Глава III. Узоры Брэгдона


  1. Клод Ф. Брэгдон, известный американский архитектор, скончавшийся в 1946 году, обнаружил, что, соединяя одну за другой клетки магических квадратов ломаной, мы в большинстве случаев получим изящный узор... Полученные таким способом "магические линии" Брэгдон использовал как образцы рисунков для тканей, книжных обложек, архитектурных украшений и декоративных заставок. Последние он сделал к каждой главе своей автобиографии... Типичный пример магической ломаной показан на рис... где узор вычерчен прямо на квадрате Дюрера...

    (М. Гарднер, «Математические развлечения и головоломки»)

Стало уже традицией, рассказывая о магическом квадрате Дюрера, обязательно приводить схему размещения его чисел в клетках, то есть, один из тех узоров, которые, если верить Гарднеру, так нравились американскому архитектору К. Брэгдону.

Я вычертил этот узор отдельно, и помещаю здесь, рядом с квадратом Дюрера:

[1]

a b
 

Существуют различные подходы к оценке этого и ему подобных узоров. К. Брэгдон рассматривал их с эстетических позиций, видя в них изящные рисунки. С точки зрения геометрии, эти рисунки представляют собой обыкновенные ломаные линии. Наконец, относительно распределения чисел в клетках квадратов, можно говорить об этих узорах, как о схемах размещения чисел в том или ином квадрате.

Как получается такая схема?

Об этом и говорит М. Гарднер (см. выше): Клод Ф. Брэгдон... обнаружил, что, соединяя одну за другой клетки магических квадратов ломаной...

«Одну за другой» – означает, в порядке возрастания чисел. Следовательно, имея перед глазами только схему какого-либо магического квадрата, можно, руководствуясь ею, заполнить клетки квадрата числами от 1 до 16 и магический квадрат будет построен. Таким образом, подобные схемы можно рассматривать, как своеобразные шифры магических квадратов, каждая из них неповторима, и соответствует строго определённому квадрату.

Нельзя расчитывать на правильную запись чисел по схеме, если ломаная на каком-то своём участке «преждевременно» пересекает ту или иную клетку квадрата (как, например, схема [1-b] клетку с числом 9). В таких случаях было бы правильным чередовать толщину («жирность») штриха, либо отмечать такие числа полыми (незатушёванными) кружочками.

Наша гипотеза, касающаяся эзотерического аспекта магических квадратов, как вы помните, состоит в том, что напротив, числа квадратов являются шифром, за которым скрывается некое геометрическое изображение.

Какое же? Ломаная линия?

Не совсем так!

Как именно – я расскажу после того, как ещё раз воспроизведу строчки из книги М. Гарднера об американском архитекторе Брэгдоне – те, что уже цитировались выше. Бьюсь об заклад, как любят говаривать на родине этого архитектора, что к ним мои комментарии мало что добавят.

Итак, М. Гарднер пишет:

  1. КлодФБрэгдонизвестныйамериканскийархитекторскончавшийсяв1946годуобнаружилчт
    [и т. д.]

Вот с таким текстом можно сравнить схему квадрата Дюрера [1-b], которая приводится, практически, в каждой книге, упоминающей этот квадрат.

Между тем, даже тракторист, вспахивающий поле, всякий раз, перед началом новой борозды, поднимает плуг. Схема же квадрата Дюрера, как её представляют различные источники, «пропахана» без единой паузы, как нечленораздельная речь. Пусть бы парикмахер попробовал побрить клиента одним непрерывным движением бритвы. Или закройщик попытался бы раскроить отрез ткани для костюма одним взмахом ножниц. Вот это были бы «узоры»!

Итак, вспомним о том, что минимальным элементом числовой записи, имеющей отношение к магическим квадратам, является пара чисел, обозначающих точки начала и окончания отрезка прямой.

Соединяя теперь не «одну за другой клетки магических квадратов ломаной», но соединяя отрезками прямой точки, обозначающие пары последовательных, порядковых чисел в клетках квадрата, мы получим несколько иной рисунок, в котором отчётливо отображается принцип двойственности – два рядом стоящих столбца квадрата дублируются другой парой [2-b]:

[2]

a b
 

Каждая из этих пар столбцов содержит по четыре отрезка. Причём любому отрезку в одной паре столбцов можно сопоставить точно такой же – равный и идентично расположенный, то есть, соответственный – в другой паре. Следовательно, каждой точке одного отрезка можно сопоставить соответственную точку другого, и если все точки одного отрезка соединить с соответственными точками другого, то мы получим некоторую плоскость. Прежде чем проделать такой опыт, необходимо для наглядности придать будущему изображению перспективу (чтобы избежать наложения линий, соединяющих точки разных отрезков); для этого слегка сместим одну из пар столбцов квадрата относительно другой пары [3-a]. Затем, соединим для начала только по две точки каждого из соответственных отрезков – только те, что ограничивают отрезки [3-b].

[3]

a b
 

Наконец, можно убрать сетку квадрата (клеточки) и прорисовать изображение по своему вкусу:

Отметим два небезынтересных обстоятельства.
Первое: итоговый рисунок, или геометрическое изображение легко идентифицируется...
Второе: данная «графическая интерпретация» квадрата Дюрера, при всей корректности рассуждений (если они таковы), не имела бы права на существование, если бы не сопровождалась числовой симметрией. Рисунок [3-b] составлен из пересекающихся прямоугольников. Четыре точки в вершинах любого из прямоугольников соответствуют четырём числам квадрата Дюрера, сумма которых равна 34, то есть, постоянной (const).

Поскольку наш поиск направлен на выяснение взаимосвязи чисел Фразы с квадратом Дюрера, давайте посмотрим теперь, в каком отношении к рисунку [3-b], полученному на основе квадрата Дюрера, находятся числа нетрадиционных, нумерологических магических квадратов Фразы.

Для этого наложим на один из них рисунок [3-b] – это легко сделать мысленно, глядя на изображения рисунка и квадрата [4-a], которые здесь представлены раздельно:

[4]

[3-b] a
 

b

Каждая плоскость рисунка, как видим, включает четвёрку чисел, сумма которых равна постоянной квадрата Фразы – 16: [4-b].

Очевидно, что рисунки, подобные [2-b], составленные из отрезков прямой, не могут служить схемами размещения чисел в клетках квадратов. Это, повторюсь, только ещё один вариант построения магических линий, вариант графической интерпретации магических квадратов, который вовсе не упраздняет ломаные линии, соединяющие все 16 клеток квадрата.

Хотя... какая польза от этих узоров К. Брэгдона? – однажды уже использованные в качестве образцов для декоративных украшений, или «иллюстраций к каждой главе автобиографии», они, увы, утратили оригинальность и уже не вызывают живого интереса. Может быть, в качестве схем размещения чисел в клетках квадратов существование их более оправдано?

