Глава V. СЧФ - ключ к квадрату Йениша


В симметрических преобразованиях ряд чисел Фразы проявил себя настолько податливым, пластичным материалом, что кажется, построенные на его основе числовые конструкции, это только прелюдия к реализации заложенных в нём ещё больших возможностей и, в частности, к созданию числовых образований, более сложных, чем 16-знаковые.

Но каких, именно?

Если предположить, что магических квадратов, то естественно, речь должна идти, прежде всего, о квадратах восьмого порядка, как производных зеркального «умножения» меньших квадратов – 4×4. В самом деле, наиболее простой способ построения нумерологического магического квадрата Фразы 8×8 сводится к сложению его из любых четырёх квадратов четвёртого порядка, выбранных для этой цели из числа построенных ранее.

Квадрат 8×8, построенный таким образом, обязательно будет магическим, независимо от того являются ли четыре его составных квадрата 4×4 вариантами или невариантами, или вовсе, одним и тем же квадратом, повторенным четырежды. Другими словами, подбор составных квадратов для магического квадрата 8×8, может быть совершенно произвольным.

Однако, поскольку имеется относительно большое количество нумерологических магических квадратов четвёртого порядка (54), число их комбинаторных сочетаний в составе квадратов 8×8 будет весьма значительным; я бы сказал даже, относительно огромным будет это число. Поэтому, для начала лучше ограничиться «основным составом» квадратов 4×4, построенных путём приложения симметрических схем, непосредственно, к ряду чисел Фразы и, кроме того, при составлении квадратов 8×8, всё-таки, руководствоваться принципами симметрии.

На рисунке [1] для построения квадратов 8×8 использованы 8 нумерологических квадратов Фразы группы [25/гл.II]. Составные квадраты 4×4 подобраны не произвольно, а с учётом представлений о «двузеркальной» симметрии: все они, в каждом из примеров [a,b], друг для друга являются полными взаимными отражениями в соответствующих секторах углового зеркала.

[1]

a b

На следующем рисунке [2] в обоих примерах [a,b] при составлении квадратов 8×8, учтено фундаментальное свойство СЧФ – двойственность. Пары, заданные естественной очерёдностью чисел в строках, столбцах, диагоналях составных квадратов рассматриваются как неделимые элементы записи и при отражении сохраняют эту очерёдность неизменной:

[2]

a b

Не будем гадать, оказалось ли бы исследование свойств магических квадратов 8×8, построенных таким способом, плодотворным занятием, или бесполезным. Из приведённых примеров явствует, что данное направление поиска не сулит радужных перспектив. Квадраты 8×8 построены [1,2], но что это даёт? По-видимому, ничего.

А потому, если существует какая-то перспектива в поисках структур СЧФ, более сложных, чем 16-знаковые, то очевидно, что сам подход к осуществлению этих поисков должен быть иным. Каким именно – пока не ясно.

Впрочем, почему же не ясно? Подход этот известен: подсказку следует искать в самих числах Фразы.

Обратимся к одной из самых ранних числовых записей Фразы – прямой строчной чзФ [11/гл.I]:

[11/гл.I]

 

Ранее мы говорили о периодичности числовых записей Фразы. Обратите теперь внимание на регулярность, с которой в чзФ [11/гл.I] периодически повторяются одинаковые по составу четвёрки чисел. Они чередуются через одну.

Кроме того, если считывать числа самих четвёрок через одно, мы получим парные их сочетания, сумма которых равна 7 и (или) 9. Причём исключений нет – все числа внутри всех четвёрок строки [11/гл.I], «взятые» через одно, образуют пару из нечётного и чётного чисел, дающих при сложении 7 или 9.

В структурных записях пары, складывающиеся в суммы 7 и 9 расположены крестообразно.

