Глава II. Скарабей и виньетка


Имя ты моё услышишь из-под топота копыт

(Из шуточной казачьей песни)

Разделение квадрата (4×4 или 8×8) по границе зеркальной двойственности – один из первых способов определения, насколько его внутренняя (числовая) симметрия отвечает закономерностям той или иной (одной из трёх) зеркальной системы. Рисунок [1] иллюстрирует такое разделение полумагического квадрата Йениша на группы центральных и периферийных чисел интегральной зеркальной системы , и результат этого действия даёт положительный ответ на поставленный вопрос: половины квадрата внутренне симметричны, сумма чисел каждой из них равна 1040.

Этим половинным числовым образованиям, для более простой их идентификации, я присвоил «имена собственные» – «сепаратор» и «колёса».

Группа периферийных чисел, действительно, напоминает то ли колёса, то ли шестерёнки, а центральные числа квадрата служат как бы их разделителем, подобно сепаратору шарикоподшипника, или опорой, наподобие картера шестерёнчатого узла, но это слишком уж специфично, пусть будет сепаратор.

[1]

«классический» полумагический
квадрат Йениша
центральная область
«сепаратор»
 периферийная область
«колёса»

Вопрос о том, какая из трёх зеркальных систем управляет числами маршрутных квадратов, на первый взгляд, второстепенный; однако, от правильного ответа на него часто зависит правильный выбор симметрических операций, преобразующих «исходное сырьё».

Хотя рисунки распределения чисел в группах «сепаратора» и «колёс» [1] легко соотносятся с центральной и периферийной областями интегральной зеркальной системы, не всё так однозначно, как «очевидно».

Разделение маршрутного квадрата по схемам двух других зеркальных систем, дискретной и веерной, приводит к аналогичному результату: центральные и периферийные числа квадрата в этих системах при сложении, также, дают одинаковую сумму 1040 [2]:

[2]

ab
дискретная зерк. система веерная зерк. система
 

Кроме того: на рис. [3] приведены примеры c изображением «очертаний» центральной и периферийной областей интегральной зеркальной системы [a,b], которые с одинаковым успехом могут быть сформированы сочетанием полярных секторов малых угловых зеркал, как дискретной [c,d], так и веерной [e,f] систем (см. «Посвящённые Юпитеру», рис. [5/гл.IV]).

[3]

<1> <2>  <3>
a c e
   
b d f
 

Но самое неожиданное заключается в том, что в рамках условного действия этих двух систем (<2> и <3>) в квадрате Йениша обнаруживается симметрия не только половинных подразделений чисел, но и более детальная.

Если в пределах четверти квадрата Йениша выбрать два числа, соответствующие по расположению любым двум полярным секторам малого углового зеркала дискретной или веерной системы (на рис. [3] это любые две клетки, окрашенные одинаковым цветом в квадратах-схемах [c-f] этих систем) и сложить их с отражениями в других четвертях, то результатом будет постоянная (const) магического квадрата 8×8, равная 260.

Два следующих изображения иллюстрируют сказанное: здесь в каждой четверти квадрата Йениша для примера выделены несколько пар чисел, которые вместе с отражениями в трёх других секторах (четвертях) углового зеркала – (в клетках такого же цвета) – в сумме составляют 260. Это весьма высокая степень организации чисел! Ничего подобного «не показывает» интегральная система...

[4]

ab
дискретная зерк. система веерная зерк. система
 

Вывод можно сделать только один: внутренняя структура квадрата Йениша согласована с закономерностями действия... углового зеркала! Иначе говоря, в маршрутном квадрате «работают» зеркала всех трёх систем, реализуя одно из самых удивительных своих свойств – свойство единства.

Но если этот расплывчатый вывод является общим «правилом» для всех 64 маршрутных квадратов, то свойства самих квадратов не отличаются такой общностью, поэтому, чтобы в работе с ними иметь возможность более гибкого применения преобразующего инструмента (углового зеркала), необходимо прежде всего, выявить различия в их строении.