Но схемы эти, как таковые, не живут самостоятельной жизнью, в отрыве от чисел.

Так какая же от них польза?

Польза, однако, имеется.

Одно из основных требований, предъявляемых к традиционным магическим квадратам заключается в том, что при их построении допускается использовать только целые и только порядковые числа натурального ряда (одно и то же число не может дважды встречаться в таком квадрате).

В более общем случае – пишет Б. А. Кордемский («Математическая смекалка») – клетки квадрата могут быть заполнены любыми числами...

Например, – продолжим мы, – числовыми значениями букв Фразы.

Вот тут-то и могут оказаться полезными эти самые «ломаные схемы» – для заполнения клеток квадратов «любыми числами», при построении нетрадиционных магических квадратов.

Справедливости ради надо отметить, что с точки зрения математики такой способ построения нетрадиционных магических квадратов, не представляет интереса, поскольку слишком прост и не предполагает творческого поиска. Такой способ аналогичен заполнению бланка анкеты, когда не нужно думать, что записать, к примеру, в графу когда и где вы родились – не случайно, поэтому, в популярной литературе он, практически, не упоминается. Мы этот способ рассмотрим.

Группу из 16 чисел натурального ряда, записанных в четыре строки, называют числовым квадратом, подчёркивая тем самым упорядоченную, правильную форму такой записи.* 

* Слово порядок многозначно, употребляется во многих областях знаний. В математике, в частности, оно имеет отношение к разрядности чисел. Кроме того, порядковыми мы называем числа натурального ряда. Числа здесь следуют строго по порядку возрастания; это порядок, присущий натуральному ряду. Порядком, также, называют состояние отличное от хаоса — равновесие, симметрию; это порядок, свойственный организации чисел магического квадрата (вслушайтесь в звучание слова: исконное его значение, это выравнивание по рядам – брёвен ли в штабеле, или кресел в зрительном зале...)

Числовой квадрат называют магическим, когда в нём достигается внутренняя упорядоченность чисел, полное равновесие, числовая симметрия.

Аналогично тому, как геометрическая фигура квадрат служит образцом, шаблоном для внешней формы числовой записи, сама группа чисел магического квадрата (статичная «картинка» их расположения, либо «динамичная» схема поочерёдной их записи, «траектория разнесения» по клеткам), может служить своеобразным трафаретом для заполнения клеток квадрата другими символами, например: алгебраическими, или не порядковыми числами натурального ряда, а произвольным их набором.

При этом, группу чисел от 1 до 16 традиционного магического квадрата (точнее сказать, положение этой группы в квадрате) можно рассматривать как своего рода, матрицу,* в соответствии с которой в клетки квадрата вносятся произвольные числа, и которая обеспечивает максимальную их упорядоченность.

* Слово матрица многозначно. Употребление его здесь может ввести в заблуждение, поскольку числовой квадрат на языке математики, собственно, и есть матрица. Но в данном случае под этим термином следует понимать некий оригинал, с которого снимаются копии – наподобие формы-клише (для пользователей ПК можно привести сравнение с «форматированием по образцу»).

Всесильна ли такая матрица, или схема?

Отнюдь, нет.

Так, если нам известны правила словообразования в русском языке, и в нашем распоряжении имеется произвольный набор букв, это ещё не гарантирует построение из них осмысленной фразы (поскольку произвольный набор может включать, например, только согласные буквы).

Аналогично, схема магического квадрата помогает организовать, упорядочить произвольный набор чисел, но степень этой упорядоченности будет зависеть от самой совокупности чисел. Для того, чтобы числа образовали магический квадрат, должна существовать принципиальная возможность этого.

Сказанное проиллюстрируем на примере.

Рассмотрим два ряда чисел произвольного набора [5-a,b]. Сумма чисел каждого ряда равна 680, поэтому в случае построения магического квадрата из чисел того или иного набора, постоянная такого квадрата должна быть равной 170 (680 : 4 = 170).

Установим условное соответствие между натуральным рядом чисел от 1 до 16 и этими числовыми рядами [5-a,b]; заполним клетки квадратов [5-a,b] числами этих наборов (a = a; b = b), руководствуясь при этом расположением чисел в квадрате Дюрера или, иначе говоря, схемой квадрата Дюрера.

[5]

 

[6]

квадрат Дюрера a b
 

Несмотря на то, что ряды чисел [5-a,b], казалось бы, мало чем отличаются, построенные из них числовые квадраты различны. Первый из них [6-a] обладает всеми свойствами магических. А вот о втором этого сказать нельзя: хотя с позиций симметрии числа в нём, благодаря схеме квадрата Дюрера, «как могли», максимально упорядочились, но для магического квадрата этого оказалось недостаточно – сумма чисел в строках этого квадрата [6-b] не равна константе.

Итак, для построения нетрадиционного магического квадрата с помощью схемы некоторого традиционного магического квадрата, необходимо выполнение следующих условий.

Первое: числа будущего квадрата должны быть записаны в порядке возрастания.

Второе: в таком виде между ними и порядковыми числами натурального ряда должно быть установлено условное соответствие.

Третье и решающее условие: совокупность чисел, из которых строится квадрат должна обладать необходимыми свойствами – полной суммой, кратной четырём, если мы не хотим иметь дробную константу; способностью к многовариантной группировке в четвёрки с суммой чисел, равной постоянной квадрата и др.

Теперь, во всеоружии усвоенных основ числовой магии, мы можем приступить к построению нетрадиционного нумерологического магического квадрата из чисел Фразы, с использованием схемы квадрата Дюрера.

Прежде всего, взвесим шансы: попробуем определить навскидку, реально ли в нашем случае соблюдение перечисленных условий.

СЧФ состоит из 16 чисел, что делает возможным соотнести их с 16 числами натурального ряда, из которых построен магический квадрат Дюрера.

Расположить числа Фразы в порядке возрастания, наверное (?), не составит труда.

Остальное зависит от свойств самой СЧФ, многие из которых видны невооружённым глазом, и они многообещающи: 16 чисел Фразы легко разместятся в 16 клетках квадрата; сумма их равная 64, кратна не только 4, но и 8, 16, 32, что делает не лишённым смысла предположение о предрасположенности СЧФ к четвертной группировке «по всем направлениям» квадрата – строк, столбцов, диагоналей и др.

Одним словом, всё свидетельствует о том, что довольно трудным «делом» может оказаться только одно – не построить магический квадрат из чисел Фразы.

Если вообразить числовую магию гармонией музыкальных звуков, то строчные зеркальные чзФ можно сравнить с некоторой мелодией. Те же зеркальные записи, но в структурном виде, наверное, можно уподобить музыкальным аккордам. Тогда чему сопоставить вот этот ряд чисел Фразы?

