Глава II. На круги своя


Перед вами прямая чзФ:

[11/гл.I]

 

Взгляните... нет, не мельком – рассмотрите её очень внимательно.

Что роднит этот ряд чисел… с Луной? Или с лунным календарём?

Цикличность!

Запись представлена  периодически  повторяющимися группами чисел.

В самом деле, две первые четвёрки этого ряда вполне могли бы обозначать некий двухтактный цикл – такой, например, как вдох-выдох. В следующей половине строки пара четвёрок повторяется – цикл возобновляется.

Эта характерная особенность записи, между прочим, позволяет рассматривать пару последовательных её четвёрок (или половину), как некий раппорт – повторяющийся мотив условно бесконечного рисунка, узора.

При мысленном сдвиге левой половины записи вправо, она совмещается с её правой половиной (и наоборот). В геометрии фигуры, которые при наложении полностью совпадают, называются конгруэнтными. Речь, естественно, идёт о плоских фигурах – таких, например, как треугольники, или объёмных.

Ряд чисел, это конечно, «фигура» не плоская и называть знаковые группы числовых строк конгруэнтными, наверное, ненаучно. Но уж больно привлекателен этот термин – конгруэнтность. Звучное, колоритное слово! Слышится в нём нечто респектабельное и экзотичное одновременно – нечто среднее между «конгрессмен» и «кенгуру» – как тут удержаться, чтобы не включить его в текст. Да и нетрадиционный подход к «ненаучным» числам требует одного из двух: либо мириться с вольным обращением со строгими научными терминами, либо вводить новые, которые также, будут ненаучными, поскольку науке они не известны. Первое, очевидно, предпочтительнее, ибо ненаучное употребление терминов всегда можно представить в виде безобидной аналогии, которая, если она удачная, только способствует усвоению нового, тогда как нововведения в терминологии способны лишь затемнить предмет. Так, если я буду говорить о конгруэнтности цифровых строк, пусть это будет глупостью, но глупостью понятной. Если же я стану рассказывать, к примеру, о Фуласнитамнианском принципе, или о том, что такое Крхррхихирки (Г. Гурджиев), то боюсь, не буду не только понят, но и выслушан.

Каковы отношения у конгруэнтности с симметрией?

Я бы сказал, довольно своеобразные. По-русски, конгруэнтные, значит, соответствующие, совпадающие. Но не обязательно симметрично расположенные.

Строгая формулировка звучит так: «конгруэнтные – …геометрические фигуры, переходящие друг в друга при движении».

Я понимаю это так. Вот, по пересечённой местности скачет лошадь (и всадник на ней, к примеру, Жилин) то и дело переходящая (или перескакивающая?) «сама в себя». И если бы я отснял фотокамерой несколько кадров, все лошади на них оказались бы конгруэнтными.

Не знаю, понял ли меня читатель...

Но главное, чтобы он уяснил смысл понятия конгруэнтности. Для закрепления данного понятия я сочинил пародию на этот термин, правда, несколько непедагогичную, но я полагаю, все читающие эту книгу – люди взрослые.

Называется пародия «Дело о разводе»:

Расторгнуть свой брак решила семья
Интеллигентных натур
– Причина развода? – спросил судья
– Неконгруэнтность фигур…

Чтобы определить, конгруэнтны ли две фигуры, их необходимо совместить друг с другом, с помощью операций сдвига на плоскости или поворота в пространстве. Иногда этого недостаточно и требуется ещё зеркальное отражение – в таких случаях говорят о зеркально-конгруэнтных фигурах. Выполнение этих операций и приводит в движение одну из рассматриваемых фигур, и если в результате такого «движения» она переходит в другую (иначе говоря, совмещается с другой), то обе фигуры считаются конгруэнтными. Практически, все эти операции являются и операциями симметрии.

Две фигуры, расположенные рядом не обязательно симметричны (как в случае двух половин прямой чзФ). Зато иная «фигура», причём возможно асимметричная, даже одна, но «со сдвигом», становится симметричной! Сама себе, – вот так!

А всё дело в том, что «сдвиг» здесь не то, что вы подумали, а вполне благозвучно именованная, так называемая, симметрическая операция трансляции!

Первое, что представляется при произнесении слова «трансляция», это «трансляция из Большого Дворца Съездов», или «со стадиона в Лужниках».

Перенос, значит, радиосигналов (радиоволн) через эфир – к нашему домашнему радиоприёмнику.

В симметрии трансляция, также, означает перенос, или параллельный перенос.

На самом деле ничего и никуда при этом не переносится, так как операция эта мысленная и, кроме того, применяется она к объектам бесконечной протяжённости, то есть, с одной стороны, как бы теоретическим, но с другой – к реальным, а значит, конечным, объектам внешнего мира.

Бесконечность здесь подразумевается, конечно же, относительная. Чаще всего приводится пример с морскими волнами. Море, действительно, можно рассматривать бесконечным относительно даже очень большой волны. И его, то есть море, или ту его часть, что может охватить взгляд, можно мысленно «сдвинуть» вперёд или назад, поперёк волны, а то и «перенести» параллельно ему же самому, на произвольное число гребней волн. При этом море останется морем, то есть симметричным самому себе по признаку симметрии трансляции.

