, поэтому на рис. [a] для наглядности каждая из них выполнена одноцветной. В квадрате [b] приводится схема перемещения чисел, и орбиты здесь уже двухцветные, что соответствует будущей палитре калейдоскопа.

[7]

a b
c d

В квадрате [7-c] более тёмным фоном выделены клетки, подлежащие обесцвечиванию (те из них, что были окрашены в исходном [a] квадрате) для придания калейдоскопу внешней привлекательности. В итоге цветными остаются клетки, образующие в квадрате [d] четыре легко узнаваемые фигуры. Это стартовый вид калейдоскопа. Название калейдоскопу присвоено обобщающее – «Электрон», однако на иллюстрациях его действия электронов вы не различите, зато увидите удивительные превращения одних фигр в другие, и вы, конечно, их узнаете.

Следующий калейдоскоп квадрата «Magiozi-4» – «Восьмёрка», та самая, о которой здесь уже упоминалось, горизонтальная. Вообще-то, это знак бесконечности, но поскольку «знак» этот можно ориентировать и вертикально (например, перевернув квадрат), то всё-таки, это восьмёрка. Из предыдущих пояснений и рисунка [8], наверное понятно как работает и этот калейдоскоп: в каждом квадрате 8×8 по две восьмёрки, а исходная палитра отображает колёса центральной области интегральной зс  [8-b]. В процессе действия калейдоскопа колёса распадаются и постепенно формируют периферийную область изс, после чего всё возвращается на круги своя (заключительный, после производного №15, исходный квадрат).

[8]

a b

Третий нетипичный калейдоскоп квадрата «Magiozi-4» своей конфигурацией вызывает ассоциацию с дорожной развязкой типа «Клеверный лист», или просто «Клевер» [9]; траектории перемещения чисел здесь, также, замкнуты в каждой из четырёх составных четвертей квадрата.

[9]

a b

Cамый красивый из представленных здесь нетипичных калейдоскопов, вы выберите сами по своему вкусу. «Клевер» – последний в нашем обзоре, на взгляд автора этих строк, претендует на «титул» самого забавного, благодаря специфической раскраске исходного квадрата. Можно ассоциировать этот калейдоскоп с дорожной развязкой, или с городскими трамваями, а то и РЖД! Особенно эффектно действие калейдоскопа «Клевер» в динамике перемещения чисел, например, в формате видео или анимации (близкая «Клеверу» палитра калейдоскопа «Восьмёрка» была использована в квадрате 8×8, см. «Волшебный конёк-скакунок», гл.III, или раздел Приложений, где можно увидеть этот калейдоскоп как раз-таки в действии, в формате анимации).

* * *

Дорогие друзья! Наш экскурс в мир числовых калейдоскопов окончен. Но тема открыта. Уверен, это лишь первый взгляд краешком глаза, путешествие только начинается. Становитесь изыскателями, если очень заинтересованы – это ключ к успеху (если не очень – даже не пытайтесь!) И пусть вам сопутствует удача! Будьте уверены: иногда можно обрести сокровище, просто банально поскользнувшись на арбузной корке J.


 

Корона-город, Россия. 2016/2017  С. С. Пирогов.