[13/гл.I]

 

В нашем сравнении это, несомненно, «хроматическая гамма».

А лучше сказать, запись «нот» такой «гаммы».

И чтобы составить из них благозвучный аккорд, нужно эти нотки распределить на нотном стане, согласно правилам музыкальной гармонии, то есть, распределить эти числа по клеткам квадрата, причём детальных подробностей этого распределения можно и не знать, распределять-то будем не мы, а схема квадрата Дюрера. Нам достаточно лишь записать числа в порядке возрастания, чтобы безошибочно назначить им соответствующие клетки квадрата Дюрера.

Но ведь в записи [13/гл.I] числа именно так и располагаются!?

Увы, читатель, – не так!..

Наверное, вы заметили одно из свойств СЧФ, которое настойчиво проявляется почти в каждом действии над числами Фразы (да и магического квадрата Дюрера).

Тогда, быть может, вы согласитесь с тем, что игнорировать его нельзя.

Само это свойство не входит в число «семи свойств природы» Якоба Бёме, но характеризует последние, являясь их естественным атрибутом. Немецкий мистик называет его вечной двойственностью.

Числовая запись Фразы в своей структуре, также, явно обнаруживает подобную двойственность, о чём ранее уже говорилось достаточно подробно. Вот один из таких её красноречивых вариантов:

[15/гл.I]

 

Расположим числа в порядке возрастания в каждой из половин этой строки:

[7]

 

Вот, теперь – то, что надо!*

* Можно, также, разделить строку [I.13] на две половины «по образу числа 11»:
1 · 1 · 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 5 · 6 · 6 · 6 · 6 · 7 · 7  —   Результат будет тот же: [7]

Но если вы полагаете, что на этом наши мытарства окончены, я должен огорчить вас, они всё ещё продолжаются: хотя строка [7] для размещения в квадрате, в принципе, готова, но она должна быть ещё и верно прочитана.

Чтобы избежать ошибки при её прочтении, необходимо ещё раз сфокусировать внимание на вышеозначенном свойстве СЧФ – дуалистичности, двойственности.

Мы можем сказать так: чзФ [7] состоит из двух половин.

Или так: СЧФ в записи [7] представлена двумя, во всех отношениях равными частями.

Но если половины записи [7] – эти её «части», равны во всех отношениях, а это бесспорно, поскольку очевидно, то безусловно, и равноправны. Отсюда происходит вопрос: с какой половины следует начинать прочтение записи? – Ведь они равноправны!

Ответ на этот вопрос может показаться неожиданным: числа следует считывать одновременно с обеих половин!

Возможно ли такое?

Не буду интриговать читателей и скажу сразу, что нет, невозможно.

В нашем мире многое невозможно воспроизвести с помощью опытов, но можно лишь условно, схематически отобразить с помощью знаков, символов. Это относится и к симметрическим операциям с числами, включая их запись и считывание.

Предлагаю читателям выполнить несложный опыт, чтобы лучше понять, о чём речь. Возьмите лист бумаги и напишите на нём несколько символов, букв или цифр – всё равно, но только карандашом. Поместите рядом с записью зеркало. Ваша запись удвоится: теперь перед вами строка-оригинал и её отражение.

Как вы будете её читать, – окружающим этого не видно; а вот если вы станете стирать строку ластиком, то спрашивается, – в какой из этих строк символы вашей записи исчезнут под ластиком раньше, в оригинальной или в зеркально отражённой?

Отвечать не надо...

Когда мы говорим о числовой записи Фразы, то следует подразумевать в её двойственности «зеркальную природу», что в самом общем смысле и выражает известный теософский, или оккультный афоризм «Как вверху так и внизу».

Но как воспроизвести, или как отобразить в записи, хотя бы очень условно, два идентичных процесса, протекающих синхронно?

Это и достигается применением к числовым операциям правил теоретической, если можно так сказать, симметрии.

«Практическая» симметрия не знает наших ограничений – миллионы лет до того, как было изготовлено первое зеркало, дерево, растущее на берегу реки, уже отражалось в воде. И так далее. Мы же в отображении зеркальных эффектов с помощью символов, можем только приблизиться к адекватной их передаче на письме или при чтении. При этом синхронность мы подменяем «правильным» чередованием.

После такой преамбулы можно, наконец, приступить к конкретным действиям.

Видоизменим числовую запись [7] следующим образом. Во-первых, коль скоро «внизу» всё так же как «вверху», то соответственно расположим и половины чзФ [7] – «вверху и внизу». Во-вторых, не будем забывать о минимальной единице записи, которой является пара чисел. В данном случае, очевидно, в пары должны быть связаны числа, следующие друг за другом в естественной их очерёдности – по возрастанию. В следующей записи подчеркнём двойственность СЧФ этого уровня группировкой числовых пар:

[8]

 

Конечно, такой вариант представления СЧФ (двустрочной записью) в данном случае не является обязательным. Вполне равноценной была бы запись и в одну строку, но по некоторым причинам двустрочная запись всё-таки предпочтительней. Во-первых, такой вариант записи более подчёркнуто отображает двойственность СЧФ; во-вторых, способствует применению простой схемы считывания чисел; наконец, является перспективным, в чём у нас ещё будет приятная возможность убедиться.

Как мы уже выяснили, считывать числа этой двустрочной записи следовало бы одновременно в обеих строках. Но так как это превышает наши возможности, то будем строки чередовать, причём в самом упрощённом порядке – так, как чередуют ходы в шахматной партии. Иначе говоря, прочтём пары чисел записи [9] так, как мы вообще привыкли читать по-русски: слева направо (числа внутри пар), сверху вниз (чередование строк), «страница за страницей» (четвёрки чисел против каждой стрелки):

[9]

 

Считывая таким образом числа двустрочной записи [9], запишем их в ряд:

[10]

 

Теперь можно приступать к построению квадрата.
Ниже расположены: слева – квадрат Дюрера, приведённый здесь для наглядности; и далее – два нумерологических квадрата Фразы, построенные из чисел строки [10] по схеме квадрата Дюрера.

[11]

  V I
квадрат Дюрера a-b-c-d c-d-a-b
 

Разумеется, четвёрки чисел ряда [10] можно распределить в клетках квадрата (по схеме квадрата Дюрера), считывая их в самом разнообразном порядке. Далее приводятся эти варианты записей квадратов (включая уже реализованные I и V), обозначенные римскими цифрами, в соответствии с нумерацией квадратов группы [25/гл.II]. Под каждым квадратом группы [12] буквами обозначена очерёдность считывания четвёрок чисел ряда [10] перед размещением их в квадрате по схеме квадрата Дюрера. При этом квадраты нижнего ряда имеют одинаковые с верхними буквенные обозначения, но построены они при считывании чисел четверок [10] справа налево.

