Введение


Сегодня простому обывателю не надо задумываться, где искать информацию по интересующему вопросу – разумеется, в Интернете. На поисковый запрос «магический квадрат 16 порядка» Яндекс выдал «2 млн результатов», просмотреть которые, конечно, нереально. Я ограничился просмотром пары-другой страниц с десятком или более адресов сайтов, отвечающих существу запроса, и с материалами, как оказалось, в основном одного автора – Н. Макаровой. Так я познакомился с магическим квадратом 16×16 Бенджамина Франклина.

На одном из сайтов Н. Макарова в своей статье рассказывает о том, как сама впервые встретилась с этим квадратом. Несколько строк из этого рассказа будет уместным процитировать здесь.

  1. Наконец я приступаю к описанию самого прекрасного квадрата Бенджамина Франклина — пандиагонального квадрата 16-ого порядка. Когда я писала свою самую первую статью о магических квадратах (...тогда ещё не было Интернета в моём пользовании), тему изучала в основном по журналам “Наука и жизнь”. Вероятно, в одном из журналов мне попалась такая фраза: “Магический квадрат шестнадцатого порядка известен как квадрат Франклина.* Сам Франклин называл его самым очаровательным волшебством из всех магических квадратов, когда-либо сотворённых чародеями”. Самого квадрата в журнале не было (...) Я продолжала поиски статей о квадратах Франклина. И, наконец, нашла ту статью на английском языке, которая указана в начале настоящей статьи. В этой статье приводится самый волшебный квадрат Франклина — он не просто магический, он пандиагональный, то есть дьявольский!
    (http://www.klassikpoez.narod.ru/franklin.htm)

* Неожиданно звучит фраза из журнала, не правда ли? Неужто магических квадратов 16×16 кроме Франклина больше никто не построил? Это представляется маловероятным, однако, вот и в Интернете нашёлся, практически, только один такой квадрат – Франклина. Да и сама Н. Макарова упоминает ещё только одно новое имя – Cor Hurkens. Оба они, и Макарова, и Гуркенс, в своих работах выступают как в роли математиков-исследователей, опирающихся в своих поисках на глубокий, или не очень, анализ квадратов Франклина, так и составителей аналогичных магических квадратов. Но при этом сами же эти авторы не скрывают того, что их достижения являются результатом подражания Франклину, или прямой переработки, «модификации» его квадратов. Н. Макарова, посвятившая изучению «магического наследия Франклина» не один год, говорит об этом, выражаясь, может быть, как математик не очень строго, однако вполне прозрачно и доходчиво: "Мной построено много квадратов Франклина", или "Автор статьи Cor Hurkens построил много интереснейших квадратов Франклина..." и т. п.

К сожалению, по ссылке, которую приводит Н. Макарова (http://www.geocities.com/~harveyh/franklin.htm), не удалось обнаружить ни статьи, пусть и на английском языке, ни какого-либо намёка на магический квадрат Франклина. Очевидно, сайт был перепрофилирован авторами (владельцами) под более актуальные для них задачи. Поэтому, спасибо Н. Макаровой за то, что она успела скопировать и включить этот квадрат в свою статью.

Кстати, сама Н. Макарова едва ли не больше внимания уделяет почему-то не этому квадрату, а другому – полумагическому квадрату Франклина 16×16, взятому ею из ещё одного источника.

В статье приводится ссылка на этот источник (http://www.dubovskoy.net/MAGIC/magic SQ.doc), авторы которого, Наталья Скрябина и Валентин Дубовской характеризуя этот полумагический квадрат, допускают неточности, то ли путая его с другим, «самым волшебным», то ли вовсе не зная о последнем.

Но и приступая, наконец, "к описанию самого прекрасного квадрата Бенджамина Франклина", автор статьи (Н. Макарова) почти ничего не говорит о его магических свойствах, а вместо этого подвергает квадрат различным видоизменениям, пытаясь определить алгоритм его построения.

