Глава I. Этюд о шахматном коне и ножках стола


Не будь я так свято уверен,
что сокровище здесь,
наши труды пропали бы даром.

(Э.А.По, «Золотой жук»)

  1. Как утверждает парижский еженедельник "Экспресс" (30 мая 1986 г.), гаданием на 64-клеточной доске занимались и древние этруски (...) В мифологии этрусков упоминалось о "волшебном коне-скакуне", покрывающем за 64 скачка всё небесное пространство.

    (Г. С. Александрович, Е. С. Столяр, «Многоликая Каисса»)

Известным фактом, как для профессионалов, так и для любителей, представляющих многочисленную армию поклонников Каиссы, является то, что мир шахмат не ограничивается, собственно, игрой в шахматы, даже если включить сюда всю необъятную теорию игры, историю соревнований, десятки и сотни имён гроссмейстеров и чемпионов, и т. д. Существует ещё искусство шахматной композиции, а также,

  1. один из популярных жанров занимательной математики, к которому относятся математические игры, задачи и развлечения на шахматной доске. Мы называем этот жанр шахматной математикой.
    (...)
    Совсем не обязательно быть шахматистом, чтобы знать, какая шахматная фигура самая удивительная. Конечно, это конь! Не случайно выражение "ход конём" стало крылатым и прочно вошло в наш быт. А один из самых остроумных гроссмейстеров С. Тартаковер, прямо считал, что "вся шахматная партия – это один замаскированный ход конём" (...)
    Основное свойство коня, которое отличает его от других фигур, состоит в том, что он на каждом своём ходу меняет цвет поля, на котором стоит. Вот почему в заголовке этой главы мы назвали его хамелеоном.*

    (Е. Я. Гик, «Шахматы и математика»; библ. «Квант»; вып. 24)

* Глава называется «Конь-хамелеон». Это, фигурально выражаясь, сравнение «третьего уровня».
Живого, из плоти и крови коня, в эзотерической традиции, также, сравнивают с хамелеоном, так как он «всегда отражает воинские доспехи своего всадника» (Э. Леви, «Учение и ритуал высшей магии»). «Всадником» может быть и мирный землепашец – и тогда конь послушно тянет соху, – или цирковой эквилибрист... Таким образом, «основное свойство» живого коня заключается в том, что он с равным успехом умножает мощь, как «чёрных», так и «белых» сил, в зависимости от того, кому служит. Это будет сравнением «второго уровня».
В «первом уровне» сравнения оба коня символизируют некую силу, или мощь столь безмерную и возвышенную, что рядом с ней «лошадиная сила» уравнивается с «силой» шахматной фигурки, и оба они – как живой конь, так и деревянный, являют собой лишь символы этой таинственное мощи. Так, просматривая кинофильм, мы можем видеть на экране различные предметы, вещи или объекты, оценивать их свойства и сопоставлять характеристики, на время забывая о том, что в действительности, все они одного порядка, все рождены игрой света, исходящего от кинопроектора, все они только изображения на полотне экрана.

  1. (...)
    Возвращаясь к рассказу о коне-хамелеоне, заметим, что задача о его маршруте, проходящем через все поля доски по одному разу, является классической в занимательной математике (обычно её называют просто задачей о ходе коня).
    Обойти конём все поля шахматной доски, посетив каждое из них ровно один раз.
    Особая популярность задачи объясняется тем, что в XVIII и XIX веках ею занимались многие крупные математики, в том числе великий Леонард Эйлер, посвятивший ей большой мемуар "Решение одного любопытного вопроса, который, кажется, не подчиняется никакому исследованию". Хотя задача была известна и до Эйлера, лишь он впервые обратил внимание на её математическую сущность, и поэтому задачу часто связывают с его именем.
    Значительно труднее проблема, состоящая не в отыскании определённого маршрута коня по доске, а в нахождении всех маршрутов (подчёркнуто мной – С.П.) и подсчёте их числа. Увы, эта задача не решена до сих пор, и шансов на успех немного...*

    (Е. Я. Гик, «Шахматы и математика»)

* Это верно... Можно лишь посочувствовать математикам, хватающимся за «неподъёмный гуж». Ну зачем, скажите на милость, нормальному человеку знать все возможные маршруты шахматного коня, число которых, может быть, миллиард!?
Познавательные амбиции, это полезные устремления, но куда они порой уводят учёных людей?
Об этом, не без иронии, говорят они сами («Физики шутят»; под ред. В.Турчина; изд.«Мир»):

