Глава III. Гипермагический квадрат-калейдоскоп


...Как-то в 1970-м году в Буэнос-Айресе, роясь на
прилавке мелкого букиниста на улице Коррьентес..,
я наткнулся на испанский перевод брошюры Мило
Темешвара «Об использовании зеркал в шахматах»,
на которую уже имел случай ссылаться...

(У. Эко, «Имя розы»)

В предыдущей главе уже было выполнено разделение полумагического квадрата Йениша на две числовые структуры – «сепаратор» и «колёса». Отобразим теперь такое разделение схематически:

[1]

[2]

центральная область
«сепаратор»
 периферийная область
«колёса»

Чтобы ещё более детально рассмотреть элементы внутренней структуры маршрутного квадрата, требуется дальнейшая его дифференциация, в основе которой четырёхходовка коня (четвёрка порядковых чисел), поскольку именно четыре хода (включая исходное положение) конь совершает в пределах четверти доски, или в пределах одной составной четверти данного маршрутного квадрата – то и другое соответствует сектору углового зеркала.

Таким образом, в соответствии с закономерностями зеркальной симметрии, маршрутный квадрат подразделяется на дробные части – зеркальные четверти, выявленные с помощью углового зеркала (не путать с составными геометрическими четвертями!)
Для более удобной идентификации в дальнейшем частей разделённого квадрата, присвоим им «художественные» названия – «мельница», «кристалл» и «паутинка» (последняя схема очерчивает в центре квадрата нечто вроде силуэта эллипса, большая ось которого ориентирована горизонтально (horizont) или вертикально (vertical); отсюда различное обозначений «паутинок» [4])

Эти четверти, действительно, являются взаимными отражениями, хотя применение одинарного зеркала этого не подтверждает.
Однако, несколько простых операций с числами квадрата, в рамках двоичной симметрии (см. «Посвящённые Юпитеру», гл.VIII). легко могут продемонстрировать взаимные превращения, в любых сочетаниях, этих групп (здесь пока речь идёт, конечно, только о внешней симметрии «картинок», или схем расположения чисел, а не их числовых выражениий).

[3]

«мельница» «кристалл»

[4]

«паутинка-h» «паутинка-v»

Теперь можно приступить к дифференциации, собственно, числового квадрата Йениша.
«Сепаратор» и «колёса» уже готовы:

[1/гл.II]

a) «сепаратор» b) «колёса»

Осуществляем дифференциацию обеих половин квадрата, разделяя их на зеркальные составляющие, в соответствии с внешней симметрией четвёрок (четырёхходовок), образованных порядковыми числами натурального ряда:

[5]

«мельница» «кристалл»

[6]

«паутинка-h» «паутинка-v»

Следующие две группы изображений [7,8] иллюстрируют процесс дифференциации латинского варианта квадрата Йениша. Оставляю эти рисунки без комментариев.

[7]

a  b) «сепаратор» c) «колёса»

[8]

a) «мельница» b) «кристалл»
c) «паутинка-h» d) «паутинка-v»

Итак, введены все необходимые понятия, связанные с внутренним устройством маршрутного квадрата Йениша. Приступим теперь к некоторому его «переустройству» т. е., преобразованию.

Обратите внимание, как легко, в результате всего трёх (!) очень простых операций, известный полтора столетия и кочующий из книги в книгу числовой (нумерологический!) квадрат со скромным «эстетическим элементом» (Е. Я. Гик) – свойством полумагического.., квадрат, который видели наверное, сотни тысяч, а то и миллионы глаз.., как этот квадрат здесь и сейчас трасформируется в нечто очевидное-невероятное, в «сверхмагический» квадрат, со свойствами, которые ранее в подобных числовых образованиях просто не предполагались...

Первое действие – над числами группы «мельница» квадрата Йениша – операция под кодовым названием «веретено»: пары центрально симметричных «лопастей мельницы» (на рис. [9] состоящих из «точек» одного цвета), обращаются подобно веретену, на 180°, – каждая пара вокруг собственной оси симметрии, совпадающей с одной из главных диагоналей квадрата. При этом, «точки», лежащие непосредственно, на линиях диагоналей, разумеется, не меняют своего положения.

