Глава III. продолжение


* * *

Основное отличие маршрутного квадрата, возглавляющего группу «Б» от полумагического состоит в том, что «сепаратор» и «колёса» этого квадрата имеют противоположный числовой состав [6,7/гл.II]:

группа «А»  группа «Б»

Другим существенным их различием является положение стартовых клеток: по мере удаления исходных пунктов маршрута от центра к периферии доски, изменения происходят и во внутренней структуре квадратов; поначалу эти перемены ещё неуловимы, но в операции преобразований уже приходится вносить коррективы...

Операция «веретено» для числовой структуры «мельница» квадрата группы «Б» не изменилась.
На рис. [26-a] эта структура в исходном состоянии, [26-b] – после перемещения чисел:

[26]

операция
Ú
«веретено»
a b

Преобразование числовой структуры «кристалл» квадрата группы «Б» отличается от операции «карусель», выполнявшейся в полумагическом квадрате Йениша группы «А». Здесь числа перемещаются по кругу в каждой четырёхходовке и, разумеется, по правилам отражения в секторах углового зеркала; операция аналогична вращению четвёрок в магическом числовом калейдоскопе, поэтому её можно так и наименовать – операция «калейдоскоп»* [27]:

* Или, что то же самое, преобразование «по методу калейдоскопа», как в квадратах [22-23].

[27]

операция
Ú
«калейдоскоп»
a b

Сборка «сепаратора»:

 
+
[26-b]  [27-b]
à ß
 

[28]

«С Е П А Р А Т О Р - I»
 

Что значит «СЕПАРАТОР-I»? Почему обе структуры – [11] и [28] – обозначены одинаковой римской цифрой – «I»?
Это, конечно, не нумерация; «I» означает первый этап преобразований, в результате которых получены обе структуры, в отличие от «сепараторов» не преобразованных, выписанных, непосредственно из маршрутных квадратов.

Несколько иная в заглавном квадрате группы «Б» [7-d/гл.II] и процедура преобразования «колёс».
На рис. [29-a] эта структура в исходном виде. Первая операция заключается в отражении слева направо одной из её зеркальных составляющих, клетки которых в квадрате [a] выделены разным цветом, т. е., чисел одной из «паутинок». Как пример здесь представлен вариант отражения «паутинки-h» [b]; под пунктом [c] – вид после выполненной операции:

 

[29]

 
Ú Ú
a b c

Полученная структура «колёс» [29-c] по своим магическим свойствам практически ни в чём не уступает аналогичным структурам полумагического квадрата группы «А» [15-16]. Однако в ней обращает на себя внимание иной характер размещения симметричных числовых пар. В «колёсах» группы «А» они занимают вертикально расположенные смежные секторы интегральной зс в масштабе (каждой) составной четверти [3-b/гл.II]. Здесь же, в структуре [29-с], симметричные пары размещены в полярных секторах дискретной системы [3-d/гл.II].
Поскольку внутренняя структура маршрутного квадрата в целом соответствует схеме интегральной зеркальной системы, то размещение симметричных пар в смежных секторах (как в квадрате группы «А»), представляется более естественным для её периферийной области, каковой являются «колёса». Следовательно, операция, выполненная в структуре «колёс» квадрата группы «Б» [29] недостаточна и необходимы дополнительные действия, приводящие её к завершённому виду.

Результат таких действий иллюстрирует следующий рисунок [30]. Здесь изображены две структуры «колёс» [a,b], полученные из исходной для них [29-с], путём зеркального отражения в границах составных четвертей чисел четвёрок, принадлежащих разным для квадратов [a,b] «паутинкам» (числа в квадратах подчёркнуты зелёным и синим цветом, соответственно).