    Когда физика-теоретика просят рассчитать, скажем, устойчивость стола с четырьмя ножками, он довольно быстро приносит первые результаты, относящиеся к столу с одной ножкой и к столу с бесконечным числом ножек. Остальную часть своей жизни он безуспешно решает задачу о столе с произвольным числом ножек.
  1. Литература, посвящённая задаче о ходе коня, весьма обширна. Известно много методов для нахождения маршрутов коня, которые носят имя первооткрывателей — метод Эйлера и Вандермонда, рамочный метод Мунка и Коллини, метод деления на четверти Полиньяка и Роже и др.
    (...)
    Многие составители маршрутов коня стремились внести в своё занятие, насколько это возможно, эстетический элемент и достигли довольно любопытных результатов. Маршрут, принадлежащий Янишу* примечателен в нескольких отношениях. Он замкнут, образует полумагический квадрат... и, кроме того, обладает необычной симметрией — при повороте доски на 180° первая половина маршрута (номера от 1 до 32) превращается во вторую (от 33 до 64). Отметим попутно, что построить маршрут коня, образующий настоящий магический квадрат, ещё никому не удалось.

    (Е. Я. Гик, там же)

* Русский офицер, профессор математики Карл Яниш – один из лучших шахматных мастеров России XVIII в.
(звания «Гроссмейстер» в ту пору ещё не существовало, в нашей стране оно было учреждено лишь в 1935 г.)
Его современниками были И. Шумов, братья Урусовы и едва ли не сильнейший в мире шахматист того времени А. Д. Петров.

Хотя «литература, посвящённая задаче о ходе коня, весьма обширна» и «известно много методов для нахождения маршрутов коня, которые носят имя первооткрывателей», имя Йениша встречается, практически, во всех литературных источниках, мимоходом ли затрагивающих эту тему, или освещающих её достаточно полно.

При этом не обходится без неожиданностей. Так, например, один очень уважаемый источник [1] – издание университета в Торонто, – в «двенадцатом поколении» (1974 г.)* запечатлел на своих страницах любопытную числовую конструкцию [2-a] под названием «решение Йениша».

* В русском переводе: У. Болл, Г. Коксетер, «Математические эссе и развлечения»; изд. «Мир», Москва, 1986 г.; стр. 200

[1]

Но взгляните на графическую схему данного маршрута [2-b]: совершенно очевидно, что это совсем не тот маршрут, что традиционно связывают с именем Йениша. Во всяком случае, по свидетельству других источников.

Например:
Г. Штейнгауз, «Математический калейдоскоп», библ. «Квант» вып. 8, 1981 г.
Е. Я. Гик, «Шахматы и математика», библ. «Квант» вып. 24, 1983 г.
В. Н. Белов, «Игра? Игра!», Лениздат, 1987 г.
И т. д. Все названные авторы приводят в своих книгах иную схему (либо квадрат Йениша, отвечающий такой схеме) передвижения фигурки коня, с которой «решение Йениша» из книги Роуза Болла и Коксетера не совпадает.

[2]

a b

Тем не менее, автором этого маршрута [2], также, является Йениш. Дело в том, что его «решение» не было ограничено единственным способом обхода конём шахматной доски, но было реализовано в нескольких вариантах, и что примечательно, всякий раз в числовом представлении это был полумагический квадрат!

Йенишу удалось «построить» с помощью фигурки коня даже магический квадрат, правда, для этого на 32 ходу маршрут пришлось прервать и продолжить его в клетке, отстоящей от числа 32 уже не «на ход коня» (справедливости ради отметим: при разделении маршрута на части, это удалось не только ему)*

* см. У. Болл, Г. Коксетер, «Математические эссе и развлечения»; Москва, 1986 г.; стр. 200.

Создаётся впечатление, что Йениш, действительно, целенаправленно искал такие решения задачи, о которых можно было сказать, как о содержащих «эстетический элемент». Но находки его не всегда награждались комплиментами.

  1. Метод, который Йениш рекламировал как наиболее универсальный, мало чем отличается от метода Роже. Он приводит к восьми вариантам, подобным показанному на рис... (здесь - [2-a]); интересно, что сумма номеров полей каждой вертикали и каждой горизонтали доски равна 260.
    Хотя это решение и симметрично, его, как мне кажется, не так легко воспроизвести, как решение Роже.