Объединим теперь два эти признака – «через одно» и «крестообразно»: четыре точки, расположенные по кругу, объединённые графически «через одну», образуют крест. Следовательно, попарное сочетание «через один» четырёх элементов строчной записи, схематически (условно) должно означать то же самое – крест.

В качестве иллюстрации к этому выводу сопоставьте прямую строчную чзФ [11/гл.I] и ту же последовательность чисел в виде структурной записи [1/гл.II].

[1/гл.II]

 

Теперь вспомним о том, что в половине четвёрок чзФ [11/гл.I], практически, от алфавита, числа в естественной своей очерёдности группируются в гармоничные пары (3-5; 6-2); в двух других четвёрках они хотя и не сгруппированы подобным образом, но обладают предрасположенностью к таким сочетаниям.
То есть, если внутренняя симметрия последовательных пар чзФ [11/гл.I], скажем так, уверенно обозначена, то что можно сказать о равнозначной для всех её четвёрок, асимметрии чисел, расположенных через одно, или крестообразно, как в записи [1/гл.II]?

Подобным рецидиву болезни у больного, которого долго лечили от вредного пристрастия, оказалось бы теперь «объяснение» обсуждаемого свойства чзФ случайностью. Зато не осталось бы никаких вопросов.

Между тем, СЧФ исследована на предмет внутренней симметрии, которая, в результате операций, проделанных с числами, воплощена в «магические» пропорции построенных числовых квадратов и графические изображения креста, а вопросы при этом остались. И от правильной их постановки зависит ход дальнейшей работы с числами Фразы.

Почему, в процессе выполненных ранее преобразований, осталось невостребованным столь ярко выраженное свойство СЧФ, как предрасположенность к группированию в пары чисел внутри четвёрок единым способом (через одно), с единым для всех четвёрок результатом – крестом, составленным семёркой и девяткой – этими глубоко символичными «числами человека»?

Что представляет собой сочетание чисел 7 и 9 с позиций симметрии? «Предусмотрены» ли числовые построения из чисел Фразы, на основе сочетаний семёрки и девятки? Каким способом перейти от разрозненности (размежевания через одно) чисел, составляющих в сумме 7 и 9, к их практическому группированию в пары?

Вопросов много, а ответов мало, точнее сказать, пока совсем нет. Абсолютно не за что «зацепиться», или «ухватиться» – что там лучше для тонущего?

Разве что, сложить их? Получится 16, или, нумерологически, 7. Кстати, весьма любопытно, не правда ли? Девять (физическая, а по-другому, материальная природа человека) плюс семь (духовный аспект), и в результате... 7.
Говорите мне теперь сколько угодно о «воскресении во плоти»... Разве не достаточно ясно об этом давно уже сказал Апостол Павел? –

  1. Есть тела небесные и тела земные; но иная слава небесных, иная земных.
    Иная слава солнца, иная слава луны, иная звёзд; и звезда от звезды разнится в славе.
    Так и при воскресении мёртвых: сеется в тлении, восстает в нетлении; сеется в уничижении, восстает в славе; сеется в немощи, восстает в силе; сеется тело душевное, ВОССТАЁТ ТЕЛО ДУХОВНОЕ. Есть тело душевное, есть тело и духовное.

    (1 Кор. 15:40-44)

Всё познаётся в сравнении. А потому необходима статистика. Если затруднительно как-то охарактеризовать 7 и 9, рассматриваемые, как парные крестообразные сочетания чисел четвёрок, можно сопоставить их с другими вариантами числовых сочетаний подобного рода, например, числами натурального ряда. Причём речь идёт не об одиночных числах, но о «четырёх элементах записи», которыми могут быть два числа, три, и вообще, любая группа чисел, которой мы присвоим «статус неделимости»; важно только, чтобы в каждом примере все четыре «элемента» были равными по количественному составу, иначе опыт будет некорректным. На рис. [3] приведены 4 примера (четыре строки) числовых записей, состоящие из «четырёх элементов» каждая. В первом примере, это четыре двойки порядковых чисел натурального ряда от 1 до 8. Во втором примере – четыре тройки чисел ряда от 1 до 12; и т. д.