Ниже, под точечной схемой изображена группа чисел «мельницы» квадрата Йениша: [a] – в исходном виде, и [b] – после выполненной операции.

[9]

операция «веретено»
 
 
Ú
a b
 

Следующее (второе) действие – операция «карусель» – выполняется с группой чисел «кристалла». Вся группа, как одно целое, поворачивается, наподобие карусели, на плоскости, влево на 90°. Под пунктами [a] и [b] на рис. [10] числовая структура «кристалла», соответственно, в исходном виде и после поворота.

[10]

операция «карусель»
 
 
Ú
ab
 

Далее [11] представлена половинная часть квадрата Йениша – новый «сепаратор», полученный путём воссоединения преобразованных числовых групп «мельница» и «кристалл» [9-b, 10-b].

Как ранее выполненное разделение квадрата, так и постепенная его сборка из преобразованных частей полезны для нашего восприятия, но симметрическими операциями не являются, и счёта действиям над числами не прибавляют.

 
+
[9-b]  [10-b]
à ß
 

[11]

«С Е П А Р А Т О Р - I»
 

Полученная таким простым способом конструкция обладает чрезвычайно высокой степенью внутренней симметрии, для объективной оценки которой достаточно взять счётный калькулятор, и вычислить сумму чисел различных её фрагментов: строк, столбцов, и т. п. Эти арифметические действия помогут очень быстро выявить признаки беспримерной, практически идеальной (насколько это возможно в принципе) симметрической организации чисел данной структуры.

Её «магическая постоянная» равна 130, т. е. 1/2 константы магического квадрата 8×8. Любая пара чисел в строке или столбце, в границах четверти квадрата, то есть, одного сектора, вместе со своим отражением в одном из двух других смежных секторов, составляет четвёрку с константой 130. Что касается диагоналей всех четырёх составных четвертей, то в них числа выстроены симметричными парами (сумма симметричной пары в ряду от 1 до 64 равна 65), что и вовсе снимает всякие ограничения с многообразия комбинационных сочетаний числовых пар в четвёрки с константой 130.

Так как в диагоналях «сепаратора» 8 чисел, то сумма их, естественно, равна удвоенной константе («сепаратора»), то есть 260.

Необыкновенная лёгкость перехода от первоначального состояния этой группы чисел в маршрутном квадрате к преобразованной, и результат этого перехода – совершенная числовая магия полученной структуры [11], разительно контрастирует с исходными данными. Ведь речь идёт о шахматной задаче: обойти фигуркой коня доску непрерывным маршрутом, не посещая дважды ни одно из полей, что само по себе уже достаточно сложно. Тут оправдан любой «числовой хаос» в маршрутном квадрате, только бы решение отвечало условиям задачи. И вдруг, «совсем рядом» с найденным (Йенишем) решением обнаруживается беспрецедентный числовой порядок, практически, заданный номерами ходов коня! Как такое могло произойти, – самый наивный вопрос из тех, что невольно при этом напрашиваются...

Далее рассмотрим совокупность чисел квадрата Йениша, «населяющую» периферийную область зеркальной системы, или иначе, «колёса» [1/гл.II].

Если сложить между собой числа внутри каждого «колеса» (в одной составной четверти) этой структуры, то окажется, что в двух из них, расположенных в направлении одной из диагоналей, сумма чисел соответствует константе магического квадрата восьмого порядка (260 и 260), а в двух, составляющих другую диагональную пару, не соответствует (132 и 388).

Хотя в совокупности каждая диагональная пара «колёс» составляет 520 – четверть квадрата 8×8, не в каждой из них числа распределены равномерно.

Исправление этого небольшого изъяна в симметрии «колёс» и является третьей по счёту операцией преобразования квадрата Йениша.

Исправление осуществляется перемещением некоторой группы чисел, так, чтобы компенсировать недостаточность суммы в одной четверти за счёт избыточности в другой. Какие именно числа следует переместить, и каким способом?