    (У. Болл, Г. Коксетер, там же)

Прямо говорится о причине, по которой предпочтение отдаётся решению Роже – его легче воспроизвести. Возможно, это справедливо – ведь нумерация ходов коня, это как бы, побочный результат решения, поэтому и одинаковая «сумма номеров полей каждой вертикали и каждой горизонтали» отмечается, по-видимому, просто как занятный курьёз.

* * *

«Полумагический» в Традиции, очевидно, означает «почти магический». Сумма чисел в строках и столбцах квадрата Йениша одинаковая и соответствует постоянной (const) магического квадрата 8×8, равной 260. В диагональных клетках квадрата Йениша сумма чисел не соответствует константе 260, поэтому он и не магический, а только «полу...» Тем не менее, числовой квадрат, обладающий и таким свойством – явление для решения данной шахматной задачи редкое (но, как выясняется, не исключительное).

Кроме Йениша, маршрут коня найден и многими другими исследователями, назвать имена, да и попросту исчислить которых невозможно. Сколько их было за два или три века известного периода существования задачи? (одна из перепечаток её решения, из более ранней публикации, датируется, по свидетельству У. Болла, и Г. Коксетера, 1803 годом; для сравнения: Л. Эйлер двумя десятками лет ранее, в 1783 году, уже умер).

Между тем, ни одна «компетентная инстанция» ещё не сообщила о том, что задача о ходе коня, наконец, решена. Увы, в задаче имеются «дополнительные неизвестные», обнаруженные неугомонными горе-теоретиками, и скорых ответов на поставленные ими вопросы ожидать не приходится.

Тем временем, другие энтузиасты-искатели, очевидно, не удовлетворённые «узостью» традиционных условий задачи, придумывают N-клеточные «шахматные» доски, населяют их целыми табунами коней, и самозабвенно решают каждый свою «задачу о столе с произвольным числом ножек».

Нетрадиционный подход к старой шахматно-математической задаче заключается не в том, чтобы продолжать, простите за каламбур, эту «традицию». Мы уйдём от одиозных штампов в формулировке «неизвестных» этой задачи, и посвятим «большой мемуар» исследованию уже готового её решения, найденного Карлом Йенишем – конечно же, не ведавшим всей глубины нечаянно открытого им шедевра, вот уже полтора столетия известного миру, но и по сей день скрывающего от мира свою тайну.

Нетрадиционный подход к старой шахматно-математической задаче заключается в том, чтобы абстрагироваться от шахмат, иначе говоря, «оторваться от доски» и пойти немного дальше фигурки коня: попытаться проанализировать найденное Йенишем решение, поскольку маршрут «его коня», действительно, «...примечателен в нескольких отношениях. Он замкнут...» (именно!, – 'герметичен'!), и т. д.

Всё сказанное о решении Йениша, действительно, «примечательно». Но этого мало. Существуют не столь приметные, и даже вовсе скрытые от поверхностного взгляда обстоятельства, позволяющие говорить о нём и в более возвышенных тонах: как об исключительном, уникальном. И поэтому, решение Йениша должно быть «выведено», исключено из перечня бесчисленных других, поскольку несопоставимо с ними.

Сейчас трудно установить, кто формально был автором задачи о ходе коня. В одном можно не сомневаться: этот автор не предусматривал ничего сверх тех условий, которые сформулировал (обойти фигуркой коня шахматную доску, не посещая дважды одно и то же поле).

Однако, столь же несомненно и другое: Некто, всё-же, «предусмотрел» ещё, как минимум, одно условие: построить с помощью фигурки коня «мост».., или теперь восстановить его – разрушенный Временем мост, некогда реально соединявший шахматы и математику.

И в этом смысле все прочие решения данной шахматной задачи неудовлетворительны; все они, говоря языком шахматных композиторов, только ложные следы.

Подчёркиваю: до единого негодны, как уже известные, так и те, что ещё будут когда-либо найдены.
Все, кроме одного.  Г. Штейнгауз называет автора этого единственно правильного решения и дату его опубликования:
«Jaenisch – Chess Montly, 1865» («Математический калейдоскоп», библ. «Квант»  вып. 8, 1981 г., прим. №23)

Таким образом, задача решена давно. И только в этом решении выполнено дополнительное, «неозвученное» условие. Но решение не было всесторонне раскрыто. Настоящая работа имеет своей целью сделать это.

