Глава V. Числовые пазлы


Построение «колёс» и «сепаратора» со свойствами магических фигур подобно складыванию целостного изображения из разрозненных фрагментов, как в детской игре (с «не детским», з-злым, звучащим по-русски как ругательство) названием – пазлы (от англ. puzzle - задача).
Впрочем, теперь подобными играми увлекаются вовсе не дети...

Когда-то у этого вида развивающих игр было хорошее доброе имя – детское лото. Это были причудливой формы картонные фигурки с фрагментами иллюстраций к русским сказкам, из которых требовалось собрать полную картинку. Теперь «правила» этой игры изменились – для детей изготавливают не фигурки, а карточки, от которых они, не успев повзрослеть, легко переходят к картам; а взрослые, тем временем, увлекаются компьютерными «пулялками», «стрелялками» и тем, что раньше было детским лото – «паз-з-злами». Теперь это игры для взрослых.

Ну, что ж, всё естественно.., для «королевства кривых зеркал»... Но и мы – подданные этого королевства, потому последуем его «уставу», продолжим нашу взрослую игру «в пазлы».

В этой нашей игре мы имеем дело не с кривым зеркалом, а вполне обыкновенным, но как бы разбитым на осколки, которые и требуется собрать воедино. И если до сих пор фрагменты числового «изображения» хотя и были разрозненны, но находились в одном квадрате, то теперь они и вовсе «разлетелись» за его пределы, и собирать их придётся из чисел разных квадратов.

Очередные, в настоящем обзоре, восемь маршрутных квадратов «в принятой классификации» получили обозначения «В» и «Г» – на рисунке [1] первый и второй ряд, соответственно.
Как и квадраты первых двух групп, они подразделяются на два лагеря (собственно, на «В» и «Г»), прежде всего, по признаку противоположного числового состава их «сепараторов» и «колёс» и отображают обход шахматной доски фигуркой коня из тех же стартовых клеток, образующих в совокупности картинку «скарабея», что и квадраты групп «А» и «Б» [10/гл.II]:*

* Имеется ввиду совокупность стартовых клеток 8 маршрутных квадратов [1] вместе с зеркальными невариантами, которые здесь рассматриваться не будут, так как симметрические закономерности в «квадратах квадратов», т. е., в полных группах «А» и «Б», а также, «В» и «Г» (включающих неварианты), во многом подобны, поэтому принципиальной необходимости в детальном исследовании особенностей такого группирования квадратов «В» и «Г» нет.

[1]

9  10  11  12
13  14  15  16
     

Группы квадратов «А» и «Б», «В» и «Г», включающие по 8 квадратов, т. е., без зеркальных невариантов, имеют как сходства, так и различия. Например, оказалось, что числа при вершинах маршрутных квадратов каждой из этих групп повторяют один и тот же их набор. Но при сопоставлении квадратов каждой из групп, выяснилось, что по этому признаку группы «В» и «Г» сформированы иначе; так, квадраты с числами при вершинах, повторяющих те же числа только квадратов группы «А», здесь вошли в разные группы. Это обстоятельство возбудило любопытство: что если из «привершинных» чисел квадратов групп «В» и «Г», также, построить квадраты 4×4 – неужели окажутся тоже магическими?

Такие квадраты, разумеется, были построены. В качестве шаблона был выбран тот же традиционный, совершенный магический квадрат [27-a/II], который был использован для группирования первых восьми маршрутных квадратов.

Квадраты из чисел, расположенных в вершинах маршрутных квадратов групп «В» и «Г» получились магическими, причём также, совершенными! Константа первого из них 114, второго 146.

[2]

[27-a/гл.II]  группа «А» группа «Б»

группа «В» группа «Г»

До этого момента я ещё верил в волшебные свойства квадрата-шаблона 4×4. Следующим действием была дифференциация маршрутных квадратов групп «В» и «Г» – разделение их на «сепараторы» и «колёса». Подсчёт суммы чисел в каждой из этих групп разрушил все иллюзии, относительно магического квадрата 4×4...