Другие, относительно бесконечные объекты могут быть и скромнее в своей истинной протяжённости. Например, железная дорога, или эскалатор Метрополитена. Если представить, что ваш друг закрыл бы глаза, а вы тем временем сдвинули железнодорожное полотно (то есть перенесли его параллельно ему самому) на несколько шпал вперёд или назад, то снова взглянув на железную дорогу, ваш друг не заметил бы в ней никаких изменений. Следовательно, железная дорога симметрична сама себе по признаку симметрии трансляции.

Из этих примеров ясно, что рассматриваемая симметрическая операция, действительно, может быть только мысленной. Однако, где пролегает граница между конечными объектами и псевдобесконечными, остаётся неясным.

Если представить, что железнодорожный путь был бы, на самом деле, передвинут (перенесён), то где-то, за тысячи километров от вас, поезд на «несколько шпал» не достиг бы вокзала. (Подобно тому, как на лошадь места не доскакал Жилин – помните? – выстрелили по нём…)

Практически, это означало бы, что железнодорожный путь не совместился сам с собой. И, следовательно, симметрии трансляции нет!

И всё же она есть, поскольку данная симметрическая операция – воображаемая!

Но чем, скажите, в таком случае, наши числа хуже шпал? Если мы, понимая всю условность «бесконечной» протяжённости, будем пользоваться термином трансляция, применительно к зримо ограниченным объектам, то в этом, поверьте, будет не более произвола, чем в «бесконечности» эскалатора метро, который бы целую вечность «транслировал» вас домой после рабочего дня.

Впрочем, эскалатор, действительно, в каком-то смысле бесконечен, и наше счастье заключается в том, что мы не привязаны навсегда к его цикличности: один шаг – и мы отрываемся от убийственного круговращения…

Сойдём же с него, чтобы продолжить исследования чисел Фразы.

Две четвёрки различного типа (числового состава) прямой чзФ, следующих в строке друг за другом, неизменно вызывают ассоциацию с законченным циклом, будь то колебание маятника, возвратно-поступательное движение кривошипа, смена дня и ночи, или пульсирующее сокращение сердца.

Однако, если говорить о периодичности числовой последовательности, никак нельзя игнорировать тот факт, что независимо от состава чисел, все четвёрки внутренне симметричны, что само собой, легко соотносится с понятиями замкнутости, завершённости.

То есть, законченный период, или цикл укладывается в одной четверти числового ряда. При этом две пары чисел четвёрки (два неделимых элемента записи), естественно представляют два полупериода, или два такта цикла.

Тем не менее, половина прямой чзФ, также, может символизировать некоторый период, складывающийся из меньших (соответствующих четвертям).

Невольно возникает желание распространить это свойство и на всю запись в целом, ибо в циклическом её характере угадывается некая «матрёшечная» структура, подобная той, что имеет отношение и к многовариантной группировке чисел.

И действительно, есть ли смысл говорить о какой бы то ни было периодичности, которая включала бы всего два «двухтактных цикла» (две половины прямой чзФ), или даже четыре полных цикла? Например, час состоит из четырёх четвертей по 15 минут. Но остановится ли время по прошествии часа?

Кстати, часы являются, я бы сказал, классической «циклической матрёшкой». Так, полный оборот (период) часовой стрелки включает 12 периодов минутной, а та в свою очередь, в течение только одного своего цикла поглощает 60 оборотов секундной.

Представление о периодичности, наверное, имеют все. Школьный курс физики немыслим без изучения целого спектра явлений, как простейших, так и достаточно сложных, связанных с этим понятием. Ну а в школе учились мы все, кто чему-нибудь, кто как-нибудь.

В математике (опять же, в пределах школьного курса обучения) это понятие распространено не так широко и даже весьма ограниченно. Здесь, в частности, оно связано с так называемой, периодической (или непериодической) дробью. Наверное, все хорошо помнят, в чём состоит особое отличие трансцендентного числа π («пи»): дробная часть этого числа представлена непериодической дробью. Иначе говоря, в уходящей в бесконечность цепочке знаков этого числа после запятой, не встречается регулярного повтора какой бы то ни было группы последовательно расположенных цифр: 3,1415...

Яркий образец периодической дроби представляет собой частное от деления единицы на 7. Результат этого действия – десятичная дробь, в которой (после запятой) систематически повторяется группа из шести знаков: 0,142857… и так до бесконечности. В данном случае бессмысленно продолжать деление и продлевать запись результата более, чем до шести знаков после запятой, составляющих период дроби, ибо они будут вновь и вновь повторяться, как некий, возобновляющийся бесконечное число раз, цикл.

Иногда, желая подчеркнуть периодичность дроби, соответствующую группу цифр заключают в скобки.

Скобки… скобки… Не заключить ли четвёрки чисел чзФ в скобки?..

Дойдя до этого места в своих изысканиях, я тщательно перебирал в памяти всё, что она ещё сохранила из школьного курса моего обучения чему-нибудь и как-нибудь. Перед мысленным взором проплывали качающиеся маятники, волнообразные синусоиды, вспомнилась даже невидимая радиоактивность, с её периодом таинственного полураспада... и, конечно же, дроби, дроби…

Ничто не могло увязать все эти картины воедино, по общему, зримому признаку, который бы мог быть идентифицирован и в чзФ. Я отчётливо видел её сложный периодический характер, но не мог ни строго обосновать его, поскольку чзФ, это не дробь, ни как-то дополнительно подчеркнуть, выделить в записи иначе, нежели как пресловутыми скобками. Я не мог ничего извлечь из этого свойства чзФ, хотя понимал, что оно должно иметь чрезвычайно важное значение, ибо ничего второстепенного, случайного или «сопутствующего» в характеристике СЧФ нет. Поскольку даже такая едва приметная её особенность, как золотые пропорции знаковых групп 13-знакового ряда, оказалась ни больше ни меньше, как отправным пунктом поисков, то в исключительной важности, буквально «кричащей» о себе цикличности чзФ, я не сомневался ни одного мгновения.

