Глава IV. Играем в кубики


Одна из отличительных характеристик маршрутных квадратов групп «А» и «Б», как уже отмечалось ранее, заключается в том, что четырёхходовки (1-2-3-4; 5-6-7-8...) размещены в них целиком в пределах составных четвертей. Это позволило дифференцировать, или разделять такой квадрат на зеркальные составляющие (16-знаковые числовые группы [3,4/III], состоящие из «первичного элемента» их зеркальной структуры – четырёхходовки – и трёх его отражений в секторах углового зеркала) и работать с каждой из них раздельно, что во многом упрощает процесс преобразования квадрата, поскольку каждая такая группа имеет свои особенности строения и требует различных, преобразующих её действий.

В этом, кстати, заключается главный смысл понятия дифференциации – важно не само по себе практическое разделение, или дробление, но лишь различение – как у блаженного Августина, и не только у него. Одним из главных принципов идеологической работы у коммунистов был принцип дифференцированного подхода к массам. Но это не означало разделения массы, просто вас различали в ней, и исходя из особенностей вашей индивидуальности, «обрабатывали» подходящими «для вашего случая» методами, то есть, раздельно от других, дифференцированно...

В дальнейшей работе с маршрутными квадратами эта, полезная на первом этапе их преобразований особенность, становится «вредной» и должна быть «преодолена».

Четвёрка порядковых чисел (четырёхходовка), действительно, является «первичным элементом» симметрической структуры маршрутного квадрата (и таковым она остаётся в числовом магическом калейдоскопе).
Но нельзя двигаться вперёд, оставаясь на исходной позиции: продолжить «усовершенствование» маршрутного квадрата можно лишь при условии разрушения «псевдопервичного элемента» или, говоря более умеренной интонацией – при условии дальнейшего «различения», т. е., дифференциации.
Различить предстоит подлинный первичный элемент симметрической структуры квадрата – пару чисел, как атрибут инструмента дешифровки магических квадратов, а такими парами являются порядковые числа – «половинки» четырёхходовок. На эти «половинки» и предстоит разделить все четырёхходовки маршрутного квадрата, и с помощью операций симметрии разместить их в разных составных четвертях – «записать информацию» (см. «Посвящённые Юпитеру», гл.VII)

Но легко сказать: разделить все четырёхходовки... Разделить ещё можно, но как распределить в квадрате, по какому принципу? Идея-фикс! Нереально...

Действительно: практически, невыполнимо, если браться за дело в одиночку. Но ведь есть помощник! Зеркало, вот мастер, который «одним махом все трудности убивахом»!

«Дробить четырёхходовки» он (помощник) будет, конечно, не в исходном маршрутном квадрате, а в структурах, где числа уже упорядочены. Таковыми являются «сепараторы» и «колёса», из которых складывается магический калейдоскоп.

Порядок размещения чисел в этих структурах имеет одну характерную особенность: первая пара порядковых чисел четырёхходовки связывает в квадрате одну пару строк, вторая – две другие строки. Если, к примеру, «колесо» разрезать вдоль строк, разделив на нижнюю и верхнюю половины, то одна пара чисел четырёхходовки окажется в одной из половин «колеса», а вторая в другой. Таким образом, «разрез колёс» проходит по линиям, разделяющим пары строк квадрата. То же и в «сепараторе».

Нельзя «резать по живому», подразделяя квадрат на пары столбцов, т. к. в этом случае «по разные стороны зеркала» окажутся не пары порядковых чисел четвёрок, а разрозненные, «бессмысленные» одиночные числа пар. То есть, разделить не подлежащее разделению, конечно можно, однако, как в любой игре неуважение правил ничего доброго не сулит, так и здесь – такой ход успеха не предвещает.

[1]

a b

Итак, все четвёрки разделены на пары [1] (как, уже?! J)
Распределить в квадрате разъединённые пары так же легко и просто. Но прежде чем выполнить эту операцию, предстоит «распрощаться» с «колёсами» – в предстоящих преобразованиях эти структуры принимать участия не будут.