* * *

О гипотетической связи шахмат с магическими квадратами говорят давно.
Но неопределённо.

  1. Составление магических квадратов — одна из древнейших комбинаторных игр. В наши дни (говорится о днях минувшего века) интерес к магическим квадратам вновь оживился в связи с возникновением любопытной версии о непосредственной исторической связи магических квадратов и шахмат.
    Эту версию неизменно поддерживают составители сборников математических головоломок, включающие в такие сборники, наряду с заданиями по построению магических квадратов, классические шахматные задачи.
    Так, в замечательной книге известного польского математика Г. Штейнгауза "Математический калейдоскоп" (Москва, Наука, 1981), посвящённой занимательным вопросам математики, сама форма изложения материала наталкивает на мысль о прямом родстве шахмат и магических квадратов (...)
    Гипотезу, согласно которой шахматы произошли из магических квадратов, впервые высказал в прошлом веке (т. е., в XIX) английский математик Кессон. Много аргументов в её пользу приводится и в современной литературе.
    (...)
    Схема передвижения коня наиболее наглядно иллюстрирует вероятный генезис шахмат из комбинаторной процедуры составления магических квадратов (...)
    Но даже если шахматы и обязаны своим происхождением древним комбинаторным задачам по составлению магических квадратов, сегодня подобная связь утратила свою очевидность и расценивается как неожиданный парадокс. На наш взгляд, в шахматах изначально заложен строго математический порядок (и не важно, было ли это действительно обусловлено связью шахмат с магическими квадратами, или нет).

    (В. Н. Белов, «Игра? Игра!»)

  1. За последние 100 лет не раз высказывалась мысль о том, что происхождение шахмат... восходит к древним обрядам гадания... (здесь и выше подчёркнуто мной – С.П.)

    (Г. С. Александрович, Е. С. Столяр, «Многоликая Каисса»)

Необыкновенный простор для реализации игровых комбинаторных возможностей, глубина, совершенство и невероятная привлекательность шахмат – всё это делает шахматную игру независимым, самодостаточным явлением. Вряд ли, поэтому, у кого-то может возникнуть мысль о всего лишь служебном предназначении шахмат. Однако, самостоятельная роль шахматной фигурки коня в прикладной шахматной задаче, оказывается столь значительной, наряду с его привычной ролью непосредственно в игре, что невольно закрадывается мысль о создании шахмат ради этой одной фигурки ("вся шахматная партия — это один замаскированный ход конём" — С.Тартаковер)*

* Е. Я. Гик, «Шахматы и математика»

Хотя, конечно же, это не так!

И магические квадраты, изучение которых "представляет собой превосходную умственную гимнастику, развивающую способность понимать идеи... симметрии" — А.Обри*

* Е. Я. Гуревич, «Тайна древнего талисмана»

И шахматы, как интеллектуальная игра, не имеющая равных себе по популярности;

И шахматный конь, как «игрушка», побудившая многих и многих настойчиво искать решение "одного любопытного вопроса, который, кажется, не подчиняется никакому исследованию" — Л.Эйлер*

* Е. Я. Гик, «Шахматы и математика»

— всё несёт на себе отпечаток единого источника происхождения.

Человек – да: выигрывая в скорости проигрывает в мощности и т. п., но то, что создано не по его воле, хотя и для него, и даже, как бы его умом, – эффективно и эффектно совмещает в себе полезное с приятным, занимательное с целесообразным.

Игрушки, игры, развлечения – разве не они являются лучшим средством развития умственных и других способностей ребёнка! Но и взрослый человек перед Богом – ребёнок.

Итак, стоит ли гадать – «на 64-клеточной доске», подобно древним этрускам; или на кофейной гуще, подобно современным «оракулам» – о том, появились ли магические квадраты прежде шахмат, или наоборот; и кто впервые озвучил хорошо забытую идею об их связи? Разве не увлекательнее попытаться эту связь отыскать?..

* * *

Решений задачи о ходе коня существует множество, и среди них немало маршрутов с оригинальными, симметричными, изящными и неожиданно красивыми графиками (схемами) передвижения фигурки коня.
Маршрут, найденный Йенишем, особой внешней привлекательностью не отличается, но он таит в себе какую-то загадочную, скрытую гармонию, частично проявляющуюся в организации чисел, отображающих перемещение фигурки коня в нумерологическом (то есть, образованном номерами ходов), квадрате 8×8, известном в шахматном мире под именем своего первооткрывателя – «квадрат Йениша».

