Глава VI. Числовой шторм


Главным итогом исследования маршрутных квадратов (при всей привлекательности сопутствующих находок) были, и остаются, конечно же, высокосовершенные магические квадраты. Ранее достаточно подробно были раскрыты основные приёмы их построения из чисел квадрата Йениша. Дальнейшее усложнение и разнообразие симметрических операций позволяет получить большое количество новых, аналогичных, магических квадратов. Иллюстрацией к сказанному может служить «Собрание 1728 избранных магических квадратов восьмого порядка», краткий комментарий к которому и представляет собой заключительная часть этого повествования (рассказать в подробностях о способах построения квадратов, числом около двух тысяч, конечно же, не представляется возможным, и не только потому, что объём такого описания превзошёл бы всякие разумные границы, но ещё и по той простой причине, что единого алгоритма составления столь большого количества квадратов просто не существует – подобная работа приобретает характер исключительно творческого процесса, который, как известно, описанию не поддаётся).

Казалось бы, результат анализа задачи о ходе коня – около трёх десятков построенных магических квадратов (гл. IV) – вполне убедителен. Зачем же нужны ещё квадраты и, главное, зачем так много?
На этот вопрос, я бы ответил другим вопросом: зачем столько листьев на дереве?
А деревьев зачем так много в лесу?
Кстати! Если вдруг, математики, движимые своей профессиональной любознательностью захотят определить число всех существующих квадратов этих трёх типов, то может быть, задачу им упростит то, что на тот момент будет уже точно известно: таких квадратов не менее 1728 J).

* * *

В данном комментарии представлены некоторые образцы квадратов «Собрания 1728 избранных...», даны поверхностные их характеристики, описание особенностей группирования и размещения, а также, обозначены некоторые, связанные с ними, открытые (оставшиеся неразрешёнными) вопросы [?..]

Все квадраты сгруппированы по 12 «штук» (единиц, экземпляров...), и распределены обособленно, каждая группа на отдельной странице. Таким образом, 1728 квадратов размещены на 144 страницах, которые далее для удобства будут именоваться листами.

Весь массив квадратов имеет сложную структуру группирования, наименьшим подразделением которой является группа из 6 квадратов. Следовательно, на каждом из 144 листов расположены по две, далее уже «неделимые» группы.

Напомню некоторые прописные истины. По традиции квадрат признаётся магическим при условии, что сумма чисел в его строках, столбцах и диагоналях постоянна и равна для квадрата 8 порядка 260. Однако, кроме этих основных, магический квадрат может обладать и другими свойствами, делающими его ещё более гармоничной числовой структурой. Известны квадраты, у которых составляющие его четверти – меньшие квадраты (4×4) – также, являются магическими, с постоянной суммой чисел в строках столбцах и диагоналях, равной 130. В более редких случаях из таких квадратов (4×4) можно сложить магический куб 4×4×4.
Известны, также, так называемые, «дьявольские» квадраты, имеющие и более благозвучные наименования – пандиагональные, или совершенные. Это такие квадраты, у которых сумма чисел в «ломаных» (или «разломанных») диагоналях, также, является постоянной и равна 260.

Совершенные квадраты и такие, из которых можно сложить магический куб – это магические квадраты весьма высокого класса, но так же, как и «низкосортные» (со «стандартным набором свойств») уже могут считаться классическими. Тем удивительнее тот факт, что в отличие от совершенного квадрата, «квадрат-куб» почему-то не получил чёткого самостоятельного наименования (было бы, конечно, нелепицей называть квадрат кубическим, не правда ли?), поэтому характеризуя такой квадрат, говорят так: «магический квадрат и магический куб».

Выражения «совершенный магический квадрат и магический куб» мне не встречалось; так же как, и поскольку, нигде и никогда не встречалось упоминания о существовании квадратов, совмещающих свойства совершенных и, простите, «кубических».

Итак, если установить некую «рейтинговую» планку для магических квадратов на уровне «современной классики» в этой сфере – совершенных и... – я вышел из этого затруднения, обозначив их английским «Cubic» – таких, из которых можно сложить магический куб, то квадраты «Собрания 1728 избранных...» легко охарактеризовать одной короткой фразой: они все до единого соответствуют этому уровню. И даже превосходят его. Но – по порядку.