Одно из отличительных свойств «классического» (полумагического) квадрата Йениша заключается в том, что последовательные четвёрки порядковых чисел натурального ряда (1-2-3-4; 5-6-7-8...) размещены в нём целиком в пределах составных четвертей; применительно к угловому зеркалу – в границах одного сектора, что позволяет рассматривать отдельную четырёхходовку коня, как «первичный элемент» внутренней структуры квадрата, и объект отражения.

Ниже, на рисунке [5-a] в этом квадрате каждая четвёрка порядковых чисел и три её отражения в секторах углового зеркала обозначены отдельным цветом клеток. Всего 16 четырёхходовок, по четыре каждого цвета.
Цвет, конечно, условная характеристика. Одинаковым цветом обозначены четырёхходовки по признаку их внешней симметрии, если сравнить с известной детской игрушкой, то можно сказать – как в калейдоскопе.
Далее [b] четырёхходовки каждого цвета схематически связаны в пределах всего зеркала, каждая в общую группу («точечно-числовую» структуру).
Рисунок [c] – это попытка выразить внешнюю симметрию структуры квадрата Йениша образно, через изображение цветного геометрического узора.

[5]

a
b c

На рис. [5] изображение [c] – целиком и полностью произвольно; в квадратах [a] и [b], напротив: цветовая палитра в первом из них и «точечное» представление чисел во втором только бесстрастно передают симметрию четырёхходовок. И хотя речь идёт лишь об их внешней симметрии, не «подтверждённой» внутренней, числовой, – не затрагивает ли эта бесстрастность эмоции? Не кажется ли, по меньшей мере, неожиданным этот порядок распределения четвёрок чисел в «нетронутом» ещё никакими преобразованиями квадрате, который есть лишь «побочный результат» решения шахматной задачи?..
Не стану уверять читателей в том, в чём они рано или поздно смогут сами убедиться – эти числа достойны того, чтобы их изображать не цветными точками, а рубинами, сапфирами, изумрудами, топазами...

Ещё одна очень важная отличительная характеристика полумагического маршрутного квадрата это симметрия распределения четырёхходовок между центральной и периферийной областями интегральной зеркальной системы (между «сепаратором» и «колёсами»).
На рис. [6] изображена схема этого распределения в натуральном квадрате, где четвёрки порядковых чисел, подчёркнутые светлым фоном клеток соответствуют «сепаратору» полумагического квадрата Йениша [1], более тёмным – «колёсам».

Если четвёрки чисел обозначить начальными буквами, по типу фона клеток – «с» (светлый) и «т» (тёмный), то чередование четвёрок в полумагическом квадрате Йениша можно отобразить условной схемой  с т т с ~ с т т с  и т. д.; симметрия чередования четырёхходовок, относительно их принадлежности к центральной и периферийной областям зеркальной системы, очевидна [6].

Кроме «классического» квадрата Йениша [1], без учёта зеркальных двойников, свойством полумагического обладает ещё только один. Помимо этих двух полумагических, в точности такие же особенности внутреннего строения – числовой состав «сепараторов» и «колёс», размещение четырёхходовок в границах секторов и симметричное их чередование – имеют ещё два квадрата. Итого, четыре маршрутных квадрата со сходными характеристиками, которые для удобства дальнейшей работы, есть смысл обособить в отдельную группу, присвоив последней отличительный знак – букву «А».

[1]

 

[6]

Представитель аналогичного семейства, состоящего также, из четырёх маршрутных квадратов, изображён на следующем рисунке [7]. Эти квадраты, как и первые четыре, характеризуются симметричным порядком чередования четвёрок, но отличаются от них противоположным числовым составом «сепаратора» и «колёс» [7-c,d], что отображает схема [7-b]. Обозначим эту группу следующей буквой алфавита – «Б».