В энциклопедическом словаре я нашёл более десятка статей, толкующих понятие периодичности и его производных, в связи с употреблением их в различных областях знаний. Но всё было тщетно. Взгляд мой перемещался со страниц словаря к потолку, а оттуда на оклеенные обоями стены. Я внимательно изучал рисунок обоев – так, будто наклеил их не десять лет назад, а вчера: ромбики, завитки.., я отмечал раппорт узора и «транслировал» его вдоль стены… Мысль переходила от назойливых скобок к не менее надоедливым маятникам, потом к завиткам на обоях и, вращаясь по кругу, снова останавливалась на строке чисел.

В какой-то момент я, не без глупого самодовольства, отметил периодичность своей мысли и для вящей убедительности, ещё раз проследил её «маршрут». И, странное дело, он пролегал по «траектории» взгляда! И мысль и взгляд «вращались по кругу»…

Внезапно, опережая догадку, в мозгу с быстротой молнии несколько раз вспыхнул один и тот же образ, почти визуально наложившись светящимся силуэтом на ромбики и завитки, которые я в сотый раз тщательно разглядывал. Это был почти зрительный образ, но и не так… это был образ слова… не знаю, читатель, случалось ли вам испытывать нечто подобное. Иногда мучительно вспоминаешь «нужное» слово, и оно, как бы «вертится в голове», то приближаясь к некоторому пределу, когда кажется, память вот-вот «ухватит» его, то снова удаляясь в глубину сознания так, что вы уже готовы отложить безуспешные попытки вспомнить его, но вдруг, оно словно дразня вас, опять приближается… Однако, я рассказываю о том, что известно каждому, и рассказываю для сопоставления с другим, очень сходным, но во многом и необычном явлении. Может быть, оно известно психологам? Или психиатрам?

Происходит же такое явление не «по заказу мысли», ищущей выразить себя, что порой и заставляет нас сознательно активизировать память, но происходит спонтанно! При этом в мозгу мгновенно, как вспышка, возникает «непрошенный образ», который нельзя ни с чем известным сопоставить, кроме как с некоторым, я бы сказал, «смыслом в чистом виде». Если есть какая-то правда в понятии «архетип», то этот «чистый смысл», несомненно, он и есть – архетип некоторого слова, или идея. Его явление в мозг, создаёт там какую-то «разность потенциалов», напряжённость, заставляющую мозг немедленно «вспоминать нужное слово». Причём происходит всё это в автоматическом режиме – без сознательного вмешательства воли. И когда слово найдено, напряжённость тут же спадает. Во всех, без исключения, случаях эти таинственные архетипы обладают мощной интенсивностью, не допускающей синонимичной замены, но и гарантирующей (сбоев не отмечено!) подбор слова, «гасящего напряжение», в течение каких-то долей секунды.

Архетип ни на что не похож. Он как «обратная сторона» слова – сторона невидимая, требующая, чтобы быть узнанной, приложения к ней другой, «лицевой стороны» слова, то есть, слова как мы его знаем. Это не образ предмета, ибо очень часто «гостями» оказываются архетипы слов, выражающих абстрактные понятия.

Архетип это, конечно, и не звук и, тем более, не буквы. Я не нахожу иного способа передать его суть, кроме как путём сравнения с идеей, идеальным образом слова, облекающегося затем в какое-то понятие, представление и оформляющееся, так сказать, вербально. Но вот, что интересно. Бывают архетипы невыразимые. В таких случаях мозг напрасно и не «суетится», каким-то чутьём понимая, что слова для выражения данной идеи не существует. Зато сердце разрывается от боли, принимая на себя всю «разность потенциалов» убойной силы, ибо эти архетипы не только невыразимы лексически, но они и невыразимо прекрасны, и при этом нет никакой возможности удержать их, вспомнить, понять, осознать, прочувствовать. Они огненными стрелами прошивают ваше существо, исчезая так же внезапно, как возникают, и оставляя в сердце «кровоточащие раны»… Какой же мерзостью, какой страшной могильной ямой предстаёт в такие мгновения окружающий мир! Кто хоть однажды видел это…

  1. Ужасно это место…

    (Г. Линкольн, «Священная загадка»)

Я отнюдь, не сгущаю краски, как не преувеличивал и говоривший истинное:

  1. Тот, кто познал мир, нашёл труп…

    (Еванг. Фомы, 61)

Впрочем, я, кажется, в очередной раз уподобляюсь бравому солдату Швейку, начиная рассказ киевским дядькой, а кончая бузиной в огороде.

Да… так вот, когда в моём мозгу, занятом размышлениями о периодичности чзФ, вспыхнул архетип слова, я в тот же миг понял, что решение найдено (или дано?!), хотя не прошло, наверное, и секунды, пока мозг переводил идею в знакомое понятие. Вместе с тем, я ещё раз уверился в том, что никто не преодолеет барьера на подступах даже к самой незначительной эзотерической загадке без санкционированного свыше допуска, без помощи, приходящей из мира идеальных образов.