Все магические квадраты «Собрания 1728 избранных...» обладают, кроме «стандартных», также, и различными иными свойствами. Некоторые из этих свойств встречаются эпизодически, другие регулярно.

Все магические квадраты «Собрания 1728 избранных...» либо совершенные, либо «Cubic»
(в целях единообразия оформления листов, совершенные квадраты обозначены, также, по-английски – «Perfect», что собственно, и означает совершенный).

Подлинным украшением «Собрания 1728 избранных...» являются магические квадраты, обозначенные «Elite» – каждый из них, это совершенный магический квадрат и магический куб.*  Таких квадратов в «Собрании...» сравнительно очень мало – всего 48.

* В упоминавшейся уже книге «Математические эссе и развлечения» У. Болла, и Г. Коксетера приводится пример составленного Р. В. Хитом квадрата 8×8, из которого может быть сложен магический куб, причём, как утверждается, совершенный магический куб. Если признать это утверждение авторитетным, то и все кубы, которые могут быть сложены из аналогичных квадратов «Собрания 1728 избранных...», также, являются совершенными, поскольку их свойства ни в чём не уступают квадрату Р. В. Хита. Тогда квадраты «Собрания 1728 избранных...», обозначенные литерой «Elite», могут быть охарактеризованы ещё более презентабельно: каждый из них, это совершенный магический квадрат и совершенный магический куб.

В почётной характеристике «украшение» нельзя отказать ещё и другим квадратам, способным даже оспаривать первенство на такое «звание» у квадратов «Elite». Но это уже вопрос индивидуальных предпочтений. Речь идёт о совершенных магических квадратах-калейдоскопах, число которых в составе «Собрания 1728 избранных...» также, невелико, и составляет 96 (в два раза больше, чем квадратов «Elite»).

Каждый лист «Собрания 1728 избранных...» предваряет «шапка» в виде таблицы, единого для всех листов образца. Но поскольку квадраты всё же различаются свойствами, некоторые ячейки (графы) таблицы-шапки часто остаются незаполненными. Вот так она выглядит:

[1]

В верхней строке таблицы можно видеть обозначение «Раздел I». Это одно из трёх обозначений, соответственно трёх типов квадратов, на которые подразделяется весь массив «Собрания 1728 избранных...» Вместо «Раздел I», в этой ячейке может быть одно из двух других обозначений: «Раздел II» или «Раздел III».

«Этажом ниже» расположена литера «Perfect», которая означает, что все квадраты этого листа совершенные. На других листах в этой графе может значиться: «Cubic». Обозначения «Elite» в этой графе не встречается, поскольку такие квадраты представлены на листах шестёрочными группами (не по 12); в «шапке» листов они обозначены в графе для указания дополнительных свойств квадратов (правая ячейка в нижней половине таблицы-«шапки»).

В этой же графе отмечены листы с квадратами-калейдоскопами. Обозначением служит символ¯.

В «Собрании 1728 избранных...» есть и такие квадраты, которые не являясь калейдоскопами, определённым (найденным) способом могут быть преобразованы в таковые. Рассказ о них здесь не планируется, но листы, на которых встречаются такие квадраты, отмечены – тем же же символом, только другого цвета:¯.

Если какое-то интересное свойство, кроме вышеназванных, отсутствующее у большинства других квадратов, охватывает не менее 6 неразрозненных (составляющих минимальную группу) квадратов, их ряды отмечены звёздочкой (иногда другим значком), а в таблице «шапки», в графе для указания дополнительных свойств квадратов, имеется условное обозначение такого свойства. Пример на рис. [2]: в квадратах двух рядов, отмеченных звёздочкой, сумма вторых степеней чисел в строках постоянна и равна 11180, что символически и указано в графе шапки.

[2]

В левой части «шапки» расположены «окошки». Здесь размещается информация о свойствах, главным образом квадратов, обозначенных «Cubic». Но не только.