Хотя с позиций симметрии углового зеркала «сепаратор» и «колёса» это две равноценные части (половины) квадрата, между ними всё-таки, существует известное различие.
Не секрет, что и субъективно группа центральных чисел воспринимается как «оригинал», а периферийных — как её зеркальное отражение. Так, в традиционном восприятии это выражается в отношении к диагоналям квадрата, вдоль которых расположены центральные числа, как к главным.
Объективно это различие заключается в том, что некоторые свойства числовых групп могут быть проявленными в оригинале и скрытыми, как бы свёрнутыми, в отражении. Желая привести обе структуры «к общему знаменателю», т. е., в идентичное состояние, за оптимальный их вид следует принять, конечно оригинал, следовательно, «сепаратор». Именно в такую структуру должна быть переформирована группа периферийных чисел. Алгоритм такого превращения известен нам по опыту преобразования квадрата группы «Б» [31/гл.III].*

* Эта мера (переформирование «колёс») нацелена, скорее на перспективу – кроме квадратов групп «А» и «Б» остаётся ещё много других маршрутных квадратов и пока неизвестно легко ли будет выявить в их массиве пары совместимых. Если это будет представлять проблему, можно их и не искать, а использовать два «сепаратора» одного и того же квадрата, один из которых как раз и может быть получен из «колёс».

Итак продолжим преобразования «сепараторов-I» двух совместимых квадратов групп «А» и «Б». Операция, которую необходимо выполнить в этих структурах, это объединение внешних и срединных их частей со своими отражениями.

Поясняю с привлечением иллюстраций. Ниже изображены оба эти «сепаратора» [2-a,b], с цветовым выделением внешних и средних рядов различным фоном клеток. Эти-то, «одноцветные» ряды и подлежат объединению, поскольку представляют собой взаимные отражения в интегральной зеркальной системе (см. на рисунках «скарабея» и «виньетки» [11/гл.II] – клетки с крестиками).

На первый взгляд может показаться, что средние пары строк «сепараторов» [2-a,b] и без того не разрозненны, однако они расположены в разных половинах квадрата, поэтому не могут считаться объединёнными.

Практически задача сводится к взаимной перестановке в квадратах всего двух пар строк – первой и третьей (пары!), или второй и четвёртой. Можно ограничиться одним из этих способов. На рис. [2-c,d] повторно воспроизводятся «сепараторы» [a] и [b], в которых разным цветом подчёркнуты первая и третья пары строк. Следующие два рисунка [e] и [f] – вид «сепараторов» после перестановки этих пар строк.

[2]

группа «А»
  «СЕПАРАТОР–I»
 группа «Б»
  «СЕПАРАТОР–I»
a b
c d
e f

Это всё! Новые «сепараторы» [2-e,f] построены.

От структур [2-e,f] очень легко перейти к их вариантам [3,4], что не является обязательным – это пара «сепараторов», обладающих всеми свойствами предыдущих, – но их вид более предпочтителен для дальнейшей работы, т. к. одна из структур начинается единицей.

Обе структуры [3,4] подписаны «сепаратор – II», что означает второй этап преобразований, в ходе которых они получены.

[3]

 

[4]

«С Е П А Р А Т О Р – II»  «С Е П А Р А Т О Р – II»

В новых «сепараторах» четырёхходовки разделены, пары порядковых чисел, из которых они были составлены, оказались в разных четвертях, или в разных, смежных секторах углового зеркала. Однако, расположение отдельных чисел в самих парах характеризуется центральной симметрией,* свойственной отражениям полярных, а не смежных секторов углового зеркала...

* Направление от меньшего к большему – вектор одной числовой пары 1Ú2 центрально симметричен вектору другой пары 3Ú4.

Чтобы привести расположение этих элементов структуры «сепараторов» в соответствие с их действительной симметрией, достаточно поменять местами две четверти (нижней или верхней) половины «сепараторов».
Но мы пока не станем этого делать, так как в дальнейшей работе с «сепараторами» это не создаст дополнительных удобств.

Дальнейшая же работа заключается в построении магических квадратов. Занятие это напоминает развлечение с детскими кубиками, поэтому абсолютно никаких сложностей не представляет. Весь процесс построения иллюстрируется рисунками, к которым зачастую и комментариев не требуется.