[12]

V III I VII
a-b-c-d b-a-d-c c-d-a-b d-c-b-a
VI IV II VIII
a-b-c-d b-a-d-c  c-d-a-b d-c-b-a
 

В заключение этой темы коснусь вопроса, который может возникнуть у придирчивых (в хорошем смысле) читателей. Речь пойдёт о двустрочной записи чисел Фразы. Сам по себе такой вариант, как уже говорилось, не является необходимым. Но коль скоро он предполагает «одновременное» считывание чисел обеих половин записи (в данном случае просто иначе расположенных), то «каверза» вопроса заключается в том, почему же ранее, при работе с чзФ равноправное отношение к половинным частям СЧФ как бы игнорировалось и они не чередовались после каждой прочитанной пары чисел?

Дело здесь вот в чём. Уникальная универсальность СЧФ позволяет получить какой-либо результат почти всегда более, чем одним способом. Я же исхожу из тех соображений, что объяснение следует делать более доходчивым, поэтому и способ того или иного преобразования лучше применять более простой.

Ряду чисел [10], расположенных в порядке возрастания пар, в какой-то степени аналогична прямая чзФ [11/гл.I]. В этой 16-знаковой строке восемь пар чисел, – по четыре пары в каждой половине, или в каждом «этаже» в случае двустрочного варианта записи.

Обозначим верхнюю и нижнюю строчки буквами «в» и «н», соответственно. Тогда порядок симметричного перебора строк, т. е., чередования половин записи при считывании чисел, будет следующим: «в-н-н-в», или «н-в-в-н». Записываем прямую чзФ [11], располагая во всех отношениях равные её части в двух строках.

[13]

 

Считывая с двух сторон числа этой двустрочной прямой записи по симметричной схеме и выстраивая их в ряд, получаю следующую строку:

[20/гл.I]

 

Небольшое уточнение о том, как работает схема [13].

Общее направление прочтения половин записи слева направо, или справа налево, указано стрелочкой. Она же определяет первую пару каждой половины. Далее ориентируемся по цвету ячеек таблицы: слева направо один цвет, справа налево другой. При этом происходит симметричное чередовании строк. Не забываем о том, что, числа внутри всех пар при любом общем направлении читаются только слева направо.

Считывая числа, я записал одну из зеркальных чзФ [20]. При желании можно легко прибавить к ней другую.

Обращаю внимание: запись [13] прямая, а схема её прочтения симметричная; результатом является зеркальная чзФ; образно говоря, схема выполняет роль зеркала, которое здесь применяется однократно.

Схема считывания двустрочной записи [9], напротив, прямая (в-н-в-н; в-н-в-н), как и сама запись. В результате перезаписи считываемых таким образом чисел, мы снова получаем прямую последовательность числовых пар [10] – никаких зеркальных преобразований при этом не происходит.

При построении нетрадиционного магического квадрата роль зеркала выполняет симметричная схема магического квадрата. Размещение в квадрате, по такой схеме, симметричной же записи было бы равнозначно двукратному применению зеркала, и как следствие, исчезновению (или искажению) зеркального эффекта, то есть, частичному или полному «выпрямлению» отражения. В результате, построенный квадрат оказался бы немагическим. Вот почему должны быть полностью нивелированы все признаки симметрии в ряду чисел, из которых строится нетрадиционный магический квадрат с использованием схемы традиционного. Соблюсти такое условие можно двумя простыми способами: расположив эти числа в порядке возрастания, или убывания.

Итак, мы можем констатировать:

Первое. Совокупность чисел Фразы обладает скрытой внутренней симметрией высокого порядка, признаки которой выявляются по мере симметрических преобразований чисел. Так, внутренняя структура СЧФ позволяет, применяя к числам действия, основанные на правилах зеркального отражения, построить из них нетрадиционный магический квадрат.

Второе. Числа Фразы, выстроенные в порядке возрастания, то есть, с нивелированными признаками внутренней и внешней симметрии, и размещённые в квадрате по схеме традиционного магического квадрата, известного под названием квадрата Дюрера, также, приводят к построению магического квадрата.

Третье. Магический квадрат из чисел Фразы, построенный по независимой схеме, основанной на принципах зеркального отражения, и квадрат из тех же чисел, полученный в результате «пассивного со стороны СЧФ», если позволительно так сказать, размещения чисел Фразы в квадрате, по схеме магического квадрата Дюрера, оказывается одним и тем же квадратом. Это означает, что по меньшей мере в одном аспекте, внутренняя структура СЧФ потенциально идентична внутренней числовой структуре квадрата Дюрера.

* * *

Задача построения магического квадрата, так же, как и большинство промежуточных действий с числами Фразы, имеет не единственное решение. В предыдущей главе был описан способ преобразования СЧФ с использованием операций отражения одинарным зеркалом, и этот способ не является ошибочными, но как говорят в подобных случаях математики – такое решение задачи нерационально.

Далее мы исследуем симметрические свойства СЧФ с применением углового зеркала, которое «управляется» с числами значительно эффективнее, нежели одинарное, и при этом не требует побочных «наглядных пособий», разве только для лучшего уяснения закономерностей действия самого зеркала (подробнее об особенностях двузеркального отражения в числовых преобразованиях см. в «Посвящённых Юпитеру»).

Кстати, циферблат часов потому и мог быть использован, как иллюстрация «недостаточности» однозеркального отражения для двумерных счзФ, что и сам является (условно) двумерным объектом. Тем не менее, решено было использовать в операциях с числами оба варианта преобразований – традиционного, с применением одинарного зеркала и нетрадиционного, с применением закономерностей двузеркального отражения угловым зеркалом – с той целью, чтобы наглядно показать результативность работы с числами Фразы в обоих случаях.

И, кроме того, хотелось привлечь особое внимание читателей к угловому зеркалу (а этого, как мне кажется, легче добиться путём сравнения результатов применения того и другого типа зеркал), использование которого в нашей дальнейшей работе будет иметь приоритетное значение.

 

Итак, выписываем из алфавита нумерологические числовые значения букв Фразы в порядке заданном алфавитом:

[5/гл.I]

ВДЕЙНООССТТ УХЦЫЯ
3562677112235626
 

Перемещаем в конец этой строки три числа, соответствующие парным буквам Фразы О, С, Т,  одновременно группируя числа в четвёрки:

[11/гл.I]

 

Далее переходим к структурному виду записи:

[1/гл.II]

 

Это прямая структурная числовая запись Фразы. Действием углового зеркала преобразовать её в зеркальную счзФ чрезвычайно просто. Для этого, в соответствии с закономерностью центральной симметрии, одну из её половин следует развернуть на 180°; сделать это можно двумя способами: подвергая симметрической операции поочерёдно одну и другую пару кругов числовой конструкции. В результате получаем две зеркальные счзФ, в каждой из которых числа половин ориентированы относительно друг друга, подобно отражениям в полярных секторах углового зеркала:

[2/гл.II]

 

[3/гл.II]

 

Ранее, на страницах этой книги неоднократно употреблялось такое выражение, характеризующее СЧФ, как скрытая, потенциальная симметрия.