Сумма чисел «сепараторов» и «колёс» – в квадратах разных групп она противоположна – оказалась равной 912 и 1168. Это означало, что постоянная (константа) этих структур с магическими свойствами должна быть равной 114 и 146.

Каким образом постоянная сумма четырёх чисел в строке 1/2 квадрата («сепаратора»), с тем же постоянством появляется при сложении чисел при вершинах четырёх разных квадратов? А сумма чисел в строке другой половины квадрата («колёс») с такой же регулярностью фиксируется в сумме четырёх чисел при вершинах других 4 разных квадратов.
Причём в одном и другом случае сумма неодинаковая. Для «сепаратора» одна, для «колёс» другая. И как в зеркале, то же различие в суммах чисел при вершинах квадратов со стартовыми клетками в центральной и периферийной областях (принадлежность их к этим областям зеркальной системы иллюстрирует рис. [10/гл.II])
Очевидно, что эти удивительные закономерности далеко не во всём обязаны магическому квадрату 4×4, но обусловлены свойствами самих маршрутных квадратов...

Основное отличие квадратов групп «В» и «Г» от предыдущих восьми заключается в порядке передвижения фигурки коня, при обходе доски, по клеткам, соответствующим участкам центральной и периферийной областей зеркальной системы. Вот две схемы, отображающие чередование четвёрок маршрута, принадлежащих «сепаратору» и «колёсам» [3]. «Сепаратору» в квадратах-схемах соответствуют клетки со светлым фоном, а «колёсам» – клетки с тёмным фоном (варианты [a] и [b] имеют отношение к маршрутным квадратам, соответственно, групп «В» и «Г»); четырёхходовки следуют парами, в простой последовательности, несимметрично.

[3]

a b

Другая характерная особенность квадратов групп «В» и «Г» состоит в том, что в симметрических операциях они участвуют парами, составленными из представителей разных групп «В» и «Г» (чтобы скомпенсировать недостаток суммы в константе одной структуры и избыток в другой).

Метод их преобразования не представляет сложности, поскольку не включает других операций, кроме тех (или очень близких им), что применялись к квадратам группы «А», но для сборки магических структур используются зеркальные составляющие обоих квадратов; на рисунке [4] иллюстрируется один из способов получения «сепараторов» с магическими свойствами, когда к «мельнице» одного из квадратов [b] присоединяется «кристалл» другого [g], итог – [d]; и наоборот: [f]+[c]=[h]. Вид числовых групп «мельницы» и «кристалла» обоих квадратов на рисунке соответствует их состоянию после выполненения операций «веретено» и «карусель».
Результатом этих действий в одном из вариантов преобразования [d] оказывается отражённый сверху вниз «сепаратор-I» полумагического квадрата Йениша [11/гл.III].

Пример [4] демонстрирует способ получения «сепараторов» единый для всех 8 квадратов групп «В» и «Г».

Задействованные в примерах преобразований квадраты обозначены номерами в соответствии с их нумерацией в группах «В» и «Г», но ориентация квадратов в примерах может отличаться от их положения на рис. [1]

[4]

a b  c d
№11

№15
 'мельница'
операция 'веретено'
 'кристалл'
операция 'карусель'
à

Þ
const 130
     
e f  g h

Метод преобразования «колёс» аналогичен способу получения «сепараторов-I» с константой 130 [4]: исходные структуры «колёс» двух квадратов, также, разделяются на зеркальные составляющие – числовые группы «паутинок», из которых затем собираются новые «колёса» с магическими свойствами, при этом происходит взаимный обмен «паутинками» [5]. Исходные структуры «колёс» в квадратах групп «В» и «Г», как и в группах «A» и «Б», асимметричны, поэтому требуют уравновешивающей операции – зеркального обращения на 180° четвёрок «паутинки» асимметричной пары «колёс». Операция эта, так же, как и в квадратах групп «A» и «Б» [12-16/гл.III], двухвариантна. В результате, в одном из вариантов, из двух парных квадратов [5] получаются две магические структуры с константой 130 – правая [d] и левая [h]; кстати, одна из них – [h] в точности повторяет «колёса», полученные из полумагического квадрата Йениша [15/гл.III].