[7]

a b
c d

Таким образом, маршрутных квадратов (группы «А» и «Б») с вышеназванными свойствами, всего «осьмушка» от общего числа, то есть, без учёта невариантов, всего 8.
Конечно, было любопытно взглянуть на расположение стартовых полей маршрута, отображённого этими 8 квадратами. Вот они (первый ряд – группа «А», второй – «Б»):

[8]

1 2  3 4
5 6  7 8
     

Для иллюстрации различного (противоположного!) числового состава «сепараторов» и «колёс» в квадратах групп «А» и «Б», на рис. [8] в них подчёркнуты цветом первые две четырёхходовки: в группе «А» в квадратах первая четвёрка принадлежит «сепаратору» (четвёрки образуют из чисел «ромбики»), вторая – «колёсам» (числа расположены «квадратиками»). И так далее, по схеме [6]. В группе «Б» всё наоборот.

Далее, на рисунке [9-a,b] стартовые клетки обозначены фигуркой коня и представлены вместе с отражениями:
[9-a] – стартовые клетки четырёх квадратов группы «А» – с распределением чисел между «сепаратором» и «колёсами» по схеме [6].
[9-b] – стартовые клетки четырёх квадратов группы «Б» – с распределением чисел между «сепаратором» и «колёсами» по схеме [7-b].

Объединив эти стартовые поля в одном квадрате, получим изображение [9-c] – стартовые клетки в квадрате подчёркнуты более тёмным фоном.

[9]

a b
скарабей виньетка
c d

Что за странная картина! Что это, жук скарабей в обрамлении виньетки?

На рис. [10] в квадратах светлым и тёмным фоном клеток выделены центральная и периферийная области интегральной зеркальной системы (в масштабе квадрата 8×8). Крестиками и ноликами заполнены клетки квадратов, составляющие срединные части обеих областей.

[10]

a b

Эти «срединные части» зеркальной системы и образуют, в совокупности, картинку «скарабея» [11-a].

При обращении каждой из составных четвертей квадрата [11-a] на 180° «скарабей» переходит в «виньетку» [11-b], и наоборот. То же происходит при взаимной перестановке составных четвертей вдоль диагоналей.

[11]

a b

Итак, «скарабей» есть не что иное, как сложный, комбинированный (так как включает части и центральной и периферийной областей) центр интегральной зеркальной системы и одновременно схема стартовых полей для маршрутных квадратов с симметричным чередованием четырёхходовок (тогда «виньетка», столь же «комбинированная периферия»?..)

Схема «скарабея» отображает положение 8 стартовых клеток маршрутных квадратов групп «А» и «Б» вместе с их отражениями, то есть, всего 32 квадратов.

«Виньетка» представляет собой схему 32 стартовых полей ещё каких-то способов обхода доски. Другими словами, вместе «скарабей» и «виньетка» имеют прямое отношение к некоторой совокупности маршрутных квадратов.

Спрашивается, какую роль могут играть эти «картинки» непосредственно в (отдельном) квадрате?

На следующем рисунке [12-a] изображён полумагический маршрутный квадрат Йениша, на фоне картинки «скарабея-виньетки»:

[12]

a b

Прочтём первую четвёрку 1-2-3-4 в квадрате [a], обращая внимание на чередование по-разному окрашенных клеток, в которых размещены её числа: светлая-тёмная-тёмная-светлая.
Схема чередования клеток «скарабея» и «виньетки» в четырёхходовке симметрична! И так во всех остальных четвёрках. То есть, в квадрате симметрично чередуются не только четырёхходовки, относительно центральной и периферийной областей зеркальной системы [6], но и числа самих четвёрок – относительно её срединных частей («скарабея» и «виньетки»), что можно схематически отобразить в натуральном квадрате [12-b]. Эта симметрическая особенность характерна для всех 8 квадратов групп «А» и «Б».