Читатели, конечно, уже поняли, об образе какого слова идёт речь в данном случае. Поэтому, мне остаётся только представить формальные основания, послужившие поводом к буквальному отображению в числовой записи Фразы присущего ей характера периодичности:

  1. ПЕРИОД (от греч. periodos – обход, круговращение…)
  2. ЦИКЛ (от греч. kyklos – круг) – совокупность явлений… составляющих кругооборот в течение известного промежутка времени.

    (СЭС стр. 989; 1478)

    Эти семь свойств, основание седмеричных чисел… суть:
  1. Притяжение
  2. Реакция…
  3. Кругообращение…

    (Я. Бёме & Ч. У. Гекерторн)

Итак, записываем прямую чзФ [11/гл.I], располагая четвёрки чисел по кругам, по часовой стрелке, что соответствует естественному направлению чтения строчной записи слева направо, и принимая за отправную точку каждого круга первое число соответствующей четвёрки:

[1]

 

Аналогично, располагая числа четвёрок по кругам, по часовой стрелке, запишем и зеркальные чзФ [20,21/гл.I]:

[2]

 

[3]

 

Схема расположения чисел в полученных структурных числовых записях Фразы (далее: счзФ) весьма проста, поскольку отображает столь же простой способ построения данной числовой конструкции. Тем не менее, следуя принципу максимальной наглядности при изложении материала, я помещаю её здесь, дабы не держать в голове, а иметь перед глазами:

[4]

 

Мы построили три структурные числовые конструкции.

По аналогии, с послужившими для них исходным «сырьём», строчными записями, присвоим полученным счзФ наименования: одной, соответственно, прямая [1], и двум другим – зеркальные счзФ, левая [2] и правая [3].

Определение «прямая» употребляется здесь, конечно, не в значении геометрической прямой (линии). Стоя перед зеркалом, мы смотрим прямо, а отражение обращено лицом к нам. «Прямая» счзФ, означает, не подвергнутая зеркальному обращению. Обе её половины расположены (ориентированы, записаны) в одном направлении.

Прямая запись является исходной для образованных от неё зеркальных. Зеркальными, напомню, мы называем те записи, в которых одна из половин остаётся в исходном положении, а другая зеркально отражается, или обращается, что одно и то же (сравните: «Вражеская атака отражена, противник обращён в бегство»). То есть, две равные части (половины) такой записи зеркально противопоставлены друг другу – образно говоря, одна из них «смотрит» прямо, а другая «обратно».

Кроме того, зеркальные счзФ, как и строчные симметричные записи, являются ещё и взаимными отражениями друг друга.

Все три счзФ записаны одним способом, отображённым схемой, которую также, можно назвать прямой: все четвёрки чисел записанные по этой схеме, расположены хотя и по кругам, но с чередованием от первого круга к последнему в одном направлении – слева направо.

Прямая схема структурных записей является, таким образом, схемой расположения чисел.

Если числа записаны некоторым способом, то очевидно, тем же способом, по той же схеме, они могут быть и прочитаны, – не так ли?

Бесспорно это так, однако способы (схемы) прочтения записей не ограничиваются только схемами расположения чисел. Об этом теперь и пойдёт речь.

Внутренняя структура совокупности чисел Фразы обладает предрасположенностью чисел к сложной, многогранно симметричной их организации. Эти потенциальные возможности СЧФ мы называем скрытой, непроявленной её симметрией.

Выявление признаков этих свойств СЧФ («шлифовка её симметрических граней») или, другими словами, реализация предрасположенности чисел к многоплановым гармоничным сочетаниям, и является сутью преобразований их совокупности.

Практически, это означает подразделение ряда чисел Фразы на группы по признаку их внутренней симметрии, и взаимное расположение этих групп, в соответствии с закономерностями зеркального отражения, внешне симметрично.

Так, согласованием внутренней и внешней симметрии, на всех ступенях числовых подразделений достигается полная гармония записи, и в этом отношении каждая из зеркальных числовых структур [2,3] представляет собой высокоорганизованную систему, которую от конечной цели преобразований отделяет единственный шаг.

Однако, данная числовая система – [2] или [3] – не только гармоничная, но и достаточно сложная, чтобы охватить поверхностным взглядом все особенности её строения. Конечно, глазу доступна восхитительная магическая красота зеркальных счзФ, и тот кто способен воспринимать подобную красоту… впрочем, что это я?., пусть говорят числа…

Так вот, подобно тому, как красивую шахматную комбинацию невозможно увидеть в статичном положении фигур, а необходимо её разыграть, взвешивая и оценивая каждый ход – так, без всестороннего анализа нельзя по достоинству оценить и зеркальные счзФ. Между тем, такой анализ предполагает, по меньшей мере, умение читать числовые записи.

Это заявление может показаться неожиданным для читателей умеющих читать, что называется, с пелёнок. Но я уточню: умение читать с соблюдением правил зеркальной симметрии. И если вы приставите зеркало к страницам книги, то можете убедиться в том, что это не так уж просто...

Прежде всего необходимо обратить внимание на относительность, неоднозначность определения симметричности числовых записей. Речь может идти о симметрии половин, четвертей, симметрии числовых пар, смешанной и, наконец, полной симметрии. В этом диапазоне числовых подразделений, и так же избирательно мы и будем прилагать правила зеркального отражения к числовым записям и способам их прочтения.

Рассмотрим первое требование симметрии, касающееся половинной группировки, на примере строчной прямой записи [11/гл.I].