Первое, поверхностное знакомство с квадратом Йениша, как с числовой конструкцией, прежде всего вызывает вопрос – почему он полумагический, то есть, что «мешает» ему быть магическим?
Беглый анализ числового состава его строк, столбцов и т. д., помогает отыскать простое решение, превращающее этот квадрат в магический. Ниже на рисунке воспроизведён полумагический квадрат Йениша [3-a]; на главных его диагоналях выделено по 4 числа, образующих изображение некоего подобия мельницы. Будем вращать «лопасти мельницы» во встречных направлениях. После поворота каждой из них на 90°, выделенные числа взаимно переместятся, как показано на следующем рисунке, в результате чего будет получен магический квадрат [3-b].

[3]

a b

Несмотря на чрезвычайную лёгкость превращения квадрата Йениша в магический, это не привлекло к нему более пристального внимания ни математиков, ни шахматистов. Первых, по-видимому, по причине «сомнительного» («не математического») происхождения квадрата Йениша; вторых, наверное, в связи с тем, что любое подобное преобразование квадрата Йениша «отрывает» его от шахмат, и вновь полученный магический квадрат в рамках задачи о ходе коня уже не представляет интереса.

Мы будем исходить из предположения о том, что формирование маршрута коня и соответствующая нумерация ходов фигурки (или полей доски) – только первый этап решения данной шахматной задачи. А потому, на следующих этапах следует не только пренебречь непрерывностью маршрута, но и вовсе «забыть» о шахматной доске, потому как если схема передвижения коня действительно "иллюстрирует вероятный генезис шахмат из комбинаторной процедуры составления магических квадратов"... Боже, что-за фраза! Кто может это слушать!..
Одним словом, если и не лишено смысла предполагать некую связь между шахматами и магическими квадратами, то вероятнее всего только на начальной стадии этого самого генезиса (происхождения и развития), а уж в какой зависимости – шахмат из квадратов, или наоборот, – теперь уже не принципиально. А это значит, что числовой квадрат, полученный с помощью шахматной доски и фигурки коня, следует рассматривать как самостоятельную, независимую числовую конструкцию, не «привязанную» более к доске.

Что делать дальше с этой «конструкцией», – об этом можно догадаться уже с первого взгляда на неё. Приведённый выше пример превращения полумагического квадрата в магический подсказывает, что данная операция не является оптимальной; либо она недостаточна, либо неверна, но в то же время «обещающа» – в магическом квадрате [3-b] одна из главных диагоналей (восходящая) сложена из симметричных пар; другая, также составлена из «парных» чисел, но в ней они разобщены. Это можно понять как своеобразный признак существования некоего иного, верного способа превращения полумагического квадрата в магический, причём возможно, с достаточно высокой степенью симметрии.

Поиск такого способа необходимо начать с анализа внутренней структуры исходного квадрата Йениша на предмет наличия в ней признаков зеркальной симметрии. А что касается инструмента этого анализа, то опыт работы с магическими квадратами четвёртого порядка (см. «Посвящённые Юпитеру»)* не оставляет иного выбора: конечно же, этим инструментом должно быть угловое зеркало, этот непревзойдённый мастер своего дела, играючи преобразующий в порядок любой хаос.

* Рассказ о применении принципов действия углового зеркала в работе с числами был бы невозможен без использования специальных терминов, связанных с зеркальной симметрией – уже существующих, или впервые введённых автором; значение их раскрывается в указанной работе. Здесь они, при первой с ними встрече, будут набраны курсивом (но понятно, что не все случаи применения этого элемента форматирования будут иметь отношение к данному примечанию).

Е. Я. Гик, в своей книжице о шахматной математике, обращает внимание на характерную симметрию маршрута Йениша: при повороте доски на 180° первая половина маршрута (номера от 1 до 32) превращается во вторую (от 33 до 64). То есть, речь идёт о центральной симметрии схемы маршрута.

Разделим числовой состав квадрата Йениша на две части – от 1 до 32 и от 33 до 64, и разместим числа в отдельных квадратах [4-a,b]. Одинаковым цветом клеток на рисунке подчёркнуты числа в четвертях квадратов, которые можно связать в диагональные пары, легко соотносимые с полярными секторами углового зеркала, так как фрагменты схемы маршрута в них центрально симметричны.