На рис. [3,4] из обозначений в «окошках» следует, что из четвертей квадратов данного листа складываются магические кубы, причём слои куба, роль которых выполняют четверти квадратов необходимо расположить один под другим в порядке нумерации, обозначенной в «окошке». «Окошко» – это не что иное, как схема пронумерованных составных четвертей квадрата (или слоёв куба). На рис. [4] таких схем две. То есть, из каждого квадрата, расположенного на листе с таким обозначением в «окошках», можно сложить куб двумя способами (или два куба).

[3]

[4]

 

Информация в «окошке» не обязательно имеет отношение к слоям куба. На рис. [5] обозначено иное свойство квадратов листа. Как видно из обозначения, это квадраты «Cubic» и в первом «окошке» указана схема расположения слоёв куба. Но квадраты обладают ещё одним интересным свойством: их четверти, это не просто магические квадраты 4×4, что характерно для всех квадратов «Собрания 1728 избранных...», но в данном случае, эти малые магические квадраты являются ещё и совершенными, что и обозначено в «окошке» – «pf» (сокр. от «perfect»).

[5]

[6]

 

В рассмотренных примерах [4,5] дополнительные свойства, обозначенные в «окошках», распространяются на все 12 квадратов, расположенные на данном листе. Рис. [6] иллюстрирует случай, когда аналогичным свойством обладают только шесть квадратов листа, ряды которых обозначены звёздочками, как на рис. [2]; при этом в графе «шапки» имеется поясняющее условное обозначение, в данном примере: *):&, которое здесь надо понимать так, что квадраты отмеченных рядов могут образовать магический куб не только по схеме первого «окошка», но плюс (&) ещё и вторым способом, по схеме (со звёздочкой) во втором «окошке».

На последних 16 листах «Собрания 1728 избранных...» второе «окошко» информирует об особой разновидности расположенных здесь квадратов, диагональных, обозначенных «Dgn».

[7]

* * *

Итак, «Собрание 1728 избранных...» представлено квадратами трёх типов, рассредоточенных, соответственно, по трём разделам, и незначительно различающихся по основным, взаимосвязанным признакам: способу построения, и характеру расположения чисел четвёрок.

Первый раздел объемлет первые 16 листов «Собрания 1728 избранных...» Для квадратов этого типа (первого) характерно единообразное расположение порядковых чисел четвёрок, как показано на рис. [8]:

[8]

a b

Пары порядковых чисел натурального ряда (1-2; 3-4... 63-64) в этих квадратах занимают клетки, отстоящие друг от друга «на ход коня» и, кроме того, будучи парами последовательных четвёрок, тесно примыкают друг к другу. На рис. [8-a,b] цветом выделена только первая четвёрка чисел, но точно так же расположены и все остальные. Ориентация чисел принципиального значения не имеет – в разных квадратах четвёрки могут связывать как две строки, так и пару столбцов.
В результате такой организации чисел в магическом квадрате этого типа можно выделить 8 блоков связанных друг с другом чисел (по две симметричных четвёрки; например, 1-2-3-4~61-62-63-64, и т. д).
В примере [9] эти блоки обозначены цветом:

[9]

Вообще-то, речь должна идти не о восьмеричных числовых блоках, а о четвертях квадрата – это отображено и на рис. [9], где одинаковым цветом выделено, в общей сложности, по 1/4 квадрата. Но в магическом квадрате этого типа двум числовым блокам одного цвета «запрещено» находиться в общей геометрической четверти квадрата.
Разумеется, дело не в цвете, которым клетки квадрата могут быть раскрашены совершенно произвольно. Но здесь цвет подчёркивает числовой состав блоков, и если уж говорить о «запрете», то речь должна идти о «несовместимости» каких-то чисел в пределах одной геометрической четверти квадрата (4×4). Каких же? Именно тех, что на рис. [9] входят в состав блоков одинакового цвета.
Если выстроить в ряд четвёрки натурального ряда чисел от 1 до 64 [10] и обозначить их тем же цветом, что и в квадрате [9], то станет очевидным принцип, по которому двум блокам присваивается общий цвет или, другими словами, закономерность разделения квадрата на четверти и блоки. Это зеркальная симметрия, и некоторые её закономерности не позволяют числам двух одинаковых по цвету блоков [9] находиться в общей четверти квадрата (читай: в одном секторе углового зеркала), в противном случае квадрат утратит часть магических свойств.