Таким образом, в построении магических квадратов участвуют два «сепаратора», полученные из пары совместимых маршрутных квадратов [29-a,e]; теперь пришла пора испытать это их свойство на практике.

Вначале осуществляем перестановку пар строк в диагональных четвертях «сепараторов», в результате чего в этих четвертях (на восходящей диагонали) образуется пара «колёс» (клетки зелёного цвета). В двух других четвертях никаких действий не производим [5]:

[5]

a b

Затем перемещаем числа тех четвертей, где имеются стрелки [5], вверх и (или) вниз, объединяя их в одной из составных четвертей с «присутствующими» там числами.
«Кубики» готовы! [6]; складываем их вместе [7]:

 

[6]

+
a b
à  ß
 

[7]

 

Магический квадрат построен [7].
Все его составные четверти, также, являются магическими квадратами 4×4, с константой 130.

Вопреки всем стараниям размежевать пары порядковых чисел, составлявших ранее четырёхходовки, в построенном магическом квадрате они снова оказались вместе, причём ещё «теснее прижавшись друг к дружке»... J
Это несколько странное и необычное «происшествие», но оцените внутреннюю числовую гармонию одного из «спроектированных» шахматным конём, и первого построенного, по-настоящему магического квадрата (все «грани симметрии» которого, в отличие от калейдоскопического квадрата, в нём самом). Ниже на рисунке восьмикратно воспроизведена одна из его составных четвертей. Это самостоятельный магический квадрат 4×4 с константой 130 не только в строках и столбцах, но во множестве других четвёрок, каждая из которых на рисунке подчёркнута отдельным цветом клеток.

[8]

И ещё любопытный штрих: все числа, расположенные в квадрате [7] центрально симметрично, складываются в пары (в первой и последней клетке, и т. д.), сумма которых равна 49 и 81, или 72 и 92.

Магический квадрат [7] в определённом смысле, нейтральный. На его основе могут быть получены другие квадраты с некоторыми дополнительными свойствами.

Развернём на 180° каждую из составных четвертей нижней половины квадрата [7], а также, две четверти правой его половины. В результате получим новые квадраты [9-a,b].

Каждый из них, это не только магический квадрат, но и магический куб  4×4×4 с константой 130.

Чтобы представить такой куб в реальности, вообразите на месте клеток квадрата маленькие объёмные кубики, каждый с числом в центре. Любая четверть квадрата состоит из 16 таких кубиков, расположенных слоем так, будто они выложены на столе. Если четыре четверти квадрата уложить одна на другую, получится «пирог» из четырёх слоёв маленьких кубиков, или один большой куб, составленный 64 маленькими, то есть, куб  4×4×4.

Начальные числа четырёх четвертей квадрата [a] расположатся в слоях куба, одно под (над) другим, в порядке 1, 26, 48, 55; в кубе из четвертей квадрата [b] это будут числа 1, 21, 48, 60.

В произвольном порядке (через одно) это всё те же пары чисел с «квадратной суммой» 49 и 81.

Отразив слева направо пары четвертей в каждом из квадратов [a] и [b], расположенные в направлении восходящей диагонали, получим совершенные магические квадраты, соответственно, [с] и [d].

[9]

a) квадрат и куб b) квадрат и куб
c) совершенный d) совершенный

* * *

Ещё другой способ «складывания кубиков» отличается от предыдущего [5,6] тем, что во-первых, перестановка пар строк для образования пары «колёс», осуществляется теперь в четвертях правой или, как вариант, левой половины «сепараторов-II»:

[10]

[3]  [4]

И во-вторых: как следствие, перемещение «колёсных» и «сепараторных» чисел, с целью их объединения с числами другой половины структуры, естественно, производится слева направо  и (или)  справа налево  [11-a,b]
Совмещение обеих пар диагональных четвертей [c] + [d] приводит к построению магического квадрата [12].

 

[11]

a b
Ü Ü
+
c d
à  ß
 

[12]

 

Магический квадрат [12], также, «нейтральный». Центрально симметричное зеркальное обращение, как одного целого, пары его составных диагональных четвертей позволяет получить новый магический квадрат [13-a]; а в результате простой перестановки составных четвертей той же диагональной пары, образуется магический квадрат [13-b].