Где и когда она открывается, как проявляется?

Вот, именно в этих операциях [1/гл.II]Ú[2/гл.II]; [1/гл.II]Ú[3/гл.II] непосредственного преобразования прямой счзФ в зеркальные (минуя все «стадии» строчных записей, равно как и построения выпрямленных счзФ и схем их прочтения, иначе говоря, минуя все операции с числами, необходимые при использовании закономерностей отражения одинарным зеркалом) это свойство СЧФ реализуется наиболее ярко.

У музыкантов существуют некоторые критерии оценки качества музыкальных инструментов. Одной из положительных характеристик инструмента, будь то струнный, клавишный или духовой инструмент, является его способность, как говорят исполнители, хорошо отвечать, то есть, реагировать, издавать звук при едва ощутимом прикосновении к струне или клавише, малозаметном движении меха и т. п., что позволяет музыканту в любом регистре передавать тончайшие динамические оттенки музыкального произведения.
 

[14]

В нашем кратком обзоре действий над числами Фразы построение зеркальных числовых структур путём поочерёдного разворота на 180° обеих половин прямой счзФ – первая симметрическая операция, не считая формирования исходной прямой строчной записи. И СЧФ великолепно «отвечает» этой операции: разом с построением зеркальных счзФ, все соответственные составляющие их элементы – не только половины, но четвёрки чисел, пары, и даже одиночные числа обеих половин, и внутри них, одним этим действием приводятся к гармоничному, взаимно-симметричному расположению (что, в общем-то и естественно для действия углового зеркала, так же как естественны, но от этого не менее прекрасны неповторимые узоры в трубке калейдоскопа).

Столь же простым, как преобразование прямой счзФ в зеркальные, оказывается и способ их прочтения, основанный на действии углового зеркала. На рисунке [14] можно видеть, как «ведёт себя» направление вращения в различных секторах углового зеркала: в смежных секторах оно изменяется на противоположное, что естественно для однозеркального отражения, а для любых двух полярных секторов является общим.

Рис. 14 не может служить схемой считывания какой-либо из счзФ, так как отображает только закономерность в направлениях вращения в секторах углового зеркала, не учитывая симметрии расположения числовых пар четвёрок.

Далее представлены зеркальные счзФ с приложенными к ним схемами прочтения, построенными в соответствии с закономерностями действия углового зеркала. Всё в этой группе записей очевидно, так что нижеследующие пояснения к ней сделаны лишь для пущей важности.

Первая из зеркальных счзФ [15] этой группы записей, по определению, присвоенному ей ранее – левая. Первую четвёрку её чисел считываем по кругу, по часовой стрелке, что соответствует прямолинейному направлению слева направо, естественному для чтения по-русски. Все другие элементы этой, и остальных схем, выстраиваются от данной стартовой позиции, с помощью углового зеркала.*
Следующая счзФ – правая [17]; к обеим счзФ прилагаются, также, зеркально обращённые схемы: направление вращения, указанное круговыми стрелками исходных схем, меняется здесь на противоположное [16,18].

* См. рис. [15]: круги «а» и «b» отображают положение чисел в смежных секторах углового зеркала, где отражения расположены под углом 90°, здесь примером таких отражений может служить пара 6-2, направление прочтения чисел этой пары в смежных секторах противоположно, как и указывают круговые стрелки. Для кругов «b» и «c» характерно центрально симметричное расположение, как в полярных секторах углового зеркала – под углом 180°; так, к примеру, здесь расположена числовая пара 1-7, но направление вращения в полярных секторах не меняется, поэтому числа считываются по обоим кругам против часовой стрелки. И так далее.

[15]

 

[16]

 

[17]

 

[18]

 

 

[19]

I VI VIII III
L: a-b-c-dR: d-c-b-aR: a-b-c-dL: d-c-b-a
II V VII IV
L: e-f-g-hR: h-g-f-eR: e-f-g-hL: h-g-f-e
 

Запись группы магических квадратов [19], в некотором смысле универсальна: это, одновременно квадраты, развёрнутые в строки, кроме того, характерной особенностью группы [19] является её центральная симметрия.
Запись строк квадратов при считывании четвёрок в половинах счзФ [15-18] в обратном порядке чередования кругов –
(b-a-d-с вместо a-b-c-d  и т. д.) – дублирует группу [19].
Номера квадратов, обозначенные римскими цифрами, соотнесены с нумерацией их в группе [25/гл.II].

* * *

Теперь несколько примеров занимательной числовой симметрии.

На рис. [20-а] квадрат из чисел Фразы, выстроенных «по ранжиру» [I.13], то есть, записанных в естественной последовательности их возрастания. В «Посвящённых Юпитеру» аналогичный квадрат из порядковых чисел натурального ряда был наименован натуральным. Там же с числами натурального квадрата был выполнен ряд симметрических операций (см. «Посвящённые Юпитеру», рис. [9-13/гл.II]). которые применим теперь к квадрату [20-а]. Разделим его по границе зеркальной двойственности на группы центральных и периферийных чисел [20-b,c].

[13/гл.I]

 

[20]

= +
a b c
 

Запишем числа этих групп в два ряда, считывая их построчно с разделённых половин квадрата, и располагая ряды взаимно симметрично, относительно горизонтальной оси симметрии [21-I] и центрально симметрично [21-II]:

[21]

II 
 

Приложим к полученным двустрочным записям симметричную схему считывания чисел [22]:

[22]

II 
 

Снова разместим числа в квадратах, считывая их с двустрочных записей:

[23]

[20-a] a
 

Итогом этих действий оказывается исходный квадрат СЧФ [20-a] и магический квадрат из чисел Фразы [23-a].

Ещё один способ «мгновенного» построения нумерологического магического квадрата, аналогичный соответствующему преобразованию натурального квадрата, в примере [24]. Здесь группа периферийных чисел квадрата СЧФ [20-a] зеркально обращена относительно центральных: [b]. Результат – магический квадрат [c].

[24]

Ú Ú
[20-a] b c
 

* * *

Далее, в преобразованиях, воспользуемся некоторыми уже известными числовыми записями, но несколько изменим ход рассуждений.