Как видим, группы полей [a,b], хотя и составляют общий замкнутый маршрут, обе являют собой самостоятельные, также, замкнутые его участки (половины). Можно, поэтому, пронумеровать ходы коня обеих половин маршрута независимо, то есть, второй половины, так же, как и первой – с 1 по 32 [4-c].

[4]

a b c

Теперь попробуйте считывать числа сразу обеих половин разделённого квадрата Йениша на рис. [4-a,b]: 1-2-3-4… и одновременно 33-34-35-36… – и вам полнее откроется эта грань «характерной» симметрии маршрута.

Итак, в целом внутренняя структура квадрата Йениша подчинена закономерностям зеркальной симметрии, причём несомненно, симметрии углового зеркала, где роль секторов этого зеркала выполняют составные четверти (4×4) квадрата. И нумерация второй половины маршрута [c], аналогично первой, лишь подчёркивает эту симметрию.

Однако, действие углового зеркала не ограничивается «одноразовым» отражением. Четыре его сектора создают симметрию двойной чётности, то есть, симметрию четырёх.
Разбиение маршрута на четыре равных участка, и анализ их взаимоотношений позволяет выявить наличие или отсутствие в квадрате Йениша такой симметрии. Для этого достаточно пронумеровать каждый из участков числами от 1 до 16 и сравнить схемы их обходов. Начальными полями этих четырёх участков будут числа 1, 17, 33, 49.
Но даже не приступая к практическим действиям, можно видеть, что четвертная симметрия маршрута отсутствует, так как четыре отправных поля участков схемы расположены в квадрате несимметрично. Симметричны только пары участков: первой и третьей его четверти (начальные числа 1 и 33), а также, второй и четвёртой (начальные числа 17 и 49).

Дальнейший, более детальный анализ маршрута возможен только при условии учёта всех закономерностей отражения в сложной зеркальной системе, которую олицетворяет собой квадрат 8×8, составленный из квадратов 4×4, каждый из которых, в свою очередь, также, является (менее сложной) зеркальной системой.

Для наглядности последующих действий с числами квадрата Йениша, ниже, на рис. [5], изображена схема интегральной зеркальной системы в масштабе квадрата 4×4.

Несколько слов для краткого ознакомления с её структурой (подробнее в «Посвящённых Юпитеру», гл.IV): система состоит из четырёх малых угловых зеркал, секторы которых обозначены на рис. [5] общим цветом. Система подразделяется на центральную и периферийную области (клеток квадрата, или секторов малых угловых зеркал или, наконец, чисел, если таковыми они заполнены). Хотя клетки одинакового цвета, кроме жёлтого, разрознены, их следует подразумевать в форме квадрата 2×2, то есть в виде четырёх секторов углового зеркала (как четыре клетки жёлтого цвета).

[5]

интегральная з/с  центральная обл. периферийная обл.

Рассмотрим участок маршрута, включающий первую четверть его полей – числа от 1 до 16 (см. квадрат Йениша ниже, на рис. [8]). В квадрате [6-a] изображена первая четырёхходовка 1-2-3-4. Числа 1 и 3 расположены в нём в клетках, соответствующих полярным секторам углового зеркала системы [5]. То есть, они подразумеваются, с точки зрения зеркальной симметрии, взаимными отражениями. То же можно сказать о числах 2 и 4. Будем подразумевать предметно, и проделаем с числами ту же процедуру, что в квадрате [4-c]: заменим отражения первых двух полей 1-2 равнозначными числами (то есть, вместо 3-4, зеркально: 1-2) – квадрат [b].
Следующая четырёхходовка 5-6-7-8 расположена в этой же составной четверти квадрата Йениша, здесь она представлена отдельно, в квадрате [c]. В последовательности новой, «зеркальной» нумерации полей это будут числа 3-4-3-4: [d]. Далее итог действий с первыми двумя четырёхходовками: [e] – нумерация полей в квадрате Йениша; [f] – новая нумерация после замены чисел.

[6]

Ú   Ú
a b c d
  Ú  
  e f  

Аналогичные действия с оставшимися двумя четырёхходовками иллюстрирует рис. [7].

[7]

Ú   Ú
в квадрате Йениша после замены в квадрате Йениша после замены

В результате выполненных действий в квадрате Йениша [8-a], первый участок маршрута сохранил изначальные протяжённость и чередование полей [b], но сократился с 16 ходов до 8, плюс ещё 8 их отражений. Непрерывный маршрут коня, как бы сменился отдельными ходами, отражёнными в зеркалах – [8-c].