[5]

a b  c d
№12

№16
      à

Þ
const 130
     
e f  g h

Итак, выяснилось, что без особого «сопротивления» зеркальные составляющие «сепараторов» и «колёс» квадратов групп «В» и «Г» сладываются в магические структуры с константой 130, повторяя результаты преобразований первых восьми квадратов (групп «А» и «Б»). Путь к этому был заранее запланирован, и согласно намеченного плана вёлся целенаправленный поиск, который и привёл к благополучному исходу.

Однако, первая мысль, спонтанно явившаяся при знакомстве с этими квадратами, не была запланирована...

Как только выяснилось, что числа «сепараторов» и «колёс» в квадратах групп «В» и «Г» при сложении дают неодинаковую сумму, тут же возникла идея попытаться построить из них асимметричный числовой калейдоскоп – с различными константами для периферийных и центральных чисел одного квадрата. Задача оказалась не сложной. «Колёса» квадратов легко превращались в такую структуру с помощью знакомой операции зеркального обращения на 180° чисел одной из «паутинок». В «сепараторах» незначительного видоизменения потребовала структура «кристалла» и кроме того, обе зеркальные составляющие «сепаратора» – «мельница» и «кристалл» – в половине квадратов нуждались в центрально симметричном противопоставлении, то есть, обращении одной из этих структур на 180°.

Пример построения асимметричного калейдоскопа иллюстрирует рис. [6]. Здесь, в исходном маршрутном квадрате [a] красным цветом клеток подчёркнуты подлежащие обращению на 180° числа одной из «паутинок» асимметричной диагональной пары «колёс» и под пунктом [b] «колёса» после выполненной операции. В структуре «кристалла», в четырёхходовках каждой составной четверти крайние и средние числа четвёрок необходимо поменять местами. Операция, знакомая по преобразованию «колёс» маршрутных квадратов группы «Б» [30/гл.III]. В исходном квадрате [a] и в преобразованной структуре «кристалла» [с] эти числа четвёрок расположены в клетках одинакового цвета – жёлтого или зелёного.

[6]

[1-№11]  
a b c d

В приведённом примере построения асимметричного калейдоскопа [d] исходным послужил маршрутный квадрат №11 [1].
Аналогичные действия приводят к построению калейдоскопов из маршрутных квадратов №№9,14,16.
В квадратах №№10,13,15 выполнена ещё одна операция: обращена на 180° зеркальная составляющая «сепаратора» – числовая группа «мельница».
В квадрате №12 вместо «мельницы» выбор был сделан в пользу операции обращения на 180° «кристалла» – принципиального различия эти способы центрально симметричного противопоставления структур не имеют, а предпочтение именно этому способу в квадрате №12 было отдано с единственной целью: сохранить местоположение единицы в квадрате-калейдоскопе в первой составной его четверти.

Далее представлены все восемь асимметричных числовых калейдоскопов, построенных из маршрутных квадратов групп «В» и «Г»; расположение их в рядах на рис. [7] соответствует расположению исходных для каждого из них квадратов на рис. [1].

«Колёса» (или «сепараторы») в квадратах каждого ряда взаимозаменяемы, поэтому возможна сборка множества вариантов аналогичных квадратов с различными комбинациями центральных и периферийных чисел. Для всех основных квадратов обоих рядов и их комбинационных вариантов доступна операция обращения на 180° «колёс» или «сепаратора», а также, превращения левых в правые и наоборот.