В латинском варианте квадрата Йениша, где четырёхходовки представлены только 8 порядковыми числами натурального ряда, очерёдность чередования полей маршрута при его обходе конём установить труднее – для этого нужно помнить весь маршрут, или сверяться по исходному полумагическому квадрату – но в нём особенно отчётлива равномерность распределения чисел всех четырёхходовок между срединными частями зеркальной системы. На рис. [13-a] хорошо видно, что в каждой составной четверти квадрата всех разных чисел по два, одно из которых в светлой клетке, другое в клетке тёмного цвета, то есть, оба входят в разные срединные подразделения зеркальной системы.
Цветовая схема детальной структуры интегральной зеркальной системы, наложенная на латинский вариант квадрата Йениша [b], демонстрирует один из вариантов её разделения самой по границе зеркальной двойственности, пролегающей через все её малые угловые зеркала: на рис. [c] картинка «скарабея» в каждой составной четверти квадрата включает по две клетки одинакового цвета, соответствующие секторам самых малых (2×2) угловых зеркал системы (вторая половина этих секторов образует картинку «виньетки»). Эта граница и разделяет зеркальную систему на две срединные части, относительно которых симметрично распределяются числа каждой четырёхходовки. Причём характер этого распределения заставляет «забыть» не только о непрерывности маршрута, но и об отдельных ходах коня (мы «забудем» об этом буквально на несколько минут, а потом снова вернёмся и к ходам коня, и к его маршруту, но другому – скрытому, доселе не известному...)

[13]

a b c

Конь вообще никуда не ходит, он просто расставляет в «деревянном квадрате» 8×8 (на шахматной доске) числа, в порядке, предписанном зеркальной системой. И делает это, насколько возможно, безупречно.., но каким образом? – он ведь тоже деревянный J! Для этого и была «придумана» шахматная задача о якобы непрерывном маршруте коня через все клетки доски, чтобы в каком-то варианте её решения, непреднамеренно, это сделал какой-нибудь любитель шахмат. Фортуна оказалась на стороне Карла Йениша...

Итак, мы видим что в распределении в маршрутном квадрате Йениша чисел – номеров ходов коня – нет случайного разброса, а есть строгий, подчинённый симметрии порядок. Но есть ли в этом нечто необычное? Не обеспечивает ли всякая схема обхода конём доски подобный числовой порядок автоматически, просто в силу заданного шахматной фигуре регламента – способа выполнения ходов, условиями задачи, симметрической структурой шахматной доски, и т. д.? Может быть, шахматисты или математики просто не уделяли достаточного внимания «числовому воплощению» маршрутов?
Проверить эту «догадку» не поздно и не трудно: известно множество решений этой задачи, выполненных по методам корифеев-составителей маршрута – Эйлера и Вандермонда, Мунка и Коллини, Полиньяка и Роже; другие варианты решения самого Йениша, в частности, «полумагический маршрут» [2/гл.I], и прочих, прочих, менее известных и совсем неизвестных...

Как большая река начинается с малого ручейка, так зеркальная система – с «элементарного» углового зеркала, «числовым аналогом» которого является квадрат 2×2, в клетки которого вписаны числа от 1 до 4. Две симметричные пары такого квадрата – числа 1 и 4, а также, 2 и 3 символизируют две пары полярных секторов зеркала, или его центрально симметричные отражения. Если нас попросят определить, или отделить друг от друга эти взаимные отражения, мы сделаем это с лёгкостью: пары чисел с одинаковой суммой, равной 5, и расположенные в квадрате 2×2 в диагональных клетках – они и есть эти отражения – симметричные пары четвёрки 1-4 и 2-3.

В квадрате 8×8 определить симметричные пары в каждой четвёрке, так же немудрено: это крайние и средние их числа. Расставить их в клетках с соблюдением симметрии зеркальной системы, сложенной из 16 малых угловых зеркал (а это 32 пары полярных секторов!) – задача уже далеко не из простых. Непрерывный маршрут фигурки коня, в решении Йениша, обеспечивает безошибочную расстановку чисел в каждом из них, частично жертвуя при этом безупречностью симметрии более крупных числовых подразделений квадрата. Совместить абсолютную безупречность симметричного распределения чисел с непрерывностью маршрута, означало бы, построить фигуркой коня магический квадрат. А это, как известно, ещё никому не удалось, да и вряд ли в принципе возможно (теперь, когда известно, в чём, в действительности, заключается задача о ходе коня, быть может, математики найдут доказательство тщетности поисков такого решения).