[8]

a b c

Подобным образом видоизменяются четырёхходовки и остальных участков маршрута. На рис. [9] изображена схема замены чисел всех четырёх четвертей маршрута [a,b,c,d] новой нумерацией полей [e].

[9]

В итоге, заполнив все 64 клетки новыми числами, получаем квадрат с виду совсем непохожий на квадрат Йениша: [10-a]. Он принадлежит к так называемым, латинским квадратам.

Шах, дорогой читатель! Квадрат Йениша всем нам объявляет шах! Или «ход конём по голове» – кто мог ожидать от него такое!.. Но держитесь, весь поединок ещё впереди J.

Определяющее свойство, характеризующее латинский квадрат заключается в том, что каждый ряд его заполнен числами от 1 до 8 (в квадрате 8×8) и при этом ни в одном из его рядов – ни в какой строке, ни в столбце не встречаются по два одинаковых числа. Квадрат [10-a] обладает таким свойством. Кроме того, если развернуть его строки в один ряд, получится гигантский числовой палиндром: последовательность чисел в таком ряду слева направо и справа налево окажется одной и той же. Одинаково, как слева направо, так и справа налево читаются и развёрнутые в ряд строки составных четвертей (квадратов 4×4).

[10]

a b

Латинские квадраты могут быть составлены любыми символами – цифрами, буквами, рисунками, красками... (своим названием они обязаны знаменитому Л. Эйлеру, который составлял их из латинских букв).
Назначим каждому числу квадрата [10-a] свой цвет клеток, например так, чтобы в первой строке цвета располагались в виде спектра (последнее число в строке – единицу – обозначим белым фоном клетки). Полученный цветовой квадрат [b] несимметричен, для проявления полной картины симметрии нужно «умножить» его с помощью углового зеркала. В результате получим изображение, по меньшей мере в двух вариантах, большого цветового квадрата, который образно передаёт симметрию «небесного пространства» мифологии этрусков.

В различных популярных источниках утверждается, что латинские квадраты «близкие родственники» магических, но в чём заключается это родство не поясняется.
Но утверждение верное: латинские квадраты, это просто «замаскированные» магические J.

Латинские квадраты, как самостоятельные числовые образования, конечно, по-своему привлекательны. Но если говорить о конкретном квадрате [10-a], то он более интересен как раз не «самостоятельностью», или обособленностью, а непосредственной связью с квадратом Йениша. Собственно, это тот же квадрат, отображающий маршрут коня, но более детально передающий характерную его симметрию, а значит, и внутреннюю симметрическую стуктуру квадрата Йениша.
Квадрат [10-a] асимметричный. Каждая диагональная пара его составных четвертей (4×4) обладает симметрией отражений полярных секторов, но вместе обе пары полярных секторов не могут составлять одно угловое зеркало, в квадрате они объединены, как бы, механически. В этой особенности строения квадрата Йениша скрыта идея двойственности, или двухвариантности, пока не понятно чего.., или идея восполнения части до целого, как например, цветового квадрата [10-b].

* * *

Маршрут обхода шахматной доски фигуркой коня может быть отображён графической схемой. Одним из следствий симметрии маршрута, составленного Йенишем, является двухвариантность* схемы передвижения фигурки по доске; на рис. [11] изображена схема [I], которую условно можно принять за основную, и её зеркальное отражение [II].

* Термин «невариант», введённый Е. Я. Гуревичем (см. «Тайна древнего талисмана») для различных положений одного и того же квадрата, следовало бы распространить и на схемы [11], так как они, также, представляют собой всего лишь два положения одной схемы. Этих положений больше двух, но мы ограничимся изображёнными на рисунке и оставим за ними определение – «варианты» (использовать для числового отображения маршрута схемы, полученные поворотами на 90° на плоскости рисунков [I] и [II] нет смысла, так как это привело бы лишь к умножению квадратов-невариантов, тогда как при необходимости достаточно повернуть сам числовой квадрат).

Маршрут Йениша замкнут – у него нет ни определённого начала, ни конца – любое из 64 полей шахматной доски может служить отправным пунктом. А это означает, что можно пронумеровать ходы коня, обходящего шахматную доску по схеме [I] – 128 способами (в двух направлениях из каждой клетки); и по схеме [II] – ещё 128 способами. Таким образом, вся «статистика» передвижений коня по данному маршруту может быть отображена 256 числовыми квадратами 8×8 – наречём их маршрутными квадратами.