 

[29-c]

 
ß à
 

[30]

a b
 

На рис. [30] в составных четвертях квадратов проведены диагонали. Это делает процесс операции отражения более наглядным. Однако, диагонали здесь служат не схемой зеркала, или плоскостей симметрии (поскольку числа расположены относительно них несимметрично), а обычными разделительными линиями, проведёнными для удобства. Числа, меняющиеся местами, находятся по разные стороны этих разделительных линий. А суть операции заключается во взаимном перемещении (отражении) симметрично расположенных в ряду чисел четвёрок – крайних между собой, и средних. Например, в четвёрке 1-2-3-4 взаимно перемещаются (меняются местами) крайние 1 и 4, а также средние 2 и 3: — 1 2 II 3 4. И так далее (в итоге такие четвёрки после выполненной операции располагаются в ряду зеркально 4-3-2-1 и читаются в «колёсах» в обратном направлении).

Магические свойства этих структур аналогичны свойствам преобразованных «колёс» полумагического квадрата группы «А».

Подведём небольшой итог.
Если пренебречь некоторыми несущественными различиями в методах и действиях, то можно сказать, приёмы работы с заглавными квадратами групп «А» и «Б» оказались типичными, а результат, если судить по свойствам полученных структур, и вовсе, практически идентичным.
Поэтому, вместо иллюстрированного описания операций с числами квадрата группы «Б» достаточно было бы одной фразы: квадрат группы «Б» подобен квадрату группы «А».
Если бы не одно обстоятельство...

Заглавные квадраты групп «А» и «Б» – соответственные и им предстоит пройти свой путь «нога в ногу», или «рука об руку» до конца, пока они не сольются «в экстазе числовой гармонии» в одно.
Но это предмет повествования следующей части нашего рассказа, а сейчас хотелось бы сравнить две разные структуры этих квадратов: «колёса» одного и «сепаратор-I» другого (здесь речь идёт о магических, то есть, уже преобразованных структурах).

[31]

«колёса» кв-та гр. «А» «сепаратор-I» кв-та гр. «Б»
ó
a b

Поскольку две эти структуры имеют один и тот же числовой состав, то естественно, они могут переходить друг в друга (трансформироваться) при перемещении чисел из клеток «колёс» в клетки «сепаратора-I», и наоборот.
В каком порядке? – это можно усвоить, сравнивая между собой квадраты [31-a,b]. Порядок этот остаётся неизменным при трансформации магических «колёс» и «сепараторов» всех, без исключения, маршрутных квадратов.

Алгоритм существует, независимо от того, известно нам об этом или нет; иначе говоря, имеется общий для всех квадратов, не произвольный, не надуманный способ получения одной структуры из другой. А это значит, что «сепаратор» и «колёса» с противоположным числовым составом могут быть получены из соответствующих структур одного и того же квадрата.

Всё это говорится к тому, что принципиальной, безусловной необходимости в преобразовании квадрата группы «Б» не было, так как те же результаты можно получить путём дальнейшего преобразования квадрата группы «А» (взаимного превращения его «сепаратора» и «колёс»), поэтому все результаты операций, выполняемые далее с числами квадрата группы «Б» можно смело зачесть в актив заглавного маршрутного квадрата группы «А», т. е., полумагического квадрата Йениша.

Итак, на рис. [32] изображены четыре магических квадрата со свойствами числовых калейдоскопов. Возглавляет группу квадрат с «сепаратором-I» [28] и «колёсами» [30-a], полученными из маршрутного квадрата группы «Б». «Колёса» во всех 4 квадратах повторяются, а «сепараторы» образованы от исходного, путём вращения четырёхходовок, но в данном случае не в разных направлениях, а в общем для четвёрок «мельницы» и «кристалла», в любой отдельно взятой четверти квадрата, то есть, по схеме [21-b].

[32]*

a b  c d

Далее представлена группа квадратов [33] построенных подобным образом: в состав всех 4 квадратов входит одинаковая структура «колёс» [30-b] и «сепараторы» предыдущей группы, в которых выполнена операция перемещения чисел в группе «кристалла», аналогично преобразованию [22-a] Ú [23-a].

[33]*

a b  c d

Из квадратов [32-33] легко получить ещё столько-же путём обращения на 180° «колёс» (или «сепараторов»), после чего каждый из 16 может быть восьмикратно умножен в ходе операций вращения «колёс», как в примере [20]...