Итак, представим, что перед нами алфавит и мы впервые выписываем упрощённые нумерологические значения букв Фразы, не обращая внимания на «парные» или «двойные» буквы, ничего не группируя, не ведая ни о каких «неделимых элементах записей», ни о перемещении каких-то чисел, а просто располагая их «по росту», как выстраиваются в шеренгу школьники на уроке физкультуры. Затем, желая выяснить, не обладает ли данный ряд внутренней симметрией, подобно многозначным числам, делящимся на 11, разделяем его «по образу числа 11»:

[25]

 

Обнаружив идентичность числового состава в механически разделённых половинах ряда, выполняем элементарную симметрическую операцию – попросту располагаем их центрально симметрично. При этом видим, что числа «автоматически» группируются в четвёрки с одинаковой суммой, то есть, внутренне симметричные четвёрки:

[26]

 

А также, оказываются расположенными подобно отражениям в угловом зеркале, что особенно наглядно в двух средних и двух крайних четвёрках, взаимное положение которых, характерно для отражений полярных секторов [27].

[27]

 

Придадим числовой конструкции [27] форму, более приемлемую для схемы углового зеркала. Операция выполняется в нескольких вариантах; остановимся на двух:

[28]

a b
 

Что можно отметить в этих числовых структурах [28]? Во-первых, обратите внимание: любые две пары одноимённых чисел (в любом сочетании), расположенные по разные стороны от зеркальной точки, то есть, в полярных секторах, ориентированы, как это и естественно для центральной симметрии, в диаметрально противоположных направлениях (независимо от того какое направление чтения избрать в качестве исходного – справа налево, слева направо, или сверху вниз, и т. п.)

Во-вторых, что касается отражений смежных секторов, то ориентация пар чисел здесь, как видим, неправильная. На примере пары чисел «6-2» это наблюдается особенно отчётливо: в одном из смежных секторов (относительно любого, условно исходного) такая же пара ориентирована идентично (ноль градусов), в другом – строго в противоположном направлении (180°), тогда как правильная взаимная ориентация боковых отражений предполагает угол между ними 90°. Это «неправильное» расположение отражений смежных секторов следует исправить. Сделать это довольно просто, достаточно повернуть любую из четверок, расположенную в любом секторе зеркала, на угол 45° вправо или влево. При этом остальные четвёрки, будучи отражениями исходной, должны повернуться «сами», также, на 45°, и в нужном направлении; в результате, суммарный угол между ними составит 90°, что соответствует расположению отражений смежных секторов.

Как вращать четвёрки чисел? Подсказка на рисунке [14].

Не следует думать, что необходимость исправления отражений смежных секторов вызвана ошибкой при преобразовании числовых записей. Здесь мы встречаемся с тем же замечательным свойством СЧФ, которое можно наблюдать в преобразованиях полумагического квадрата Йениша, к примеру, при «исправлении» симметрии «колёс» (см. «Волшебный конёк-скакунок», рис. [14/гл.III], когда из одной «неправильной», а лучше сказать, нейтральной структуры получаются две с магическими свойствами. Аналогично и здесь...

Ниже, в группах записей [29-32] это «объясняется» наглядно: каждая исходная числовая структура – [28-a,b], в результате поворота четвёрок чисел вправо и влево, «вынужденно» порождает два варианта  числовых моделей углового зеркала.

Стрелки здесь указывают направление осуществлённого вращательного момента каждой четвёрки на величину 45°, относительно исходного состояния, и в согласии с закономерностью зеркальной (точнее, двузеркальной!) симметрии.

Кроме того, эти же стрелки являются симметричной схемой считывания чисел зеркальных счзФ, с последующей записью их в строки (магических) квадратов.

Порядок считывания чисел следующий. Читаем по стрелке любую пару, затем другую в составе этой же четвёрки. Переходим в один из смежных секторов, всё равно какой, и читаем пару чисел, расположенную «под углом 90°» по отношению к последней паре предыдущей четвёрки. Например: 7-1-2-6 ~ 2-6-5-3. Затем, переход из этого сектора в соответствующий ему полярный. Вторая пара строк квадрата всегда начинается с той же пары, какой окончилась предыдущая восьмёрка чисел (поэтому, продолжением записи в этом примере будет пара 5-3).  И  т. д.

Ещё один, и в последний раз вернёмся к зеркальным счзФ. От конечной цели преобразований и превращения в структуры [31,30] их отделяет единственный шаг – расположение половин «в два этажа» для придания формы, которой они соответствуют по содержанию. Здесь этот шаг выполнен.

[29]

[30]

[31]

[32]

Помещаю здесь группу уже готовых, построенных ранее, магических квадратов Фразы, глядя на которую, вы в совершенстве овладеете всеми возможными способами симметричного прочтения чисел этих структур.

* * *

Поговорим теперь о других свойствах чисел, общих для традиционных и нумерологических магических квадратов.

Подчинённость внутренней структуры СЧФ и чисел традиционных магических квадратов одним и тем же принципам симметрии, факт бесспорный. Но насколько глубока связь чисел Фразы с числами остальных традиционных магических квадратов, или как далеко простирается соответствие между ними? Попытаемся выяснить это.

Вспомним, прежде всего, о том, что взаимоотношения чисел в магических квадратах 4×4 обусловлены действием многозеркальных систем трёх типов. Одним из показательных следствий этого является возможность подразделения числового состава магических квадратов тремя разными способами – «вилка», «зигзаг», «ваза» – в каждой из систем, на две группы, составляющие его «механические» половины: 1-8 и 9-16. (см. «Посвящённые Юпитеру», рис. [4-9/гл.VII]).

В связи с этим напрашивается вопрос: отвечает ли внутренняя структура СЧФ закономерностям действия многозеркальных систем всех трёх типов, аналогично традиционным магическим квадратам – интегральной, дискретной, веерной?

Возможно, что желание обнаружить свойств СЧФ, которые бы это подтверждали, диктуется завышенным требованием к непростой, но всё же, не волшебной группе чисел. И тем не менее, СЧФ обладает такими свойствами, и их легко продемонстрировать. Перед вами два варианта записи СЧФ, выстроенных в ряд по возрастанию одиночных чисел [a], и асимметричных числовых пар [b]:

a) 1122·2233·5 566·6677

b)1 212·2323·5656·6 767

Далее на рис. [33] эти два ряда чисел записаны в строки квадратов, с выделенными цветом половинными частями числового состава Фразы (строчные записи разбиты на четвёрки для удобства при заполнении квадратов).

[33]

a)
 
 
b)
 

Среди иллюстрируемых способов дифференциации СЧФ – разделение квадратов по границе зеркальной двойственности в трёх типах зеркальных систем (левый вертикальный ряд квадратов), а также, знакомые рисунки («вилка», «зигзаг», «ваза») разделения тремя способами самих зеркальных систем. Всё это отображают числа, подразделяясь во всех случаях на две равнозначные части (половины СЧФ).

Таким образом, мы убеждаемся в том, что числам Фразы вовсе не чужды свойства, отвечающие закономерностям многозеркальных систем всех трёх типов.