На следующем рисунке [14] в полумагическом квадрате Йениша оставлены числа только одной из срединных частей зеркальной системы – «скарабея» [a]. В их составе по одной симметричной паре каждой из 16 четвёрок (в первой из них это числа 1 и 4). Каждая вторая симметричная пара – средних чисел четвёрок – осталась «по ту сторону зеркала», в «виньетке».

Заменим числа в квадрате [14-a], по мере их возрастания, порядковыми числами натурального ряда. Результат замены – квадрат [b] с числами от 1 до 32. Характер распределения этих чисел в квадрате более, чем красноречив: это новый, непрерывный, обратимый маршрут коня!

[14]

полумагический квадрат Йениша  a b

Отобразим его графически в квадратах, с цветовым обозначением центральной и периферийной областей интегральной зеркальной системы [15-a], и её срединных частей – «скарабея» и «виньетки» – [15-b].

[15]

a b

Маршрут симметричен, как в графическом представлении, так и в числовом: в квадрате [14-b] начальные клетки его половин от 1 до 16, и от 17 до 32 подчёркнуты фиолетовым цветом.

Подчеркнём эту симметрию одинаковой нумерацией половин маршрута: на следующем рисунке [16], в квадрате [a] клетки второй половины маршрута пронумерованы числами от 1 до 16, как и первой его половины.
После обхода одной из половин маршрута, дойдя до клетки с числом 16, можно перейти в стартовую клетку другой его половины, а можно вернуться в исходную клетку с единицей. Это означает что каждая из половин, составляющих вместе один непрерывный замкнутый маршрут, и сама представляет собой подобный маршрут с числами от 1 до 16 [b,c].

Несколько слов о квадрате [16-a]. Сумма 32 его чисел равна 272, так как складывается из двукратного умножения суммы чисел от 1 до 16, равной 136. Наглядно это представлено в квадратах [b] и [c] с одинаковыми комплектами чисел от 1 до 16. При этом левая, правая, нижняя и верхняя половины квадрата [16-a] составлены всё теми же 16 порядковыми числами! Соответственно, и сумма чисел каждой из них равна 136. Половины квадрата, в свою очередь, составлены четвертями квадрата с суммой чисел 52 или 84. Эти три числа – 52, 84 и 136 есть не что иное, как умноженные вчетверо («угловым зеркалом») числа 13, 21 и 34, представляющие собой фрагмент знаменитого ряда Фибоначчи (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144... и т. д.) – числового воплощения золотой пропорции.
Золотая пропорция в какой-то числовой конструкции, как правило, знаменует собой готовность этой конструкции к переходу в состояние равновесия. В данном случае осуществить такой переход помогают цветовая схема зеркальной системы и графическая схема маршрута [15].

[16]

a b c

Поскольку схема маршрута [15] замкнута, то при его обходе, в одном или другом направлении, начальной может быть любая клетка «скарабея». От выбора стартовой позиции коня зависит симметрия будущего числового квадрата. Далее, в квадрате [17-a] отображён такой вариант обхода маршрута, при котором первая четырёхходовка коня связывает 4 поля «сепаратора» (светлый фон клеток), а числа следующей четвёрки – 5-6-7-8 – размещены в клетках «колёс», и далее в таком же порядке чередования – каждая четырёхховка располагается по «одну сторону зеркала», либо в центральной, либо в периферийной области зеркальной системы. В квадрате [16] такой порядок отсутствует, четвёрки здесь «разрываются» на пары границей зеркальных областей.

Заменим числа второй половины маршрута в квадрате [17-a] на порядковые от 1 до 16. Результат замены – квадрат [b]. Отличительным его свойством является зеркальная симметрия половин маршрута (от 1 до 16), а также, внешнее и внутреннее (числовое) равновесие составных четвертей, свойственное отражениям полярных секторов углового зеркала; сумма чисел в каждой из них равна 68.