Считывание половин этой строки может быть двух видов: прямым, то есть, в одном направлении слева направо – этот вид не должен вызывать вопросов, так все мы привыкли читать – и симметричным, при котором половины записи читаются либо во встречных направлениях (Ú Ù), либо в расходящихся (Ù Ú). Практически, мы будем встречаться только с одним из этих видов симметричных направлений – встречных, так как другой вид менее удобен для чтения, а нам достаточно использовать только один из них, поскольку другой реализуется автоматически, за счёт идентичности половинных частей чзФ.

Итак, если левую половину прямой чзФ прочесть слева направо, то симметричным считыванием правой её половины будет направление справа налево.

И наоборот.

Чтобы избежать неудобств такого разнонаправленного чтения, кажется более разумным расположить сами половины чзФ взаимно симметрично и читать их в одном, естественном для нас направлении, слева направо. Тогда и правила симметрии будут соблюдены, и привычному способу чтения не придётся изменять.

Именно так мы и поступили ранее, записав два варианта числовых рядов с зеркально расположенными их половинами [20,21/гл.I]. Прочтение этих записей от начала до конца привычным способом слева направо, или  прямо, происходит с соблюдением правил отражения в рамках половинной симметрии, так как во встречных направлениях (симметрично) ориентированы сами половины зеркальных чзФ.

То же самое справедливо и для образованных от них, структурных записей. Общее направление прочтения каждой из них, в известном смысле является прямым. Схема такого прочтения счзФ аналогична схеме расположения их чисел [4] и заключается в последовательном чередовании четвёрок чисел зеркальных счзФ [2,3] также, слева направо, от первого круга к последнему, но при этом оказывается симметричной для их половин по той причине, что в структурах симметрично расположены сами половины (пары кругов).

Так, если обозначить последовательно чередующиеся четвертные группы прямой счзФ [1] с различным числовым составом – 3562 и 6712 – буквами  a и b, соответственно, то симметричное чередование кругов зеркальных счзФ при прочтении в прямом направлении, становится очевидным:  a-b-b-a,  и  b-a-a-b

[5]

[2]
[3]
 

Что касается считывания чисел непосредственно с кругов, то оно имеет свои особенности. Для лучшего усвоения специфики симметричного кругового прочтения четвёрок зеркальных счзФ, нам полезно воспользоваться наглядным пособием – часами, или только циферблатом, который можно и нарисовать.

Отметьте на рисунке циферблата круговой стрелкой, одного направления с ходом часовой, своё рабочее время с 9 часов утра и до 6 часов вечера. А теперь поднесите к рисунку зеркало и взгляните на то, что получилось [6].

[6]

 S 
a b
 

Вы обнаружите, что круговая стрелка на отражённом циферблате указывает обратное направление вращения часовой стрелки [6-b]. Но не пугайтесь, это не время обратилось вспять, к началу рабочего дня! Посмотрите внимательно: в зеркале на диаметрально противоположную (в отношении к первоначальной) сторону переместилась и отправная точка кругового указателя, и исходная позиция часовой стрелки, «перевернулся» и сам циферблат (поэтому час отсчёта времени остался прежним – 9 часов утра!) В результате этих «перемещений» изменилось направление вращения и стрелок часов: в зеркальном отражении часовая стрелка движется… против часовой стрелки!

Эта особенность зеркального отражения зафиксирована в теории симметрии, как одно из её правил. В популярном переложении правило это формулируется следующим образом:

  1. Осевая симметрия.
    Пусть плоскость разделена прямой S на две полуплоскости. Если теперь повернуть одну полуплоскость вокруг прямой S на 180°, то все точки этой полуплоскости совместятся с точками другой полуплоскости.
    Прямая S называется осью симметрии.
    Ввиду того, что точки на перевёрнутой полуплоскости находятся в зеркальном положении по отношению к их первоначальному положению, это переворачивание называют также зеркальным отражением.
    Если нанести на одну полуплоскость линии, указывающие какие-то направления вращения, то после зеркального отражения это направление изменится на противоположное

    (В. Гильде, «Зеркальный мир»)

На нашем рисунке [6] два циферблата (a,b) это и есть две полуплоскости с «нанесёнными линиями» – круговыми стрелочными указателями направлений вращения, и разделённые осью симметрии S.

Перепишем с циферблата [6] последовательность часов (только тех, что обозначены на циферблате) от начала рабочего дня до конца: 9-12-3-6.

Тогда обратной последовательностью будет 6-3-12-9, не так ли?

Что же видим мы на рисунке, глядя на отражённый циферблат?

Зеркало, также, «показывает» прямой порядок часов: 9-12-3-6.

В полном согласии с теорией осевой симметрии, направление вращения в зеркальном отражении, действительно, изменилось на противоположное. Однако очерёдность следования часов, обозначенная круговым указателем, осталась прежней.

Почему?

Круговой стрелочный указатель, это условное обозначение направления нашего взгляда. И это направление, также, может быть прямым или обратным. На обращённом циферблате [6-b] обозначено направление нашего взгляда, также обращённое. Это равнозначно перемещению в новую систему отсчёта (в зазеркалье) изображения вместе с наблюдателем, потому-то для наблюдателя всё выглядит неизменным.

Попытаемся размежевать изображение и наблюдателя, и взглянуть на обращённое изображение циферблата (в «зазеркалье») прямо, то есть, «отсюда», из обычной для нас системы отсчёта (не меняя при этом позиции, или взгляда наблюдателя).

[7]

 S 
a b
 

На рисунке [7] представлены изображения циферблатов – исходного и обращённого; и обозначенный круговым указателем взгляд наблюдателя – в обоих случаях «прямой».
При этом, на обращённом циферблате [7-b] читаем: 3-12-9-6.