Каждый из полученных магических квадратов [a] и [b] является, также, и магическим кубом 4×4×4

Отражение слева направо диагональных составных четвертей квадратов [a] и [b] приводит к построению двух новых [c] и [d]. Оба они совершенные («дьявольские»).
Выделенные жёлтым цветом клетки с одними и теми же числами на рис. [13], призваны подчеркнуть различное положение одних и тех же составных четвертей в разных вариантах этого квадрата.

[13]

a) квадрат и куб b) квадрат и куб
c) совершенный d) совершенный

На основе этих четырёх вариантов [13] легко можно получить ещё четыре, развернув на 180° маленькие квадратики 2×2 в двух диагональных четвертях. На рисунке [14] представлены новые квадраты с теми же «мечеными» числами, что подчёркнуты цветом и в исходных [13].

[14]

a) совершенный b) совершенный  c) квадрат и куб  d) квадрат и куб

По свойствам, характеризующим вид магических квадратов, варианты [14] отличаются от исходных «обратным знаком»: совершенные квадраты превратились в квадраты со свойствами магических кубов, и наоборот.

Мы избрали для работы «сепараторы-II» [3,4], полученные в свою очередь из «сепараторов-I» с начальными числами 50 и 11 [2]. Эти числа и в «сепараторах-II» [3,4] легко вывести («вернуть») в вершины двумя простыми действиями. Для построения магических квадратов положение их в «сепараторах-II» не имеет принципиального значения, но таким видоизменением структур можно было бы подчеркнуть их первоначальную принадлежность к маршрутным квадратам групп «А» и «Б», составляющим пару совместимых квадратов: именно из них были получены структуры, в перспективе, действительно, совместившиеся в построенных магических квадратах. Но теперь пришло время сказать о глубине, или степени данного соответствия маршрутных квадратов, следствием которого является универсальная совместимость «сепараторов-II».
На рис. [15-b] в «сепараторе-II» жёлтым цветом клеток подчёркнуты 16 чисел (половина всего числового состава), каждое из которых, в результае несложных симметрических операций может занять первую (начальную) клетку; другими словами, легко можно построить ещё 15 вариантов этого «сепаратора-II». И с любым из них (!) «сепаратор-II» [a] окажется совместим. Итогом этого совмещения «сепаратор-II» [a] со всеми 16 вариантами «сепаратор-II» [b] будут 8 магических квадратов. Впрочем, они уже есть: мы получили этот результ другим способом, построив 8 магических квадратов [13,14] путём несложных преобразований одного, исходного [12]. Во всех этих 8 магических квадратах в угловых клетках, при вершинах, расположенных на восходящей диагонали, побывали все 16 центральных чисел двух составных четвертей исходного квадрата [12], в котором они подчёркнуты жёлтым цветом клеток, так же как и в «сепараторе-II» [15-b] – это числа бывших четырёхходовок: 5,6,7,8; 9,10,11,12; 53,54,55,56; 57,58,59,60. К сказанному можно добавить, что «сепаратор-II» [b], в свою очередь, совместим с 16 другими, начальные числа которых в 16 вариантах «сепаратора-II» [a] заполняют в нём самом клетки, окрашенные в зелёный цвет.

[15]

a b
 
c d

Остаётся ещё один вопрос, обойти вниманием который, было бы упущением. Почему совместимыми оказываются «сепараторы» с начальными числами, составляющими их левые половины, а не правые, или не верхние?..
С позиций симметрии это было бы трудно объяснить, если бы такая избирательность имела место в «сепараторах», безупречных, с тех же позиций симметрии. На самом деле, используемые в работе «сепараторы-II» требуют ещё одной операции для приведения их к окончательному виду – взаимного перемещения двух четвертей, например, нижних половин: [15-c,d], в результате чего пары порядковых чисел всех четвёрок и по характеру взаимной ориентации (направление от меньшего числа к большему), и по расположению (занимаемые клетки) обретают соответствие с отражениями в полярных секторах углового зеркала (на практике эту операцию удобнее выполнить уже в готовом магическом квадрате). В этом соответствии находит простое объяснение и свойство совместимости «сепараторов»: числа одного и другого являются «содержимым» полярных секторов, в совокупности образующих завершённую картину отражений в угловом зеркале, что наглядно иллюстрируется характерным крестообразным расположением их чисел в магических квадратах [13,14].