Первое значение константы в подписях к квадратам относится к «сепаратору», второе к «колёсам». Кроме того, обозначена принадлежность структуры «колёс» каждого квадрата к правой или левой; наименования «горизонтальная» или «вертикальная», также, имеют отношение к «колёсам» – это, напомню, характеристики связанные с операцией «восьмёрка» [37/гл.III]: для левых «колёс» доступна такая операция в горизонтальной плоскости, для правых – в вертикальной.

[7]*

114/146
левая - горизонтальная
 114/146
правая - вертикальная
 114/146
правая - вертикальная
 114/146
левая - горизонтальная
a b  c d
146/114
левая - горизонтальная
 146/114
правая - вертикальная
 146/114
правая - вертикальная
 146/114
левая - горизонтальная
     
e f  g h

Асимметричный числовой калейдоскоп не может быть магическим квадратом, так как сумма чисел главных диагоналей в квадрате складывается из удвоенной константы «сепаратора», а она не равна»130. В Традиции такие квадраты считаются полумагическими. Но это определение слишком узко для полумагического числового калейдоскопа, с его оригинальной асимметричной структурой, и многогранностью его «нетрадиционной магии» («вращение колёс», операция «восьмёрка»), неведомой обыкновенному магическому квадрату с константой 260.

* * *

Группы «А», «Б», «В», «Г» включают лишь четверть от общего числа маршрутных квадратов (16 из 64); остальные 3/4 – это 48 квадратов, для внутренней структуры которых более всего подходит сравнение со сломанным калейдоскопом. Эти 48 маршрутных квадратов включены в одну общую группу, обозначенную буквой «Д».
В квадратах этой группы четвёрки порядковых чисел уже нельзя рассматривать как первичные элементы отражения, так как большинство из них не входят целиком в какой-либо один сектор углового зеркала. Несколько примеров [8] могут дать представление о самых причудливых изворотах четырёхходовок, «разорванных» в этих квадратах границами составных четвертей.

[8]

Кроме того, в квадратах группы «Д» четырёхходовки не только не чередуются симметрично, или хотя бы в простой последовательности, по признаку принадлежности их к областям зеркальной системы, – они, в этом смысле, вообще никак не чередуются, поскольку «захватывают» поля обеих областей – и центральной, и периферийной.

В следствие этих особенностей, в квадратах по-разному формируется числовой состав «сепараторов» и «колёс» – сумма всех 64 чисел квадрата (2080) распределяется между центральной и периферийной областями неравномерно. В 48 квадратах группы «Д» встречается три варианта такого распределения: с суммой чисел «сепараторов» и (или) «колёс», равной 944 и 1136; 976 и 1104; 1008 и 1072. Соответственно, различается и константа «сепараторов» и «колёс» с предполагаемыми (пока не будут обнаружены) магическими свойствами, в зависимости от общей суммы их чисел: 118 и 142; 122 и 138; 126 и 134...

Основная цель анализа квадратов с «разорванными» четырёхходовками, как и квадратов двух предыдущих групп («В» и «Г»), предполагалась в том, чтобы выяснить, не являются ли они, имея такие несоответствия внутренней структуры с закономерностями зеркальной симметрии, просто балластом, сопутствующим маршруту, и если они таковыми не являются, найти способ построения на их основе магической структуры – «сепаратора-I». Если бы сделать этого и не удалось, то главный результат исследований задачи о ходе коня, предпринятых в связи с решением Йениша, – подтверждение идеи о связи шахмат и магических квадратов – всё равно достигнут.

По этой причине, едва ли не больший интерес в этих квадратах («Д») вызывает сама по себе их внутренняя асимметрия, числовая дисгармония, поскольку замечено: чем больший беспорядок в числах, тем более интересной и неожиданной может оказаться операция преобразования (которую, разумеется, нужно ещё найти!..)

Но ещё более привлекательное обстоятельство связано с многовариантностью распределения в квадратах группы «Д» их числового состава между «сепаратором» и «колёсами», что является необходимым условием построения разных видов асимметричного числового калейдоскопа, если, конечно, это возможно в принципе.