Опять не то! Ведь ясно, что обратный порядок часов (от конца рабочего дня к началу) не таков! – это должна быть последовательность 6-3-12-9. Вот вам и «круговое чтение»!

Предлагаю читателям самостоятельно разгадать секрет этого фокуса. Подсказка заключается в следующем рисунке:

[8]

a b
 

Здесь можно видеть, что обратный порядок часов – «ход времени вспять» – обращённая круговая стрелка на прямом изображении циферблата [8-a] укажет верно, если её дополнительно развернуть на 90° против её собственного направления [8-b].

Но поскольку всё относительно, то абсолютно к такому же эффекту приводит и обратное действие. То есть, поворот на 90° циферблата при неизменном положении обращённой круговой стрелки.

Следующий рисунок иллюстрирует сказанное.

[9]

 

Здесь изображён исходный циферблат с исходным же круговым указателем прямой последовательности часов. На правой части рисунка изображён тот же циферблат, развёрнутый на 90° влево, и зеркально (без дополнительного разворота) отражённая круговая стрелка, указывающая правильную очерёдность обратного отсчёта часов.

Для наглядности, на одной и другой половине рисунка [9], показана взаимная ориентация одной из пар цифр, ограничивающих четверть окружности циферблата. Невооружённым глазом видно, что угол между прямыми, на которых лежат цифры этих двух пар, равен 90°.

В целом же следует говорить, конечно, не об отдельных парах цифр, а о взаимном положении циферблатов – в каком отношении они находятся?

Трудно представить, что взглянув прямо в зеркало, вдруг, увидишь себя в профиль.
Но в том заключается один из парадоксов зеркального отражения, что многие его нераскрытые тайны «прячутся за углом», равным 90°!

Прямой угол – один из фундаментальных атрибутов внешней, пока непроявленной, симметрии чисел Фразы. Но как и некоторые другие, это качество, или свойство СЧФ в «предварительном виде», как некая схема, или шифр, может быть отмечено уже теперь. После скрупулёзно выполненной «лабораторной работы» с циферблатами, нижеследующий рисунок, очевидно, потребует минимум пояснений.

[10]

 

Здесь сопоставляется взаимное положение кругов одной из зеркальных счзФ. Как видно из рисунка, сравнению подвергается ориентация четвёрок чисел, принадлежащих половинам записи, находящихся «по обе стороны зеркала», и расположенных, на первый взгляд, несимметрично. Последнее обстоятельство имеет принципиальное значение, объяснение которому впереди. А пока отметим идентичность взаимной ориентации циферблатов на рисунке [9] и числовых кругов записи [10]: говоря упрощённо, между ними (кругами, или парами чисел записи) всё тот же прямой угол.

Рисунки [9,10] дают наглядное представление не только об аналогичном расположении циферблатов и кругов счзФ, но и о способе считывания часов с первых, и чисел со вторых, и помогают, таким образом, построить схему правильного прочтения зеркальных счзФ.

Ниже воспроизводится левая зеркальная счзФ [2] и схема считывания её чисел [11], учитывающая половинную симметрию данной числовой структуры.

[2]

 

[11]

 

Считываемые числа счзФ для упрощения дальнейших действий, уложим сначала в строку [12], сохраняя четвертную группировку, а затем перейдём снова к структурному виду записи, располагая четвёрки чисел строки [12] по кругам, по часовой стрелке, иначе говоря, по прямой схеме [4].

[12]

 

[13]

 

В результате, получена новая структурная числовая конструкция [13].

Аналогичные действия выполним с числами правой зеркальной счзФ [3]. Поскольку правая половина этой записи сохранила первоначальное состояние прямой счзФ [1], а левая зеркально обращена, то и схема считывания кругов, соответственно, отвечает этому обстоятельству – первые две четвёрки правой зеркальной счзФ (как находящиеся «в зазеркалье»), считываются против часовой стрелки. Результатом этих преобразований, также, будет новая структурная запись чисел Фразы [16].

[3]

 

[14]

 

[15]

 

[16]

 

Итак, что мы имеем, так сказать, «в лице» этих новых числовых структур [13,16]?

Это выпрямленные счзФ, числа которых расположены и что главное, читаются по прямой схеме (отсюда это странное название – выпрямленные), то есть, одинаковым способом для всех четвёрок: по кругу, по часовой стрелке, но при этом соблюдается условие симметричного почтения кругов, принадлежащих разным половинам структур.

Подобно тому, как мы располагали половины строчных записей взаимно симметрично, с тем чтобы избавиться от разнонаправленного чтения (как самих строчных записей, так и образованных от них, структурных), теперь, с той же целью удобства при считывании чисел по кругам, мы как бы перенесли круги («циферблаты») зеркально обращённых половин счзФ в привычную систему отсчёта, причём вместе с круговыми стрелками схемы (образно говоря, вместе с «наблюдателем»).

Основное назначение операции «рассимметричивания» зеркальных счзФ или, иначе говоря, их выпрямления – это расположение четвёрок структурных записей по унифицированной схеме, отображающей единообразный порядок, как расположения, так и считывания чисел всех кругов [4].
Дело в том, что следующей нашей задачей должно быть построение полносимметричных схем прочтения структурных записей. Однако, охватить сразу все грани симметрии зеркальных счзФ и без подготовки отобразить их в соответствующих схемах достаточно сложно, поэтому, прежде чем приступить к построению полносимметричных схем, необходимо привести все элементы имеющихся схем к «общему знаменателю», то есть, к единому для всех четвёрок виду. Этой цели лучше других как раз и отвечает прямая схема расположения чисел [4]. Для того, чтобы считывание чисел по этой (прямой) схеме осуществлялось с соблюдением правил зеркальной симметрии, нам и понадобились выпрямленные счзФ [13, 16], как промежуточные варианты записей.