И ещё одно важное замечание: в магических квадратах [13,14], в отличие от первых построенных [9] «бывшие четырёхходовки» разделены на пары порядковых чисел, которые «разнесены» в разные четверти. Иначе говоря, квадраты [9] и [13] различаются по типу и, стало быть, пришла пора их классифицировать. Типу квадратов [9], с неразделёнными четвёрками, присвоим первый номер. А квадраты [13,14] будут именоваться квадратами второго типа.

* * *

И снова обратимся к «сепараторам-II» [3,4] – возможности этих структур ещё не исчерпаны.

[16]

[3] [4]

При построении квадратов первого и второго типа способ формирования четвертей будущего магического квадрата («складывание кубиков») был одинаковым: одна половина чисел «сепаратора» использовалась в исходном виде, а из другой составлялись «колёса». С этой целью в двух четвертях взаимно перемещались пары строк, «колёса» собирались, как бы из двух горизонтальных половинок, «полуколёс». Такое действие можно назвать операцией «горизонтальной сборки колёс».

Следующим видом преобразования «сепараторов-II» является» «вертикальная сборка колёс», при которой в составных четвертях (здесь правой половины «сепараторов») выполняется перестановка пар столбцов.
В остальном этот способ ничем не отличается от предыдущего. Рисунок [17] иллюстрирует процесс сборки магического квадрата [18].

 

[17]

a b
Ü Ü
+
c d
à  ß
 

[18]

 

Далее, в магическом квадрате [18] группа чисел диагональной пары четвертей, как одно целое, обращается зеркально на 180°, либо эти четверти просто меняются местами. В результате образуются магические квадраты [19-a,b]. Четверти этих квадратов складываются в магические кубы.

И, наконец, превращение магических квадратов [a,b] в совершенные [c,d], путём отражения слева направо двух диагональных составных четвертей.
Кстати, а почему, собственно, слева направо, а не сверху вниз?.. Разницы нет.

[19]

a) квадрат и куб b) квадрат и куб
c) совершенный d) совершенный

Полученные квадраты [19], как и [13,14] принадлежат ко второму типу. Горизонтальная и вертикальная сборка «колёс», это просто два разных приёма перегруппировки чисел «сепаратора» при построении квадратов второго типа.

Для построения квадратов первого типа вертикальная сборка «колёс» неприемлема.

Квадраты второго типа, горизонтальной и вертикальной сборки близкие варианты; различаются они противоположным числовым составом «паутинок» [20]:

[20]

кв-т горизонтальной сборки [13-a]   кв-т вертикальной сборки [19-a]

Основные особенности внутренней их структуры так же, как и у калейдоскопических квадратов обусловлены действием зеркальной системы. «Сепаратор» и «колёса», эти две во всех отношениях равные составляющие калейдоскопа, в магических квадратах второго типа обладают таким же статусом зеркальных половин. Центрально симметричное их противопоставление (или обращение одной из них на 180°) порождает варианты квадратов.
Это одна из самых простых и естественных операций, с которой вообще начинается построение первых магических квадратов 4×4 (способом, известным со времён Дюрера) и 8×8 (методом, описанным Роуз-Боллом).

Такая операция одинаково применима к магическим квадратам c горизонтальной и вертикальной сборкой «колёс».

На следующем рисунке [21] приводится пример вариантов магических квадратов, полученных зеркальным обращением, как одно целое, периферийных групп («колёс») в квадратах [19]. В этих вариантах сохраняется видовая принадлежность исходных магических квадратов, новые квадраты наследуют их свойства – магического куба и (или) совершенного квадрата (новые обозначены теми же символами a,b,c,d, что и исходные для каждого из них, квадраты [19]).

[21]

a) квадрат и куб  b) квадрат и куб  c) совершенный  d) совершенный