В квадрате [b] обращает на себя внимание специфичность заполнения числами клеток составных четвертей (квадратов 4×4). Числа сгруппированы таким образом, что в каждом из квадратов 4×4 составляют неполные строки и столбцы. Причём, в одних рядах недостаёт по одному числу, тогда как в других по три, так что каждый из этих квадратов не только количественно «недоукомплектован» числами, но и те, что имеются разобщены. Так, рассматривая пару строк, в которых пустует по одной клетке, мы видим «в стороне» от них два числа, будто сбежавших как раз из этих клеток, и требующих водворения на место. И то же в случае со столбцами.
Для наглядности в составных четвертях 4×4 левой половины квадрата [b] точками обозначены пустые клетки только в строках, а в правой – пустые клетки в столбцах. В одном и другом случае строки и столбцы можно дополнить как раз теми числами, которые находятся вне этих строк и столбцов, но в том же квадрате 4×4. Оба варианта такого дополнения показаны в квадрате-схеме [c]. Стрелками обозначены перемещения разобщённых чисел в пустые клетки строк или столбцов квадратов 4×4. Детальная цветовая схема интегральной зеркальной системы помогает выполнить эти перемещения с соблюдением закономерностей симметрии: числа переносятся в парные полярные секторы малых угловых зеркал (в квадратах 4×4 это клетки такого же цвета).

[17]

Ú
a b
Ú
cd

Итог операции показан в квадрате [17-d]. В левой его половине образовался полный числовой квадрат 4×4; в правой – четыре составные четверти квадрата такого же размера. Это, практически, готовые магические квадраты. Ниже, на рис. [18] под пунктом [a] – совершенный магический квадрат, в классификации Е. Я. Гуревича* – тип <3>.

* Е. Я. Гуревич, «Тайна древнего талисмана», изд. «Наука», Москва, 1969 г.

Под пунктом [a'] этот квадрат воспроизводится повторно, с цветовым обозначением веерной зеркальной системы, которой соответствует его внутренняя структура. Квадрат заглавный – с единицей в первой клетке. Если поменять местами пары его столбцов, получится один из его производных простейшей симметрической операции – квадрат [b] – Древнейший из дошедших до нас квадратов четвёртого порядка... обнаружен в надписи XI или XII века, найденной в Кхаджурахо (Индия).*

*  М. Гарднер, «Математические развлечения и головоломки» (см. «Посвящённые Юпитеру», рис. [2/гл.I])

[18]

Ú Ú
a a' b  c c'

d e f  g

Под пунктом [c] на рис. [18] изображён симметричный квадрат <1>, собранный из четвёрок правой половины квадрата [17-d]. Под пунктом [c'] – его двойник с цветовым обозначением интегральной зеркальной системы. Квадраты [a] и [c], или [a'] и [c'] – производные взаимного превращения методом трансляции (см. «Посвящённые Юпитеру», рис. [7/гл.V])

Из тех же чисел квадрата [17-d] достаточно просто собрать ещё пару магических квадратов [d] и [e], также, производных взаимного превращения методом трансляции, и не намного сложнее [f] – один из древнеиндийских памятников почти 2000-летней давности*, и он же – центрально симметричный двойник знаменитого квадрата Дюрера [g].

* Б. А. Кордемский, «Математическая смекалка» (см. «Посвящённые Юпитеру», рис. [1/гл.I])

Схема «внутреннего маршрута» квадрата Йениша [15] позволяет обойти поля «скарабея» 32 способами, не приводящими к повторам числовых структур, образованных записью ходов коня. Из них только 8, после замены нумерации полей второй половины маршрута (чисел 17-32) на новую (от 1 до 16), приобретают симметрическое равновесие, и вторая такая структура, после расмотренной выше [17-b], приводится далее, на рис. [19-b]. Выполнив с её числами те же действия, что и в предыдущем примере, получаем «заготовку» [d] для сборки магических квадратов 4×4.

[19]

Ú
ab
Ú
cd

Далее, на рис. [20-a] изображён составленный из чисел левой половины «заготовки», магический квадрат типа <4> – один из нестандартных в терминологии «Теории зеркальных систем» (см. «Посвящённые Юпитеру»). Под пунктом [a'] – его невариант (повтор, отражение справа налево) заглавный квадрат, принадлежащий, как и исходный [a], к дискретной зеркальной системе.
Второй магический квадрат [20-b], полученный из числовой структуры [19], принадлежит к той же, дискретной зеркальной системе и типу <4> в классификации Е. Я. Гуревича – оба являются взаимными производными в процессе выполнения в одном из них универсальной зеркальной операции (см. «Посвящённые Юпитеру»).