Гадать здесь ни о чём не нужно. Прежде всего, о способе перемещения чисел. Конечно же, это должно быть зеркальное обращение числовой группы на 180°, поскольку речь идёт о центрально симметрично расположенных четвертях квадрата, или иначе, о двух полярных секторах углового зеркала. При определении группы чисел, подлежащих взаимному перемещеню, ориентироваться нужно на внутреннюю симметрическую структуру «колёс», составленных из двух типов «паутинок» [6].
Минута-другая работы с калькулятором, и становится ясно, что операция может быть выполнена двумя способами: обращением на 180° чисел любой из двух «паутинок», но разумеется, не целиком, а только в паре несбалансированных «колёс». В одном и другом случае пара диагональных «колёс», и вся структура в целом, обретает числовое равновесие. Ниже, на рисунке [12] числа «паутинок», подлежащие зеркальному обращению, подчёркнуты в исходной структуре «колёс» зелёным и фиолетовым цветом клеток.

 

[12]

 [1/гл.II]  
ß à
 

 

[13]

 

[14]

Ü Ü

[15]

 

[16]

«К О Л Ё С А» «К О Л Ё С А»
 

В результате обращения на 180°, поочерёдно, «зелёных» и «фиолетовых» клеток с фрагментами «паутинок» [14], получаем два экземпляра новых «колёс», однако, это структуры уже совсем другого порядка [15,16]. С позиций внутренней симметрии (числовой «магии»), они абсолютно равнозначны, и так же безупречны, как и «сепаратор» [11].

Как легко догадаться, одна из этих структур левая, другая правая, поскольку различаются ориентацией диагональной пары составных четвертей. Они так же равнозначны и схожи между собой, и даже более, чем скажем, наши руки. Но в той же степени они и различны, опять же, настолько, насколько отличается левая рука от правой.

Сумма чисел этих структур в каждой четверти (в каждом «колесе») составляет 260. Cтроки и столбцы содержат по 4 числа, сумма которых равна магической постоянной 130.
Но сказать о «колёсах» [15,16] только это, значит, не сказать о них ничего. Самое интересное заключается в том, что любые два числа, идущие друг за другом по окружности «колеса» вместе со своим отражением – двумя числами в одном из двух других смежных секторов, в сумме, также, составляют константу 130!

Пример: одна из таких числовых пар на рис. [15] – 55 и 11. Её отражение в правом смежном секторе 26 и 38; в нижнем 6 и 58. В одном и другом случае сумма четырёх чисел равна 130:  55+11+26+38  и  55+11+6+58. И так далее.

Если вы ещё не догадываетесь, что означают такие «магические» свойства этих структур, то пусть подсказкой вам послужит придуманное для них название – «колёса»!

Да, вот почему «колёса» – потому что их можно вращать!

На рис. [17] показаны две из двух возможных схем вращения «колёс» в соответствии с закономерностью двузеркальной симметрии («колёса» вращаются как при зубчатом зацеплении, или как в калейдоскопе): для смежных секторов углового зеркала, как и при обычном однократном отражении, характерно разнонаправленное вращение; в полярных секторах направление вращения не меняется.

[17]

a b

При угловом смещении (прокручивании) «колёс» [18-a] на один шаг («на один зуб»), структура примет вид [18-b]. Несмотря на то, что числовой состав строк и столбцов изменился, сумма чисел в рядах, горизонтальных и вертикальных, осталась прежней – 130. Прокручивание «колёс» можно продолжать до полного оборота каждого из них – магическая постоянная (const=130) структуры на каждом этапе вращения сохранит своё значение.

[18]
[15]
a b

Итак, три действия, преобразующие квадрат Йениша. Магический квадрат, на его основе, почти готов. Дело лишь за сборкой, что операцией симметрии уже не является. Сборка заключается в объединении «сепаратора» с «колёсами»:

 
+
«сепаратор» [11] «колёса» [15]
à  ß
 

[19]

 

Первый «шахматный» магический квадрат 8×8 [19] построен, – практически, фигуркой коня. И какой квадрат!

В минуту удачи в своих изысканиях Е. Я. Гуревич, построив новый квадрат (5×5), восклицает: «Разве могут бесстрастные типографские литеры выразить всё изумление такой находкой? Для этого понадобились бы, по меньшей мере, ноты (...) Вместо доказательства* отсутствия магических квадратов 5×5, помимо давно известных, вдруг найден новый...»