Но это означает, что СЧФ должна обладать свойствами, присущими не только квадрату Дюрера, но и любому другому.

И это действительно так, числовой состав Фразы позволяет построить магические квадраты из чисел Фразы, тождественные любому из традиционных правильных магических квадратов четвёртого порядка. По всем правилам построения этих квадратов, описанным в «Посвящённых Юпитеру».

Повторять эти правила здесь нет необходимости, но рассмотреть несколько иллюстраций, полагаю, будет небезынтересно. Ниже, на рисунке [34] приводятся два примера преобразований нумерологических магических квадратов. Исходный квадрат в обоих примерах [I-a] и [II-e] один и тот же; это один из построенных ранее магических квадратов Фразы [25-VIII/гл.II].

В первом примере [34-I] показано выполнение универсальной симметрической операции, в результате которой получены три новых, существенно различных магических квадрата [b,c,d].

Пример [34-II] иллюстрирует способ получения производных квадратов путём отражения четвертей заглавного. Результат операции – только один новый квадрат, [g] или [h] на выбор – они взаимные неварианты (обращённые относительно друг друга на 180°); квадрат [f] является аналогичным повтором исходного [e].

[34]

I
a b
c d
II
e f
g h

Далее, на рис. [35-37] для каждого из трёх типов квадратов строгого соответствия <1>, <2> и <3> приведена схема последовательности операций по превращению их в нестандартные. Напомню: первый этап преобразования – отражение чисел в половине секторов малых угловых зеркал – в вертикальной плоскости (a-v), и в горизонтальной (a-h); второй этап – отражение чисел двух смежных секторов самой системы (b-v, b-h).*

* Подробнее в «Посвящённых Юпитеру», гл. IV.

[35]


 

[36]


 

[37]

 

 

Результат: построены квадраты типов <6>, <4>, <5>.
Преобразования квадратов строгого соответствия в нестандартные в трёх многозеркальных системах, оказываются действенными для квадратов из чисел Фразы, так же, как и для традиционных магических квадратов.

Результативным для них оказывается и самый эффектный из способов превращения квадратов разных типов друг в друга методом трансляции. Примерами могут служить три исходных квадрата строгого соответствия на рис. [35-37] <1>, <2>, <3>, и там же, три пары вновь построенных нестандартных квадратов.

СЧФ существенно отличается от порядковых чисел натурального ряда наличием повторяющихся чисел, некоторых многократно. Это влечёт за собой появление невариантов в процессе построения нумерологических квадратов, и как следствие, сказывается на их общем количестве, которое значительно меньше числа традиционных. Неварианты, это явление закономерное и для традиционных магических квадратов, но в случае с квадратами из чисел Фразы они появляются, конечно, чаще. Вот несколько примеров таких повторов, полученных при построении квадратов [35-37].

Квадраты <4II> и <5II> оказались взаимными боковыми невариантами. А <4I> и <5I> повторяют квадраты послужившие им исходными, но в обратной зависимости – <3> и <2>, соответственно. То есть, нестандартные квадраты оказываются, в то же время, квадратами строгого соответствия, да ещё принадлежащими другому типу! Ещё один подобный пример иллюстрирует рис. [34], где четвёрки квадратов возглавляет один и тот же квадрат, который может быть отнесён как к типу <1>, так и <4> – [a] и [e], соответственно.

Привыкнув к мысли о том, что ни одно свойство чисел Фразы «не имеет место быть просто так», я, тем не менее, так и не смог объяснить то обстоятельство, граничащее с парадоксом, что многие квадраты, которые идентифицируются как нестандартные, оказываются совершенными, как в примере [35] квадрат <4I>

Даже такая операция, как перезапись чисел квадрата по схеме иной зеркальной системы, то есть, првращение его в квадрат другого типа методом трансляции, может привести к повтору: квадраты на рис. [38] являются боковыми невариантами.

[38]

<4> <5>
у
 

И всё же, надо отметить, что числа Фразы позволяют выполнять с ними любые операции, которые приемлемы для традиционных магических квадратов, и всегда с неизменно положительным результатом (отрицательным результатом было бы построение немагического квадрата).

Повторы одних и тех же чисел в ряду СЧФ, это причина не только множественных невариантов среди магических квадратов Фразы. Но эта особенность числового состава Фразы имеет и другое следствие: каждый нумерологический магический квадрат, построенный по тем же правилам, что и традиционные магические квадраты, может рассматриваться как квадрат одного из двух типов, смотря по тому с какой из семёрок единица составляет симметричную пару.

Напомню: тип квадрата определяется по расположению симметричных числовых пар; разумеется, всех, а не только первой. Но как правило, достаточно обратить внимание только на первую пару, чтобы идентифицировать квадрат по типу. В правильных традиционных магических квадратах, это пара 1-16, в нумерологических магических квадратах Фразы ей соответствует пара 1-7.

Либо может рассматриваться, как квадрат сразу двух типов, причём, принадлежащий одновременно двум разным зеркальным системам. Кроме упомянутых ранее, наглядным примером может служить и рис. [38].
Любопытно, что квадратов, принадлежащих только одной зеркальной системе, то есть, таких, которые бы обладали признаками двух типов в комбинациях <1> и <6>, <2> и <4> или <3> и <5>, не обнаружено.

Ниже приводится сводная табличка типов, которым одновременно может соответствовать тот или иной нумерологический квадрат. Два типа, которые может совмещать в себе квадрат, в табличке обозначены в вертикальных парах клеток, окрашенных общим цветом, а также, в горизонтальных парах клеток нижнего ряда, подчёркнутых разноцветными линиями.

Таким образом, квадраты строгого соответствия, которые одновременно могут принадлежать к одному и тому же из трёх типов нестандартных, это <1> и <2> (жёлтый цвет); <2> и <3> (красный); <1> и <3> (голубой). Нестандартные, в которых проявляются признаки одинаковых первых трёх типов – <4> и <5>; <5> и <6>; <4> и <6>. В обоих случаях этих сочетаний прослеживается та же комбинационная закономерность, что «красной нитью» проходит через всю внутреннюю структуру Триединой Системы Симметрии традиционных правильных магических квадратов.

[39]

 

Как уже говорилось, частые повторы при построениях новых квадратов из чисел Фразы, существенно влияют на их количественный состав. Последнее же из рассмотренных свойств этих квадратов – принадлежность к двум разным зеркальным системам, или совмещение признаков квадратов разных типов, – делает их количественный состав ещё и неоднозначным.

Так, используя различные способы построения, из чисел Фразы всего удалось получить 54 магических квадрата. Но поскольку каждый квадрат является представителем двух разных типов, то собрание 54 «реальных» квадратов должно быть удвоено, и таким образом, составит 108. А это число уже символично – таково количество заглавных традиционных правильных магических квадратов (при этом, количество «реальных» заглавных квадратов Фразы равно 27, то есть, одной четвёртой числа 108 – числа, которое, в свою очередь, является четвертью от 432 – количества всех традиционных (правильных) магических квадратов.