Чтобы всё сказанное обрело более доходчивую форму, приведу ещё несколько условных схем, иллюстрирующих особенности строения различных счзФ:

[17]

 
 

Здесь каждая стрелка обозначает четвёрку, или круг счзФ.

Направление стрелки слева направо соответствует направлению вращения по часовой стрелке, и наоборот.

Красным и синим цветом обозначен тип четвёрок по составу: 3-5-6-2 и 6-7-1-2.

Схема [I] – это прямая счзФ. Четвёрки в этой записи чередуются через одну и ориентированы в одном направлении – по кругу, по часовой стрелке [1]].

Схема [II] – одна из двух зеркальная счзФ (другая отличается только числовым составом четвёрок). Пары четвёрок чередуются симметрично [5] и ориентированы во встречных направлениях: две четвёрки по часовой стрелке, две – против, то есть так же, симметрично. Во встречных же направлениях вращения читаются и круги (не путать со встречным, общим направлением прочтения половин, от которого мы избавились ещё в строчных записях)

Схема [III] – выпрямленная счзФ [13,16]. Четвёрки чисел, – внимание!, расположены (чередуются) симметрично! Иначе говоря, с позиции половинной симметрии эта запись осталась зеркальной. Но числа внутри четвёрок ориентированы в одном направлении – прямо, то есть здесь по кругу, только по часовой стрелке, и так же читаются.

Теперь, если вы внимательно рассмотрите все эти схемы [I, II, III], то обнаружите, что любые две четвёрки в любой счзФ, в пределах половины записи ориентированы о д н о о б р а з н о ! То ли по часовой стрелке, то ли против, но обе в одном, общем направлении. Иначе говоря, несимметрично.

Построение полносимметричных схем как раз и предполагает достижение симметрии четвертных групп в пределах половин, и в записи в целом, то есть достижения четвертной* симметрии «на фоне», если можно так сказать, уже достигнутой половинной (симметрии)

* Вообще-то полносимметричная схема прочтения счзФ предполагает ещё и парную симметрию, о которой пока не упоминается. Но она не забыта. Дело в том, что симметричное, в рамках четвертей, прочтение записи осуществляется по схеме, которую нам ещё только предстоит построить и которую мы, несколько забегая вперёд, «авансом», называем полносимметричной, но которая, как это вскоре увидим, именно такой и окажется.

И в этом отношении, наиболее подходящими вариантами числовых конструкций для приложения к ним полносимметричных схем, являются выпрямленные счзФ [13,16]. Это, как теперь (надеюсь) понятно из предыдущего объяснения, бывшие зеркальные счзФ, в которых во избежание наложения зеркальных эффектов половинной и четвертной симметрии и, как следствие, полной неразберихи, нивелированы признаки внешней симметрии (расположения) чисел, в пользу максимально упрощённого способа их прочтения.

Итак, приступим к построению полносимметричной схемы прочтения первой из выпрямленных счзФ – левой [13].

Первым элементом схемы, для прочтения первой четвёрки чисел по кругу, укажем направление вращения по часовой стрелке, что соответствует в строчной записи традиционному для чтения по-русски, направлению слева направо. За отправную точку круга примем, конечно же, первое число четвёрки.

Эти естественные параметры считывания первых четырёх чисел Фразы сохраняют первозданную, заданную алфавитом их последовательность в ряду СЧФ: 3-5-6-2 [5/гл.I].

Следующим элементом схемы (для второго круга счзФ) обозначим обратное направление считывания – против часовой стрелки, и также, принимая за точку отсчёта первое число четвёрки.

При этом пары чисел первого и второго круга считываются симметрично, что наглядно передаёт рисунок с цветными кружочками вместо чисел:

Последовательность числовых пар по первому кругу: красный/жёлтый – зелёный/синий симметрично отражается в прочтении по второму кругу: зелёный/синий – красный/жёлтый (сравните со строчными чзФ [18,19/гл.I] – разница лишь в том, что в этих строках одинаковым цветом обозначены по два числа).

Завершим построение схемы с помощью зеркала. Для этого первые два стрелочных указателя обратим зеркально и используем их отражения в качестве третьего и четвёртого элементов схемы. Полносимметричная схема прочтения первой из выпрямленных счзФ построена [18]:

[13]

 

[18]

 

Теперь очередь следующей из выпрямленных счзФ [16]. Как построить схему её прочтения?

Ранее неоднократно подчёркивалось, что зеркальные записи, как строчные, так и структурные, являются зеркальными близнецами. Безусловно, в таком же соотношении находятся и выпрямленные счзФ. Из этого следует, что и схемы их прочтения должны быть зеркально симметричны. Что может быть проще, нежели обратить зеркально уже построенную схему и скопировать её отражение!

Однако, если мы приставим зеркало к изображению схемы [18], справа, или слева,* – нас ждёт сюрприз: в зеркале мы увидим идентичное изображение!

* Можно попытаться приставить зеркало сверху, или снизу. Однако схема, полученная с помощью такого отражения, оказывается неработоспособной.