(«Тайна древнего талисмана», стр. 99).

* (Вот она, цена «доказательства» в творческом процессе! – С.П.)

Так что, туш, господа! Или салют! – построен новый квадрат 8×8 – квадрат-бриллиант, квадрат-фейерверк!

Квадрат [19], это не что иное, как числовой магический калейдоскоп.

В детской игрушке – калейдоскопе – при повороте трубки происходит перемещение осколков цветного стекла, что каждый раз приводит к созданию нового узора. Но узор всегда симметричен.

В числовом калейдоскопе при каждом прокручивании «колёс» в строках и столбцах квадрата изменяется числовой состав, то есть, образуется «новый узор», но остаётся прежней постоянная – сумма чисел в рядах, равная 260. То есть, «узор» всякий раз симметричен.

На рис. [20] подборка магических квадратов, полученных за счёт «вращения калейдоскопа» [19].

 

[20]*

исходный [19] 1  2 3
     
4 5  6 7

Как видно из этого примера, пошаговое вращение «колёс» исходного квадрата приводит к построению 7 новых магических квадратов. Согласно традиционным представлениям, все они существенно различны (во всех 8 квадратах не встречается и двух строк или столбцов с одинаковым числовым составом).

Однако, в данном случае, трудно избавиться от впечатления, что мы имеем дело с единственным, «симметрически многогранным» квадратом, рассматриваемым «с различных сторон».

  1. Бриллиант может насчитывать до 56 граней.

    (В. Гильде, «Зеркальный мир»).

56, или более – техника огранки совершенствуется...
Бриллиант, это обработанный алмаз. Если квадрат Йениша сравнить с алмазом (а он, без сомнения, заслуживает такого сравнения), тогда его преобразование и будет «обработкой», а результат этой обработки («бриллиант»), это калейдоскопический магический квадрат [19]. И подобно тому как бриллиант необходимо повертеть в руках (или «повращать» вокруг него глазами J, чтобы увидеть блеск его граней в лучах света, так и симметрические грани калейдоскопического квадрата можно рассмотреть только вращая его «колёса» в угловом зеркале «калейдоскопа». Пока таких «граней» обнаружено восемь [20]. Маловато для бриллианта. Но это и понятно: ювелирных дел мастера творят свои шедевры от начала мира, и за это время успели изрядно поднатореть в своём ремесле, а магические квадраты, как мы знаем из популярной литературы, «китайцы придумали» всего несколько тысяч лет назад, да и к тому же, калейдоскопических квадратов они не придумали вовсе...

Но сдаваться преждевременно! Обработка нашего алмаза ещё не окончена, ещё не все его грани проявлены.

В калейдоскопических квадратах [20] числа «колёс» подобны разноцветным бусинкам (и их отражениям), перекатывающимся в трубке калейдоскопа, а «сепаратору» (разделителю «колёс»), поскольку он неподвижен, отдана роль как бы бумажной трубки калейдоскопа. В действительности, «сепаратор», также, представляет собой высокосимметричную числовую структуру, способную продемонстрировать не менее эффектные превращения в зоне действия углового зеркала. Правила «перекатывания бусинок» для «сепаратора» несколько иные: здесь внутри каждой четверти, так же как и в «колёсах», по две четырёхходовки, но вращаются они раздельно, каждая по своему кругу. Направление вращения для четырёхходовок исходной четверти (любой) произвольное, в остальных секторах для каждой из четвёрок оно задаётся строгими закономерностями углового зеркала (как в калейдоскопе!), исходя из направления вращения исходных. На рис. [21] представлены две, из четырёх возможных, схемы перемещения чисел «сепаратора» (ещё две легко получить, изменив направление вращения элементов схем [a,b] на противоположное).

[21]

a b

Далее, на рис. [22] восемь квадратов. Первый [a] – исходный [19]. От него образованы три других путём вращения четырёхходовок «сепаратора» в противоположных направлениях в каждой четверти, то есть, по схеме [21-a].