[10]

Все восьмеричные блоки в квадратах первого типа внутренне симметричны. В связи с этим, появляются предпосылки к «размножению» квадратов путём комбинационных перестановок трёх числовых четвертей исходного квадрата (представленных парами блоков) при неизменном положении одной из них (в принципе любой, но лучше той, что включает единицу). Следующий рис. [11] иллюстрирует сказанное. Жёлтым цветом в квадратах выделена фиксированная четверть (два блока), не меняющая своего положения. Три другие четверти комбинируются в разных сочетаниях, образуя шесть квадратов. Этими комбинационными сочетаниями числовых четвертей одинаковой клеточной конфигурации и обусловлен количественный состав минимальных групп «Собрания 1728 избранных...» ( (это тот самый вид комбинационных сочетаний, что характерен для внутренней структуры Триединой Системы Симметрии магических квадратов 4 порядка – см. «Посвящённые Юпитеру», гл.VII)

[11]

   

В свою очередь, два блока фиксированной четверти в разных квадратах могут иметь шесть различных положений:

[12]

   

Кроме того, внутри каждого из блоков можно получить не менее восьми приемлемых положений восьмёрки чисел. Ниже на рисунке представлен пример выполнения различных симметрических операций с числами одного из блоков:

[13]

Перечисленные закономерности позволяют наметить способы преобразований с целью увеличения количества квадратов первого типа, однако, для точного их подсчёта данных, вероятно, недостаточно [?..] В «Собрании 1728 избранных...» этих квадратов 192.

* * *

Квадраты второго раздела занимают с 17 по 64 лист, их количество – 576. Эти квадраты имеют несколько иное строение. На рис. [14] показано характерное для них расположение четвёрок. Между числами любой пары здесь, также, «ход коня». Все последовательные пары чисел, составляющие четвёрку, расположены в этих квадратах центрально симметрично, причём первые две (1-2, 3-4) – неизменно (в одних и тех же клетках) во всех 576 квадратах, если, конечно, не брать во внимание их ориентацию, которая в зависимости от положения квадрата, может быть как горизонтальной, так и вертикальной [a,b]:

[14]

a b

Но главная структурная особенность этих квадратов состоит в том, что пары одной четвёрки, в отличие от квадратов первого раздела [8], не связаны здесь «тесными узами», а наоборот, разнесены по разные стороны от центра симметрии квадрата. В результате, пары первой разделённой четвёрки (1-2 и 3-4), образуют новые «тесные связи» с парами других четвёрок. На рис. [14] это вторая четвёрка натурального ряда 5-6-7-8. В следующем примере [15] третья четвёрка – 9-10-11-12; и т. д.

[15]

a b

Ряд от 1 до 64 заключает в себе 32 (симметричные) пары чисел. В квадратах второго раздела первые две пары 1-2 и 3-4 занимают фиксированное положение. Связь пары 1-2 с двумя парами последней четвёрки ряда – 61-62 и 63-64 невозможна (квадрат не будет магическим). Остаётся 28 пар чисел, с которыми фиксированные 1-2 и 3-4 могут образовать связи. Эти 28 пар чисел играют важную роль в структуре группирования квадратов и их численности. Поэтому, квадратам присвоены имена, по наименованию четвёрки, образующей связи с парами чисел 1-2 и числами 3-4; но далее на второй из них (3-4) мы не будем акцентировать внимание, так как её связь с парами четвёрок осуществляется «автоматически», в полной зависимости от связей с ними первой пары 1-2.