  1. Конечно, скорее всего, Франклин действовал не точно так, как я показала. Но совершенно очевидно, что схема его была где-то рядом с моей. Эх! Блюдце что ли покрутить и вызвать дух Франклина, чтобы он рассказал свой метод построения этого квадрата.
    (Н. Макарова)

Читатели при желании могут посетить сайт (http://www.klassikpoez.narod.ru/franklin.htm), где опубликована статья Н. Макаровой, и ознакомиться со всеми операциями и манипуляциями, выполненными ею с квадратом Франклина, с целью угадать ход мысли его составителя.

Итак, квадрат Бенджамина Франклина – «самое очаровательное волшебство из всех магических квадратов, когда-либо сотворённых чародеями» – перед вами:

[1]

Свойства его таковы.
Первое. Квадрат пандиагональный, иначе говоря, совершенный: магическую постоянную содержат не только его строки, столбцы и главные диагонали, но и все ломаные (или «разломанные») диагонали.
Второе. Составные четверти квадрата, также, являются совершенными магическими квадратами 8×8.
Третье. О третьем свойстве чуть позже; ненадолго отвлечёмся.

Рассказывая о свойствах полумагического квадрата Франклина, авторы упоминавшегося выше источника, Наталья Скрябина и Валентин Дубовской пишут:

  1. Выдающийся американский масон, ученый, общественный деятель и дипломат Бенджамин Франклин составил квадрат 16×16 (приводится рисунок, здесь [2] – С.П.), который помимо наличия постоянной суммы 2056 во всех строках, столбцах и диагоналях (на самом деле сумма чисел ни в одной диагонали не равна 2056 – С.П.) имел еще одно дополнительное свойство. Если вырезать из листа бумаги квадрат 4×4 и уложить этот лист на большой квадрат так, чтобы 16 клеток большего квадрата попали в эту прорезь, то сумма чисел, появившихся в этой прорези, куда бы мы её не положили, будет одна и та же — 2056. Этот квадрат является самым магически-магическим из всех МК, составленных когда-либо каким-либо магом.

[2]

То есть, авторы хотели сказать, что 16 чисел, ограниченных рамкой 4×4 клетки, на любом участке квадрата 16×16, в сумме составляют константу 2056. Здесь нет ошибки, но отмечено относительно общее свойство и оставлена без внимания симметрия более высокой степени, ещё более детальная, можно сказать, предельная для этого случая числовая магия: не только 16 чисел, но любые 4 числа, ограниченные рамкой 2×2 на поле этого квадрата, также, имеют одинаковую сумму, равную 514, или 1/4 константы. Вот это постоянство суммы любых четырёх чисел, расположенных в четырёх клетках 2×2 на любом участке квадрата 16×16, этакая «магическая поляна» – оно и есть третье свойство магического квадрата, которым обладает и полумагический, о котором, судя по рисунку в источнике, идёт речь в вышеприведённой цитате. Который же из них «самый магический-магический»? Конечно же, пандиагональный магический квадрат [1].

Возможно, математикам-профессионалам, а также, и любителям известны и иные, какие-то индивидуальные особенности этого квадрата, ведь исследователей, изучавших его в течение 250 (или около того) лет, надо полагать, было не мало.

Между тем, от их внимания ускользнуло такое свойство этого квадрата, что у поклонников числовой магии, когда они об этом узнают, наверное, и слов не найдётся, чтобы выразить своё восхищение – ведь квадрат уже и так награждён всеми возможными эпитетами.

Что же это за свойство такое, и почему до сих пор о нём не было известно?

Квадрат Франклина [1] – это числовой магический калейдоскоп. На вторую часть вопроса не отвечу – не знаю, может быть, кому-то известно, может быть, масонам (?..); а вот о свойствах числовых калейдоскопов, как смогу, расскажу; но прежде придётся обратиться к подобным квадратам-калейдоскопам меньшего размера – 8×8. В моей книге «Волшебный конёк-скакунок» подробно изложен способ их построения; здесь же я приведу только один пример такого квадрата для иллюстрации.

Кстати, игрушечный (материальный) калейдоскоп был изобретён шотландским физиком Д. Брюстером ровно 200 лет назад (по данным БСЭ в 1817 году); получается, числовой калейдоскоп появился, как минимум, на несколько десятков лет раньше (в том же, 1817 году со дня рождения Б. Франклина минуло уже 111 лет).