[22]*

a b  c d

Достаточно внести небольшое изменение в любой из этих квадратов, чтобы на основе вновь полученного образовать, тем же способом, новый подобный ряд из четырёх квадратов. Так, за основу исходного квадрата [a] в следующем примере [23] взят квадрат [22-a], в котором выполнены следующие действия: структура «колёс» обращена на 180°, а в «сепараторе» выполнены два шага вращения четвёрок «кристалла» (сравните эту числовую группу в квадратах [23-a] и [22-c]). Три других квадрата этого ряда [23-b,c,d] образованы вращением четырёхходовок «сепаратора» исходного квадрата [a], как и в примере [22] – по схеме [21-a].

[23]*

a b  c d

По аналогии с преобразованием «сепараторов» [22-a] Ú [23-a] можно видоизменить и «колёса». На рис. [24-a] показана одна из таких (исходных) структур [15] и далее «колёса» [b], [c], полученные путём зеркального обращения на 180° отдельных четвёрок, принадлежащих «паутинкам» «h» и «v», соответственно (или, что то же самое, путём прокручивания на две позиции четвёрок каждой из «паутинок»).

[24]

a  b c

Различные способы видоизменения числовых структур, с сохранением их свойств, это в общем-то, типичные приёмы и в работе с магическими квадратами, с целью получения их вариантов. К таким преобразованиям квадрата-калейдоскопа можно отнести предыдущий пример, или [22-a] Ú [23-a], или превращение правой структуры в левую и т. п. Но оригинальность числового калейдоскопа проявляется конечно же, прежде всего, в операциях циклического «движения» чисел. И в этом смысле гибкость, пластичность внутренней структуры квадрата-калейдоскопа необычайна. «Колёса» и «сепаратор», эти его числовые половины, в свою очередь, образованы четвертными зеркальными составляющими, каждая из которых одна может «заставить калейдоскоп работать».

На рис. [25] изображены две такие составляющие магической структуры «колёс» [15] – группы чисел «паутинок». Справа и снизу квадратов обозначена сумма чисел, которых в рядах этих структур всего по два. При симметричном вращении четвёрок первой и второй четвертей эти пары чисел будут просто перемещаться в другие строки, так что сумма чисел в строках сохранится постоянной. Аналогично и в других четвертях – третьей и четвёртой.

В каждом столбце тоже по два числа с одинаковой суммой... Поэтому, вращение четырёхходовок даже одной «паутинки» не нарушит магическую константу «колёс» и, следовательно, всего калейдоскопического квадрата, но приведёт к изменению числового состава его строк и столбцов.
Таким же свойством обладают зеркальные составляющие «сепаратора» – «мельница» и «кристалл».
А это означает, что в квадрате-калейдоскопе можно вращать четырёхходовки любой из четырёх числовых групп [3,4], всех одновременно, или только одной, или избирательно – в любой комбинации, и в любых направлениях, с одной только оговоркой: направление вращения каждой из четвёрок структур должно быть согласовано с закономерностью отражения в секторах углового зеркала.

[25]

a b

Итак, восемь различных «сепараторов» в квадратах групп [22-23] и, как минимум, 3 различных структуры «колёс» [24]... Даже не беря в расчёт другие возможные элементарные преобразования «сепараторов» и «колёс», такие как полные отражения справа налево или сверху вниз, перестановка правой и левой, верхней и нижней их половин, и т. п., а только «методом калейдоскопа» [20], из них можно построить 192 магических квадрата!

8 «сепараторов» × 3 × 8 «колёс» = 192 квадрата. Число их удвоится при использовании другого варианта исходной структуры «колёс» [16], не востребованной в текущих преобразованиях. 384 «грани квадрата-бриллианта». Сколько скрытых красок, или тональностей, в паре «сепаратора» и «колёс» одного квадрата! Как тут не сравнить их с «мужеским и женственным началом»!..
Подсчёт магических квадратов в данном случае, конечно, только средство, способ описания принципиальных возможностей, таящихся в свойствах полумагического маршрутного квадрата Йениша. Практически, для иллюстрации этих свойств вполне достаточно построения и более скромного количества магических квадратов, скажем 64, зато их можно сделать более разнообразными.