На рис. [15] представлены два квадрата с одним, общим для них именем {9\10:11\12}. Имя квадратов составлено числами только «переменной» четвёрки, пары которой поочерёдно связываются с фиксированной парой 1-2. Полные имена, индивидуально, каждого из этих квадратов можно было бы представить в таком виде {1\2:9\10} и {1\2:11\12}. Но индивидуализировать их таким образом нет необходимости и, кроме того, первую пару (1-2) имени достаточно лишь подразумевать. Различать квадраты, в зависимости от связи фиксированной пары 1-2 с той или иной парой «переменной» четвёрки необходимо, но это различение удобнее делать не с помощью «расчленения» каждого числового имени, а наоборот, за счёт обобщающего определения. Так, в квадрате на рис. [15-a] фиксированная пара 1-2 связана с меньшей парой «переменной» четвёрки: 9-10. Поэтому, к числовому имени {9\10:11\12} этот квадрат получает приставку младший. Квадрат [b] с таким же числовым именем {9\10:11\12}, но со связью 1-2-11-12, соответственно, будет старшим. Числовые имена не являются уникальными, квадратов, как и людей с одним именем, может быть множество (не менее 12, но на самом деле больше), и среди них младшие и старшие.

Примечание: превращение младших в старших, и наоборот, квадратов II раздела, происходит в результате обращения на 180° их периферийных чисел («колёс»), так как пара чисел, образующих «тесную связь» с фиксированными 1-2 или 3-4, входит в состав «колёс», и при их обращении, также, перемещается.

Всё, что говорилось до сих пор о квадратах второго раздела (кроме последнего примечания), и многое из того, что о них будет сказано ещё, справедливо и для квадратов третьего раздела: у квадратов этих двух типов много общего, хотя, конечно, есть и различия, но о них будет сказано отдельно. А пока информация об общих для них свойствах.

Итак, на любом из 128 листов (17-144) «Собрания 1728 избранных...» расположены 6 младших квадратов (ряды 1 и 2) и 6 старших (ряды 3 и 4). Имя квадратов указывается в графе «шапки»; на рис. [16] обозначено имя {5\6:7\8} для 12 квадратов листа №17.

[16]

Принцип консолидации этих квадратов – второго и третьего типа – такой же, как и первого: все они образуют шестеричные группы за счёт комбинационных перестановок одних и тех же числовых четвертей при неизменном положении одной из них. Числовые четверти, участвующие в комбинационных сочетаниях не являются «правильно нарезанными участками» по 16 порядковых чисел натурального ряда. Комбинирующиеся группы чисел названы четвертями только потому, что количественно (16) составляют 1/4 часть чисел квадрата.

Вот пример шестёрки квадратов второго типа [17], в которых и числовой состав комбинирующихся четвертей и их клеточная конфигурация (две «вилки») отличны от примера с восьмеричными блоками [9]. Неизменным в квадратах остаётся положение пары «вилок» жёлтого цвета (сами числа внутри трёх пар других, комбинирующихся «вилок», сохранять первоначальное положение, естественно, не могут).

[17]

   

* * *

Было бы логичным расположить листы в «Собрании 1728 избранных...» в порядке возрастания четвёрок-имён квадратов.

Вначале так и есть: на листах 17-64 (второй раздел) первыми идут квадраты с именами {5\6:7\8}, {9\10:11\12}, но затем, вдруг, {17\18:19\20}; потом и вовсе {33\34:35\36}. Почему? Об этом далее.

Казалось бы, ничто не препятствует объединению квадратов этого типа в общий массив и размещению их на листах в порядке следования четвёрок-имён. Однако, всё складывается благополучно лишь до тех пор, пока не наступает очередь квадратов с именем {13\14:15\16}. Оказывается, квадраты с таким именем (и не только с таким!) не могут образовать шестеричные группы [?..]

Вот почему квадраты с этим именем пропущены, и после {9\10:11\12} в «Собрании 1728 избранных...» идут листы сразу с квадратами {17\18:19\20}. С ними проблем нет, но далее снова пропущены два имени квадратов, не желающих группироваться: {21\22:23\24}; {25\26:27\28}.

После благополучных в этом отношении имён {29\30:31\32} и {33\34:35\36}, история возобновляется. Остаётся назвать ещё только три имени квадратов, образующих шестеричные группы, и на этом ряд четвёрок исчерпан. Последние «благополучные» имена, это {45\46:47\48}; {53\54:55\56}; и {57\58:59\60}.