Итак, по далеко неполным подсчётам, «алмаз Йениша» потенциально насчитывает уже свыше полутысячи «граней». Рассмотреть же все вариации узоров этого числового калейдоскопа на страницах хотя бы и «большого мемуара», тем не менее, не представляется возможным. Да и едва ли это оказалось бы посильным делом для предпринявшего такую попытку без представления о его масштабах. О том, что масштабы эти велики могут свидетельствовать нижеследующие иллюстрации свойств калейдоскопических квадратов, которые, похоже, отнимают всякую надежду исчислить их.

На следующем рисунке [34] представлены две магические структуры «колёс» заглавного квадрата группы «А» [15,16]. В рамках внешней симметрии они могут быть разделены на верхние и нижние, правые и левые половины, либо на диагональные пары составных четвертей. Причём такое разделение сопровождается и внутренней (числовой) симметрией, т. к. сумма чисел каждой четверти одинаковая и равна 260. Более того, один из видов разделения «колёс» – на диагональные пары четвертей – лежит в основе заданной двухвариантностью способа их получения [13,14] симметрической операции взаимного их превращения. Достаточно обратить на 180° одну из таких пар – в данном случае пару нисходящей диагонали – и одна из структур переходит в другую: [15] Ú [16] и наоборот:

[34]

[15] [16]
Ú
левая правая
Ü Ü
[35] [36]
правая левая

Обращение другой диагональной пары составных четвертей в каждой из структур [15,16] приводит к построению двух новых «колёс» [35,36], находящихся между собой в той же зависимости, что и исходные. Одни из этих структур отнесены к левым, другие к правым. По какому признаку определена их принадлежность к этим разновидностям?., – об этом в следующем абзаце.

До сих пор ещё не внесена ясность по поводу отличительных признаков правых и левых «сепараторов», что и следует сделать, прежде чем говорить о «колёсах».
Итак, если «сепаратор» полумагического квадрата, возглавляющего группу «А», принять за правый, тогда «сепаратор» заглавного квадрата группы «Б» следует считать левым, так как он отличается от «А» противоположным числовым составом.
Но есть и другое обстоятельство, позволяющее зачислить его в разряд левых – квадрат группы «Б» записан не по основной схеме, как полумагический, а по её зеркальному варианту [11-II/гл.I]. Каким бы странным ни казался вывод из сказанного, но вследствие двух этих факторов, «сепаратор» квадрата группы «Б» оказывается правым. Причина в двукратном отражении. Так, например буква «Я» в зеркале будет иметь вид «R», повторное отражение вернёт её к исходному виду: «Я».
Так и с квадратом группы «Б»: первый «фактор левизны» – стартовая клетка в периферийной области зеркальной системы [9-b/гл.II] и как следствие, противоположный числовой состав зеркальных составляющих относительно квадрата группы «А», что и делает его левым; второй фактор – «левая схема» – аналогичен повторному действию зеркала, то есть, отражению левого «сепаратора» с превращением его в правый.
Следовательно, «сепараторы» квадратов, возглавляющих группы «А» и «Б», оба правые. Но не только они; «сепараторы» остальных центральных квадратов обеих групп, также, правые. Соответственно, «сепараторы» периферийных квадратов обеих групп в принятой схеме – все левые.

С «колёсами» ситуация несколько иная; как следует из примера преобразования периферийной группы чисел полумагического квадрата [12/гл.II], она потенциально заключает в себе оба вида этих магических структур, то есть, как левые, так и правые «колёса». Определить однозначно их разновидности по-прежнему не просто. Можно сделать это только опосредованно, опытным путём, через дополнительные операции, такие как переформирование в «сепаратор» – если «сепаратор» окажется правым, значит «колёса» левые, как в примере [31]; затем сравнением других структур с уже известной [34] и т. д. Либо вовсе игнорировать такую необходимость, поскольку различия между этими структурами не имеют принципиального значения; достаточно соблюдать некоторую условность.