[20]

Ú  
a a' b

Симметрические свойства числовых подразделений квадрата Йениша, образующих срединные части зеркальной системы – «скарабей» и «виньетку», во многом подобны. Раличие их в том, что последовательность симметричных пар четвёрок в «виньетке» не позволяет соединить их графически в непрерывный маршрут коня.

На рис. [21-a] в полумагическом квадрате Йениша оставлены только числа «виньетки», представленные средними симметричными парами четвёрок (в первой из них это числа 2 и 3, и т. д.) Первая половина числового состава «виньетки» заканчивается средними числами восьмой по счёту четвёрки натурального ряда – симметричной парой 30-31 (крайние числа этой четвёрки – 29 и 32). В связи с предстоящим разделением числового состава «виньетки» на две идентичные половины, в квадрате [a], заблаговременно, клетки этих половин для наглядности окрашены в контрастные цвета.
В квадрате [b] числа «виньетки» по мере их возрастания, заменены порядковыми числами натурального ряда от 1 до 32. Схема их размещения в клетках квадрата оказывается симметричной, разделяясь на две половины – от 1 до 16 и от 17 до 32.
В квадрате [c] эти числовые половины пронумерованы единообразно – числами от 1 до 16.
Сумма чисел в составных четвертях квадрата [c], как и в квадрате [16-a], составляет 52 и 84 (т. е., в любой половине квадрата – 136 – золотая пропорция).

[21]

a b  c
d e f

Сместив начальную позицию последовательности чисел в одной из половин (от 1 до 16), и симметрично в другой, можно добиться числового равновесия составных четвертей «виньетки». Примером может служить квадрат [d], в каждой четверти которого сумма чисел составляет 68. Теперь их можно сгруппировать внутри составных четвертей, аналогично [17-c] или [19-c], с целью последующей сборки магических квадратов 4×4 [21-e,f].

Но можно пойти и другим путём. Как ранее было отмечено, «скарабей» и «виньетка» переходят друг в друга при обращении четвертей квадрата на 180° (или их взаимной перестановки). Выполним эту операцию в квадрате [21-d]. В результате получим квадрат, изображённый на рис. [22-a]: «виньетка» превратилась в «скарабея», в котором два комплекта чисел от 1 до 16, являясь один продолжением другого, вместе образуют замкнутый маршрута коня. Под пунктом [b] этот же квадрат, но уже с цветовой схемой интегральной зеркальной системы и наложенной на него графической схемой маршрута. Для сравнения, здесь же, под пунктом [с] приводится ранее построенный квадрат [17-b] из чисел первоначального «скарабея» полумагического квадрата Йениша, и также, с графической схемой маршрута. Сравните их: схемы маршрутов этих квадратов являются взаимными отражениями (слева направо). Расположение чисел в них, также, указывает на зеркальную противоположность «скарабея» и (бывшей) «виньетки».

[22]

a b  c

d e

На что же указывает различие в квадратах 4×4, которые одинаковым способом легко собираются из чисел квадратов [17-b] и [22-b]? В первом случае, это был заглавный квадрат [18-a]. Аналогичные действия с числами «виньетки», после её преобразования в «скарабея» позволяют получить его производный – совершенный магический квадрат 4×4 [18-b], тот самый древнейший из дошедших до нас квадратов четвёртого порядка.., в том виде, в каком он и был найден в Индии. Квадраты [22-d] и [22-e] иллюстрируют процесс его сборки из чисел преобразованной «виньетки» полумагического квадрата Йениша. После формирования квадрата 4×4 [e] в нём остаётся поменять местами третью и четвёртую строки.

* * *

Вопрос о разнообразии магических квадратов 4×4, которые можно отыскать «на пути коня» в его маршруте по шахматной доске, во всей полноте не исследован. Здесь приведены только примеры, свидетельствующие о принципиальной возможности подобных находок.