Читающие эти строки, наверное уже догадываются, что это возможно. Это так, и рис. [9] иллюстрирует такую возможность: здесь изображены шесть полумагических числовых калейдоскопов с разными константами «сепараторов» и «колёс». Как и в калейдоскопах [7] первое значение константы в подписях к квадратам на рис. [9] относится к «сепаратору», второе к «колёсам». Также, указан тип операции «восьмёрка», применимой к квадратам.
Cпособ построения этих калейдоскопов я оставляю «за кадром» с единственным умыслом: чтобы тем, кто хотел бы найти что-нибудь самостоятельно, предоставить такую возможность – пусть найдут оригинальное решение «в три хода».

[9]*

118+142 – вертикальная  122+138 – вертикальная  126+134 – вертикальная
   
142+118 – горизонтальная  138+122 – горизонтальная  134+126 – горизонтальная

Хотя квадраты с «разорванными» четырёхходовками и составили единую группу «Д», это вовсе не свидетельствует об их однообразии; наоборот, по причине относительно большого их количества, и различных вариантов распределения числового состава между «сепаратором» и «колёсами», они очень даже разнообразны. Тем не менее, всё многообразие способов обхода маршрута («в обход всех ориентиров симметрии») поддаётся систематизации. На рис. [10] представлены 12 схем, каждая из которых отображает свойства четырёх конкретных квадратов группы «Д». Основным критерием подразделения 48 квадратов группы «Д» на 12 категорий, здесь, как и при группировании первых 16 квадратов, является характер распределения чисел между центральной и периферийной областями зеркальной системы, определяющий, во-первых, числовой состав «сепараторов» и «колёс», и во-вторых, порядок (или закономерность) чередования участков центральной и периферийной областей при разбиении маршрута на четырёхходовки (в квадратах группы «Д» разбиение маршрута приходится выполнять на пары четырёхходовок).

Внешние различия, которые наблюдаются при сравнении квадратов по этим признакам, неразрывно связаны с их свойствами, от которых, в свою очередь, зависят способы их преобразований. Таким образом, обозначиваются контуры внутренней структуры всего массива 64 маршрутных квадратов. Эта структура образована 16 подразделениями, каждое из которых включает четвёрку квадратов с близкими характеристиками; 16 подразделений отображены следующими схемами: двумя для квадратов групп «А» и «Б» [6,7-b/гл.II], ещё двумя, для квадратов групп «В» и «Г» [3-a,b], и 12 схемами для квадратов группы «Д».

И ещё один способ различения квадратов группы «Д», который необходимо отметить, это подразделение их по признаку принадлежности стартовых клеток к центральной и периферийной областям зеркальной системы. Несмотря на то, что симметрия распределения четырёхходовок между этими областями в квадратах нарушена, положение стартовой клетки оказывает существенное влияние на их свойства. В квадратах-схемах [1,2/гл.III] цветными «точками» обозначены клетки центральной и периферийной областей зеркальной системы; квадраты группы «Д», с началом маршрута в этих клетках, условно будем считать, также, центральными или периферийными.

В группах квадратов «А» и «Б» подход к определению центральных и периферийных квадратов несколько иной. Если признаком такого подразделения квадратов считать положение их стартовых клеток, то квадраты группы «А» следовало бы целиком признать центральными, а «Б» – периферийными. Но квадраты в этих группах квадратной формы (4×4 квадрата) подчиняются симметрии зеркальной системы, с которой отждествляется сама группа, поэтому квадраты групп «А» и «Б» подразделяются на центральные и периферийные по характеру их размещения в каждой из групп – вдоль главных диагоналей «квадрата квадратов» расположены центральные, остальные периферийные.