Этот любопытный эффект, между прочим, свидетельствует... о внутренней («автономной») симметричности схемы [18].

  1. Симметричной называется такая структура, которая не меняется при отражении в зеркале. Она может быть наложена точка в точку на своего зеркального двойника.

    (М. Гарднер, «Математические головоломки и развлечения»)

Однако, как же получить отражение «неотразимой» схемы?!

Оказывается, очень просто. Согласно принципу осевой (или зеркальной) симметрии, "если нанести на одну полуплоскость линии, указывающие какие-то направления вращения, то после зеркального отражения это направление изменится на противоположное".

Следовательно, справедливо и обратное: если во всех элементах схемы [18] изменить направление вращения на противоположное, то мы получим её зеркальное отражение («пункты отправления и прибытия», указанные круговыми стрелками в схемах меняются местами).

Ниже воспроизводится это самое, «ненаглядное» отражение – полносимметричная схема прочтения правой выпрямленной счзФ [19]:

[16]

 

[19]

 

Почему «ненаглядное»?

Да потому что сколько его не разглядывай, остаётся загадочной неочевидность симметрии этих двух схем [18,19]. Возьмите в руки зеркало и убедитесь сами в «расхождении теории и практики» однозеркального отражения.

Полагаю, у читателей уже и голова кругом идёт, и перед глазами круги плывут, да не числовые, а радужные. Между тем, самое трудное позади, схемы построены и пришло время ими воспользоваться. Малышу, который водит пальчиком по строчкам, не так легко прочесть в букваре «Мама мыла раму», как нам по этим схемам выпрямленные счзФ: стрелочки услужливо поведут от числа к числу, а буковки – от круга к кругу. И если до сих пор читатели только верили (или не верили) в удивительные свойства СЧФ, то теперь воочию смогут убедиться в феноменальной симметрийной универсальности числовых конструкций, каковыми являются зеркальные, и их производные – выпрямленные счзФ.

В следующей группе записей буквой «L» обозначена левая выпрямленная счзФ (левая её половина сохранилась в исходном виде, а правая зеркально преобразована), буквой «R» обозначена правая выпрямленная счзФ.

Соответственно, правая и левая схемы имеют четырёхбуквенные обозначения «abcd» и «efgh» (по букве для каждой круговой стрелки).

Правыми и левыми записи и схемы мы называем, конечно, условно – принципиального значения это подразделение не имеет, в особенности для схем, которые взаимозаменяемы (!) Кроме того, каждая из счзФ может быть прочитана как справа налево, так и слева направо (abcd, dcba).

Итак применим построенные схемы к соответствующим выпрямленным счзФ:

[20]

 

[21]

 

[22]

 

[23]

 

Схемы «работают» в обоих случаях! Причём каждую счзФ, как уже говорилось, можно прочесть, чередуя круги как слева направо, так и справа налево. Таким образом, при записи считываемых чисел, получается 8 числовых рядов:

[24]

 

Каждая из этих 8 строк составлена магическими четвёрками, и обратите внимание: внутри четвёрок все числа по порядку их следования, выстроились во внутренне симметричные пары, взаимно симметричное расположение которых, в строках [24] очевидно – схемы прочтения выпрямленных счзФ оказались полносимметричными.

Четвёрки этих строк, уложенные «правильными рядами» образуют 8 магических квадратов:*

* Как известно, Традиция подразделяет магические квадраты на различные и существенно различные (см. «Посвящённые Юпитеру», гл. III); и только последние учитываются при том или ином подсчёте количества квадратов. В число существенно различных не входят квадраты, полученные отражениями или боковыми поворотами исходного. Поэтому, Традиция, даже если она «закроет глаза» на тот факт, что квадраты, построенные из чисел Фразы не являются традиционными, таких (существенно различных) квадратов может признать только два. Но мы будем учитывать все 8, и даже 16!

[25]

I II V VI
III IV VII VIII
 

Дело в том, что группа квадратов [25] может быть продублирована при помощи «вечной двойственности операций с числами Фразы». Проделайте здесь эту операцию мысленно. Для этого прочтите счзФ [20-23], изменив при этом порядок прочтения четвёрок в половинах счзФ, к примеру, вместо abcd – badc, и  т. д. – и вы получите комплект строк, пригодных для построения ещё 8 таких же магических квадратов.

Итого: 8 × 2 = 16 квадратов.

Фраза состоит из 16 чисел, среди которых нет главных или второстепенных – любое из них вправе дать начало магическому квадрату. Это действительно так – все квадраты группы [25] начинаются с разных чисел, исчерпывающих ровно половину СЧФ (3, 5, 6, 2, 6, 7, 1, 2).

Хотя, строго говоря, из 8 квадратов группы [25] только два могут быть приняты за основные, или исходные, или оригинальные; остальные являются их зеркальными отражениями: двойственность СЧФ здесь словно любуется собой в зеркалах, во всех возможных ракурсах. Другие 8 квадратов, дублирующие группу [25], проявляют эту двойственность ещё раз – вместе с «зеркалами».

Итак, ближайшая цель наших поисков достигнута: магический квадрат из чисел Фразы построен.

Следующий этап нашей работы будет заключаться в выявлении общих признаков в структурной организации СЧФ и чисел традиционного магического квадрата Дюрера. Существует ли между магическим квадратом Дюрера и квадратами, построенными из чисел Фразы, то соответствие, которое непременно должно существовать между всяким замком и ключом его отпирающим?