Из 54 квадратов к первым трём типам (строгого соответствия) принадлежат 36, – заглавных и производных, вместе взятых («совпадение»!: столько же – 36 – и традиционных магических квадратов строгого соответствия, но только заглавных, без производных; а вместе с ними, по 36 квадратов включает каждая из трёх групп Триединой Системы Симметрии).

Однако, вследствие «двойного гражданства», эти же квадраты одновременно могут быть отнесены и к нестандартным, плюс оставшиеся 18 (54-36=18), и таким образом, число их представителей возрастает до 72. Вдвое больше квадратов строгого соответствия, то есть, в точности, как в соотношении (только) заглавных традиционных (36+72=108).

Итак, при подразделении 54 нумерологических квадратов по типам, 12 из них можно идентифицировать как квадраты типа <1>,  12 – как принадлежащие к типу <2>;  12 – к типу <3>; а также, по 24 квадрата, принадлежащих к типам <4>, <5> и <6>. То есть, в точности в таких же пропорциях, как и в массиве 108 традиционных (заглавных) магических квадратов.

* * *

Таким образом, можно сделать вывод: структурная организация преобразованного в магические квадраты, ряда чисел Фразы, обнаруживает полную тождественность с основными свойствами традиционных правильных магических квадратов, включая методы их построения, преобразования и пропорциональность количественного состава.

К выводу остаётся добавить немного: иллюстративный материал – собственно, магические квадраты, построенные из чисел Фразы.

А ещё хотелось бы «добавить» риторический вопрос. Если бы существовала информация (подобно некоторым недоказанным теоремам) о некой загадочной числовой строке, обладающей такими возможностями, какие скрыты в ряду номеров букв Фразы, то смог ли бы кто из людей составить, построить такой ряд, имея в распоряжении всего шесть чисел: 1, 2, 3, 5, 6, 7 ?  Такой ряд, который вместил бы в себя всю «алгебру» традиционных (правильных) магических квадратов, вместе с их свойствами и разнообразием. И кроме того, «вместил» бы в себя идею «двузеркального» отражения и соответствующих методов преобразования квадратов,* а потом и сам трансформировался бы в этакое числовое зеркало [29-32].

* Возникновению идеи о руководстве в исследованиях традиционных магических квадратов 4×4 принципами отражения угловым зеркалом способствовал анализ двумерных, структурных числовых записей Фразы, а непосредственное применение этих принципов в симметрических операциях с числами магических квадратов привело к мысли о трёх типах зеркальных систем. Так появилась работа под названием «Посвящённые Юпитеру».

Наш «случайный» алфавит как-то это смог. И это только надводная часть айсберга. О том, что ещё вмещают в себя шесть чисел Фразы – в следующих главах.

А теперь квадраты. Они размещены на трёх отдельных листах.

О порядке группирования квадратов на листах.

Лист 1.

Слева на листе расположены квадраты строгого соответствия, тремя группами, одна под другой, включающих по 6 квадратов, подразделяющихся, в свою очередь на четвёрку квадратов, разграниченных перекрестием, и нижележащуюи пару с вертикальной разделительной линией. Первую четвёрку возглавляет заглавный квадрат – единственный, из числа ранее построенных, с единицей в начальной клетке. Перекрестие из линий, разделяющих квадраты четвёрки играет роль схемы действия условного углового зеркала. Квадраты в его секторах являются взаимными производными универсальной зеркальной операции. От первого квадрата четвёрки образован первый из нижележащей пары, путём взаимного перемещения в исходном пары диагональных составных четвертей (в квадратах <2> и <3> операция аналогична, но не идентична (см. «Посвящённые Юпитеру», рис. [11-16/гл.IV]). Выполнение в этом квадрате универсальной зеркальной операции приводит к получению только одного нового (второго из пары), остальные оказываются невариантами, поэтому не приводятся. По этой же причине вместо перекрестия здесь только одна вертикальная разделительная линия, условно обозначающая отражающую пластину углового зеркала.
Справа от шестёрки квадратов <1> на листе расположены две группы по 6 нестандартных квадратов типа <6>. В первой из них два верхних квадрата построены путём двухвариантного преобразования первого квадрата <1> из четвёрки с перекрестием. Полную схему этого преобразования иллюстрирует рис. [37]. Последняя пара квадратов в этом ряду (во второй шестёрке нестандартных) построена аналогичным способом из второго квадрата <1>, входящего в четвёрку с перекрестием. Все остальные ряды квадратов на этом листе организованы подобным образом. Шестёрки квадратов строгого соответствия – <2> и <3>, расположенные под группой квадратов <1> имеют те же закономерности строения как и первая группа. В «Посвящённых Юпитеру» описаны способы взаимного превращения традиционных магических квадратов <1>, <2> и <3>, а также <4>, <5> и <6> путём выполнения в них универсальной зеркальной операции с наложением схем, которая может быть применена и к нумерологическим квадратам (см. «Посвящённые Юпитеру», рис. [9,10/гл.IV]). Здесь отображён другой способ их получения, это метод трансляции. Все соответственно расположенные в разных горизонтальных рядах квадраты этого листа, благодаря цветовым схемам, демонстрируют действенность этого метода.
Все шестёрки квадратов складываются из двух столбиков по три квадрата. Над верхним квадратом такого столбика указан дополнительный тип, к которому может быть отнесена данная тройка квадратов. Под нижним квадратом столбика имеется буквенное обозначение. Одинаковые буквы разных столбиков означают, что они составлены взаимными невариантами. Таким образом, чтобы выделить на листе только существенно различные квадраты, нужно отобрать по одному столбику, обозначенному каждой из букв.

Лист 2.

Здесь размещены заглавные квадраты строгого соответствия первого листа <1>, <2> и <3>, в каждом из которых выполнена операция отражения четвертей – преобразование, в ходе которого образуются новые магические квадраты, не заглавные, называемые здесь производными. Квадраты расположены по порядку сверху вниз, как и на листе 1, с той лишь разницей, что каждый их столбик из трёх квадратов превращается в колонку из трёх четвёрок квадратов, разделённых перекрестиями. В секторах условного углового зеркала каждой такой четвёрки только по одному производному квадрату – как и исходный, с наложенной цветовой схемой. Другие два оказываются невариантами – повторами либо одного из производных, либо исходного (заглавного); эти неварианты приводены для иллюстрации результативности операции, но для различения – без цветовых схем.

Лист 3.

На этом листе операция отражения выполнена в нестандартных квадратах первого листа. Как и в случае с квадратами строгого сооотвествия, из четырёх производных операции только один квадрат оказывается новым.