* * *

Вернёмся теперь к иным вариантам разделения «колёс» – на верхние и нижние, левые и правые половины. Если обратить внимание на внешний рисунок расположения числел одной из таких половин, то невольно возникает ассоциация с восьмёркой, ориентированной горизонтально или вертикально:

[37]

a b

Идея нового преобразования калейдоскопического квадрата [19] напрашивается сама собой: вместо вращения «колёс» перемещать числа по «траектории» воображаемых восьмёрок, в соответствии со схемами [37]. Далее, в квадратах ряда [38] подразумеваются две восьмёрки, расположенные горизонтально, несмотря на окраску клеток, отличную от схемы [37-b]. От квадрата к квадрату числа «колёс» в горизонтальных половинах квадратов, подобно «бегущим огням», перемещаются из клетки в клетку, по рисункам восьмёрок, во встречных направлениях. Для большей наглядности перемещения чисел, по одному из них, в каждой половине квадратов, выделены контрастным цветом. Пример [38] приведён только для демонстрации данного преобразования. Читатели могут продолжить его до завершения цикла.

[38]*

исходный [19] 1  2 3

Другой вариант этого преобразования, с перемещением чисел в вертикальных половинах квадрата-калейдоскопа полностью реализован в группе [39]. Все 15 производных данной операции – магические квадраты.

[39]*

исходный 1  2 3
     
4 5  6 7
     
8 9  10 11
     
12 13  14 15

В последних двух примерах преобразований [38,39] в качестве исходных послужили два квадрата с одним и тем же «сепаратором», но разными структурами «колёс» – [15,16], одна из которых в рамках принятых условий, является левой, другая правой, причём в одном случае [38] числа левых «колёс» перемещались по горизонтальным «восьмёркам», а в другом [39] правых – по вертикальным. Примечательно здесь то, что если применить к каждой из этих структур другой вариант данной операции, то результат будет отрицательным: новых магических квадратов получить не удастся. Это позволяет использовать данное преобразование как вспомогательное средство для определения принадлежности «колёс» к числу левых или правых, если принять следующее условие: «колёса», числа которых с положительным результатом операции перемещаются в горизонтальных восьмёрках, считать левыми, а в вертикальных – правыми (или наоборот, но остановимся на этом).

Все вновь построенные квадраты в примере [39] магические. Более того, в результате перемещения чисел по «восьмёркам», или, упрощения ради, скажем так: в результате операции «восьмёрка» многие четырёхходовки квадратов оказались «разорванными» между составными четвертями, то есть, симметрия первоначального их положения в секторах углового зеркала, нарушилась. Тем не менее, каждый из них по-прежнему сохраняет свойства числового калейдоскопа. Разумеется, это относится и к квадратам ряда [38]. Из этого можно сделать частный вывод: расположение четвёрок (четырёхходовок) в границах составных четвертей квадрата не является непременным условием наличия у него свойств калейдоскопа.

В качестве демонстрации этих свойств выберем из массива [39] любой квадрат, например, №9. В следующем примере [40] он исходный. Вращение «колёс», и даже четвёрок «сепаратора» этого квадрата не приводит к утрате основных его свойств в квадратах, производных этой операции: все они в примере [40] магические.

В первом ряду прокручивание «колёс» проходит половину цикла и одновременно, перемещаются числа четвёрок сепаратора. Во втором ряду прокручивание «колёс» продолжается, а «сепараторы», отражённые сверху вниз, следуют в квадратах в обратном порядке. Так достигается максимальное разнообразие квадратов.
Для более красочных внешних «узоров калейдоскопа», числам «колёс» исходного квадрата задана произвольная цветовая палитра.

[40]*

исходный [39-№9] 1  2 3
     
4 5  6 7

Пример [41] аналогичен предыдущему. В качестве исходного здесь использован тот же квадрат, что и в предыдущей группе [40], но в несколько изменённом виде, а именно: в нём выполнена операция встречного прокручивания на один шаг четырёхходовок «паутинoк» [4].