Полную картину распределение имён, отображающую способность к консолидации квадратов 1 и 2 типов (разделов), представляет табличка [18]; имена квадратов записаны в табличке в виде расположенных в столбик четвёрок чисел. Синим цветом здесь обозначены имена «неблагополучных» квадратов, то есть, «не желающих» объединяться в шестеричные группы.
Что касается квадратов, образующих такие группы, то как видно из рисунка, они подразделяются ещё на две фракции: с именами, подчёркнутыми в табличке, соответственно, оранжевым и красным цветом.

[18]

Далее, числа, выделенные в табличке [18] оранжевым цветом, я буду называть, левым диапазоном числовых имён; числа, выделенные красным цветом – правым диапазоном числовых имён, и те, что отмечены синим цветом – средним диапазоном числовых имён;

Причина размежевания квадратов, способных к консолидации, на две фракции (левый и правый диапазон числовых имён) заключается в особых свойствах совокупностей самих этих чисел (имён).
Первый, и очевидный признак этих свойств – необычная внешняя симметрия четвёрок-имён в натуральном ряду, подчёркнутая цветными клетками таблички на рис. [18].

Вычислим суммы этих чисел:

5+6+7+8+ 9+10+11+12+ 17+18+19+20+ 33+34+35+36=280
29+30+31+32+ 45+46+47+48+ 53+54+55+56+ 57+58+59+60=760

280 + 760 = 1040.  Это 1/2 суммы чисел (магического) квадрата 8×8!

Далее, на рис. [19] четвёрки левого диапазона числовых имён построчно записаны в форме квадрата 4×4. Внутренняя симметрия этой скромной числовой группы ошеломляет: 24 варианта разделения квадрата (4×4) с постоянной суммой в разделённых половинах (в квадратах выделены одним из двух цветов), равной 140! То есть, 24 способа определения половинной (внутренней) симметрии этой группы чисел! Для сравнения: такой симметрией обладал бы циферблат часов с ценой деления шкалы в полчаса!

[19]

Совокупность чисел правого диапазона числовых имён, обладает точно такой же внутренней симметрией, позволяющей 24 способами разделить аналогичный квадрат (и вовсе не факт, что это предел), с константой 380 в разделённых его половинах.

К этому можно добавить ещё такую подробность, как постоянная сумма чисел в ломаных диагоналях квадрата 4×4 [19], и аналогичного, из числовых имён правого диапазона – как в совершенных магических квадратах. Но ещё полнее симметрия этих групп чисел проявляется в их сочетании. Сравнивая два квадрата 4×4, составленные этими группами, легко заметить, что в каждом из них, то есть врозь, находятся числа, образующие симметричные пары. С таким неординарным набором чисел угловое зеркало способно творить чудеса. Разместив по два одинаковых квадрата, сложенные из четвёрок правого и левого диапазонов числовых имён в полярных секторах углового зеркала, получим квадрат 8×8 [20-a]. Квадрат, конечно, произвольный, составлен не из порядковых чисел, да и тех только 32, каждое из которых встречается в нём дважды. Но сложен квадрат, практически, сходу – без каких бы то ни было дополнительных преобразований, и тем удивительнее, что построенный, что называется, «наспех», он при этом обладает невероятными магическими свойствами. Сумма чисел в его строках и столбцах соответствует константе магического квадрата (260), но квадрат не магический – в диагоналях константа отсутствует (в одной из них сумма чисел равна 140, в другой 380). При этих общих скромных характеристиках, соответствие закономерностям зеркальной системы беспримерное: сумма центральных чисел («сепаратора») – 1040; периферийных («колёс») – 1040. Сумма чисел зеркальных составляющих «сепаратора» и «колёс», то есть, «мельницы», «кристалла» и обеих «паутинок» по 520. Сумма чисел в каждом ряду в структурах «сепаратора» и «колёс» равна 130 [20-b]. И так далее. В квадрате, с сохранением исходных свойств, могут быть выполнены: полный цикл вращения «колёс»; встречное вращение «паутинок»; операция «калейдоскоп сепаратора» [21/гл.III]; полный цикл операции «восьмёрка», причём в двух вариантах – как в горизонтальной, так и в вертикальной плоскости; и проч... (Проверено! – вранья нет J).

[20]

a b