Общим «правилом» для всех 12 схем [10] является значение цвета клеток. Числа, расположенные в клетках со светлым фоном в соответствующих маршрутных квадратах принадлежат «сепаратору», а те что в более тёмных – «колёсам». Под каждой схемой указана константа магических структур, построение которых предполагается из соответствующих маршрутных квадратов – константа пока условная, она «выведена» как среднее арифметическое из общей суммы чисел той или иной структуры; под схемами указано её значение только для одной из составляющих квадрата – «колёс» (К) или «сепаратора» (С); сумма не указанной постоянной для другой структуры в этом же квадрате легко определяется по разности: 260-const.

[10]

Ц Е Н Т Р А Л Ь Н Ы Е П Е Р И Ф Е Р И Й Н Ы Е
I  IIIII IV
К-118 К-142 С-118 С-142
   
К-122 К-138 C-122 C-138
   
К-126 К-134 C-126 C-134

Первый сюрприз, который преподнесли квадраты группы «Д», это необыкновенная простота и однотипность способов получения из них «колёс» или «сепараторов» с «нетрадиционными» магическими свойствами. На рис. [11-a] изображён центральный квадрат группы «Д». Применив к его периферийным числам операцию обращения на 180° чисел одной из «паутинок» асимметричной пары «колёс», то есть, операцию, известную по преобразованиям квадратов предыдущих групп, получаем две магические структуры [b] и [с] с константой 118.
Однако, у этого благоприятного обстоятельства есть и другая сторона, не столь приятная: в центральных квадратах группы «Д» не удаётся преобразование «сепаратора».

[11]

a b c

К счастью, в периферийных квадратах ситуация обратная: «колёса» их никак не желают превращаться в магические, зато «сепаратор» с такими свойствами получается просто. На рис. [12-a] представлен периферийный квадрат группы «Д»; в «сепараторе» которого одинаковым цветом подчёркнуты числа структуры «кристалл» [b], подлежащие взаимному перемещению внутри четвёрок (операция, также, не новая). В результате этих действий «сепаратор» обретает магические свойства, т. е., константу 142 в строках и столбцах  [c].

[12]

Ú
a b c

Итак, два действия с числами квадратов группы «Д», и мы имеем «колёса» – [11-b] или [с] – на выбор, с константой 118, и «сепаратор» [12-c] с константой 142. Можно собирать асимметричный числовой калейдоскоп (118+142=260)?
Собирать, конечно, можно; да только собрать его из этих магических структур не получится...

Оказалось, что главный «сюрприз от квадратов» группы «Д» поджидал впереди, и вот он «преподнесён»! – в собранном квадрате [13-c] встречаются одинаковые числа, зато иные «не встречаются» вовсе.

Недостаток одних, и избыток других чисел в двух, вместе взятых структурах [13-a,b] объясняется различным, но не противоположным числовым составом «сепараторов» и «колёс» исходных квадратов, что наглядно отображают соответствующие им схемы I и IV [10]. Здесь хорошо видно, что, к примеру, единица не входит в «колёса» центрального квадрата – на схеме I она в клетке светлого фона; но не входит она и в «сепаратор» периферийного квадрата – схема IV. Подобно единице, невостребованными оказываются числа 16, 17, 32, 33 и т. д. В то же время, числа 8, 9, 24, 25 и др., входят как в «колёса» одного квадрата, так и в «сепаратор» другого. В квадратах с другими константами условно-магических структур картина распределения чисел иная, но принцип тот же.

[13]

+ Ú
a bc

Пытаясь обойти возникшее препятствие, можно выбрать другой путь: вместо бесплодных попыток построить из центрального квадрата «сепаратор» с константой 142, получить его переформированием «колёс» с такой же константой, которые легко строятся. В то же время, из периферийного квадрата построить «сепаратор» с константой 118 и превратить его в «колёса»... Но увы!, результат получается прежним: недостаток одних, и избыток других чисел в собранном квадрате-калейдоскопе. Решение, позволяющее исправить это положение, прямо скажем, не бросается в глаза – асимметричные числовые калейдоскопы [9] оказались крепким орешком...