[41]*

исходный 1  2 3
     
4 5  6 7

Заметим, что в двух последних примерах [40,41] в качестве исходных использован только один квадрат группы [39] – во втором случае слегка в изменённом виде.
Любой из полученных на его основе квадратов [40,41] вновь может быть использован в калейдоскопическом преобразовании вращения «колёс», и таким образом, умножен, по меньшей мере восьмикратно, причём без повторов, так как каждый из них имеет индивидуальный «сепаратор».

Наконец, любой из квадратов групп [40,41] может дать начало новой серии из 16 квадратов, при применении к ним, снова, операции (вертикальная) «восьмёрка». Вот только небольшой образец начала такой серии [42]. Исходным здесь служит производный квадрат №3 предыдущей группы. И так далее.

[42]*

исходный [41-№3] 1  2 3

* * *

Неординарные свойства калейдоскопических квадратов, сами по себе, красноречивее их словесного описания. Кроме огромного количества магических квадратов разных порядков, известно ещё множество других магических фигур, но едва ли среди тех и других найдётся нечто подобное калейдоскопическому магическому квадрату, основным отличительным признаком которого является динамичность.

Хотя Вам могут встретиться какие-то магические фигуры или конструкции, характеризуемые их авторами, как «перемещающиеся», «движущиеся», или «вращающиеся» – но что это значит в действительности?
Вот пример из упоминавшейся уже книги У. Болл, Г. Коксетер, «Математические эссе и развлечения». Здесь приводится описание и способ изготовления игрушки под названием «Тетраэдрическое магическое вращающееся кольцо». Это кольцо представляет собой бумажную ленту, склеенную в виде трубки (или кольца), по внешней окружности (поверхности) которой нанесены числа. Трубку нужно не просто держать в руках, но поворачивать (вращать!), чтобы в поле зрения попадали поочерёдно все числа. Не вдаваясь в подробности числовой магии этой игрушки, отмечу лишь, что числа, записанные на бумажной ленте, относительно друг друга не смещаются, – «вращается» в руках сама игрушка.

Разумеется, с позиций комбинаторики, «вращение колёс» или операцию «восьмёрка» в калейдоскопическом квадрате можно отнести к типичным перестановкам чисел, характерным для преобразований магических структур, в результате которых образуются их варианты (или неварианты).

Но с другой стороны, согласитесь, – невозможно не признать наличия в операциях преобразования калейдоскопического квадрата некоего связующего элемента, объединяющего отдельные перемещения чисел в непрерывный процесс «движения чисел». Пусть этот «связующий элемент» происходит из субъективного представления о динамике, или как-то связан с ощущением эстетической привлекательности, но отрицать его существования нельзя. Так, если провести параллель между перестановками чисел в магических квадратах и воспроизведением музыкальных звуков разного тона, то в рамках такого сравнения, с преобразованием калейдоскопического квадрата – 8-тактным циклом прокручивания «колёс» – можно соотнести исполнение музыкальной гаммы, с последовательным воспроизведением звуков 8 её ступеней. Аналогично исполнению музыкальной гаммы, объединяющей звуки разного тона в единый звукоряд, 8 шагов вращательного смещения (прокручивания) «колёс» калейдоскопического квадрата составляют единый цикл их вращения.

Благодаря этому необычному своему свойству, калейдоскопические квадраты, как класс, или как вид, несомненно, рано или поздно обретут известность и бессмертие, как уже обрели его другие магические числовые структуры, даже с более скромными характеристиками. Однако, всё это не должно отвлекать внимания от маршрутного квадрата Йениша и уводить поиски в тупик (даже если там скрываются столь замечательные числовые образования, как калейдоскопические квадраты J).

Дело в том, что в той магической универсальности, какой обладают промежуточные структуры («колёса» и «сепаратор») – производные первых шагов преобразования маршрутного квадрата, – очевидно «обещание» широких возможностей их превращения. Очевидно и то, что в калейдоскопическом квадрате реализованы не все из этих возможностей. А потому, исследование продолжается.