[11]

I  II

Поскольку схемы [I] и [II] являются взаимными зеркальными отражениями и, кроме того, каждая из них обладает внутренней симметрией («при повороте доски на 180° первая половина маршрута... превращается во вторую...»), то и маршрутные квадраты отображают эти закономерности: дважды их количество сокращается вдвое, вследствие того, что три четверти от общего их числа оказываются повторами (невариантами). Остаётся 64 маршрутных квадрата, среди которых уже нет двух повторяющихся. Кажется вполне естественным соотнести их с 64 клетками доски, однако такая, на первый взгляд непосредственная связь между этими числами, на самом деле, требует оговорки. Дело в том, что из-за повторов маршрутных квадратов сокращается их количество, но ни схемы, ни направления маршрута «не сокращаются». Половина из 64 маршрутных квадратов отображается схемой [11-I], тогда как другая половина – схемой [11-II], при том, что в этих 64 квадратах реализованы оба направления маршрута.

Как же распределяются между квадратами эти два признака, касающиеся вариантов схемы и направлений маршрута?

Это легко будет уяснить, если в качестве начальных пунктов маршрута избрать клетки одной четверти доски. На рис. [12] это клетки с изображениями шахматного коня. На рисунке хорошо видно, что каждое такое поле доски может служить отправным пунктом маршрута в двух направлениях для каждого из вариантов схемы [I,II]; иначе говоря, начиная обход доски из одной и той же клетки, конь может пройти по маршруту четырьмя путями, что в свою очередь, можно отобразить четырьмя маршрутными квадратами.

Следовательно, 16 клеток одной четверти доски могут служить началом для записи всех 64 маршрутных квадратов. Остальные 192 маршрутных квадрата с единицей в 48 клетках других четвертей доски будут их повторами (зеркальными невариантами) – все вместе и составят число 256.

[12]

I  II

Разумеется, подразделение маршрутных квадратов на «основные» и их повторы – в зависимости от того или иного участка шахматной доски, на котором начинается маршрут, условно и относительно. Любая клетка доски может быть стартовой для записи четырёх маршрутных квадратов, но тогда три другие – в других четвертях доски (отражения исходной клетки в секторах углового зеркала) – положат начало маршрутным квадратам, троекратно повторяющим исходные.

Далее в рассуждениях будем исходить из условия, что 64 различных маршрутных квадрата практически записаны, и доступны для анализа.

Из какой бы клетки ни начинался, по какой схеме [11-I,II], и в каком направлении ни пролегал бы путь коня, – соответствующий ему маршрутный квадрат будет «квадратом Йениша», так как маршрут обхода доски один и тот же.

Не все маршрутные квадраты равнозначны по своим свойствам. Из 64 вариантов обхода доски в решении Йениша, только в двух случаях образуется полумагический квадрат.
На рис. [13-b] изображением фигурки коня обозначены 2 клетки, из которых берёт начало полумагический маршрут – по схеме [11-I] для «красного» коня [a] и [11-II] – для «синего» [c]; вместе с зеркальными отражениями – клетки с единицами в квадрате [b] – таких маршрутов 8:

полумагический по схеме [11-I] 

[13]

  полумагический по схеме [11-II]
a b c

Судя по расположению клеток, дающих начало полумагическому маршруту, организация чисел в маршрутном квадрате должна быть тем выше, чем ближе к центру доски расположена стартовая клетка маршрута.

На рис. [13-b] поля, обозначенные как стартовые, ограничивают на шахматной доске центральный участок в форме квадрата 4×4, однако, не все они одинаково благоприятны для полумагического маршрута. Почему?

Такими маршрутами оказываются лишь те, исходным пунктом которых являются клетки, расположенные на главных диагоналях центрального квадрата 4×4, что применительно к зеркальной системе (такого же размера) означает – в полярных секторах её центральной области.

Очевидно, имеются и иные факторы, оказывающие влияние на организацию чисел маршрутных квадратов, но так или иначе, все они связаны со степенью соответствия внутренней структуры квадратов, как двумерных конструкций, закономерностям «двузеркальной» симметрии.

Анализ «64 квадратов Йениша», с целью выявления отличительных особенностей их строения, является первым этапом распутывания замысловатого маршрута, проложенного «за 64 скачка» на клетчатой доске самой удивительной шахматной фигурой.