Таким образом, любое число (8,12,16,20...), кратное 4, может быть представлено соответствующим отрезком натурального ряда чисел, который механически делится поровну, на четыре части. Эти четыре части и будут четырьмя «элементами записи» данного отрезка. В любом из приведённых примеров [3] «элементы» представлены равным количеством чисел, и выражаются их суммой; каждый – суммой «своих» чисел.

[3]

 

Итак, чем же характеризуются крестообразные сочетания элементов записей в приведённых примерах, или, что одно и то же, расположенные в этих отрезках натурального ряда через один?

Оказывается, золотой пропорцией!

Рассмотрим первый пример на рис. [3]. Сумма чисел всего ряда от 1 до 8 равна 36. Сумма двух элементов записи, взятых через один из второй позиции: (3+4)+(7+8)=22; сумма двух элементов записи, отобранных через один из первой позиции: (1+2)+(5+6)=14.

Три числа, полученные в результате этих действий, находятся между собой в отношении золотой пропорции:  36/22≈1,6;  22/14≈1,6. То же и в других примерах.

Особый интерес в этом примере представляют сочетания четырёх четвёрок в ряду от 1 до 16.
Вы, конечно же, узнали эти числа: 136, 84, 52?

С увеличением знакового состава элементов записи, золотая пропорция между их крестообразными сочетаниями сохраняется – налицо очевидная закономерность.

Всё это очень интересно, однако, ровно ничего не даёт для наших поисков и, кажется, даже уводит от них. Ну, что общего может быть у чисел 7 и 9 с золотой пропорцией?

Всё же, для чистоты эксперимента, продолжим начатый анализ ряда примеров.

Далее в таблице [4] приводятся данные для всё увеличивающихся отрезков натурального ряда чисел, с подразделением их в каждом случае на четыре четверти (четыре «элемента записи»). Для каждого такого отрезка в таблице приведены три значения – сумма чисел всех четырёх четвертей (300 в первом примере для ряда чисел от 1 до 24); сумма чисел второй и четвёртой четвертей (186); сумма чисел первой и третьей четвертей (114). И так далее. В любом примере отношения между этими тремя итоговыми числами выражаются золотой пропорцией, в редких случаях с очень незначительными отклонениями от её «стандартной» величины (в пределах φ≈1,7)

[4]

 

Что же нового в результатах этих вычислений, продолжающих демонстрировать всё ту же закономерность в отношениях четырёх «элементов записи»?
Ничего нового, ничего примечательного...
Но только до тех пор, пока мы не доходим до числа 64 в крайнем левом столбце таблицы.
Вне всяких сомнений, числа этого ряда, – это ключ к дальнейшему поиску! Читайте: 2080; 1296; 784!

Рассмотрим их подробнее. Четыре четверти ряда от 1 до 64 включают по 16 чисел:

[5]

 

Сумма чисел первой и третьей четвертей равна 784, или  282.
Сумма чисел второй и четвёртой четвертей равна 1296, или 362.

Числа 28 и 36 в представлении, очевидно, не нуждаются – здесь, как и в случае с числами 52, 84, 136, мы снова имеем дело с четырёхкратным умножением, на этот раз семёрки и девятки.

Вот она, очевидная параллель с числами Фразы!

Конечное число ряда 64 само является «квадратным» (82); и сумма чисел от 1 до 64 (=2080) распадается на два «квадратных» числа 784 и 1296 (сумма четвертей, «взятых» через одну!). Их корни квадратные – 28 и 36 – в сумме снова составляют 64; всё явно указывает на квадрат 8×8.

Но указывает ли что-нибудь в числах Фразы на предрасположенность к построению из них квадрата восьмого порядка?

Несомненно. Прежде всего их количество – 16 – это четверть квадрата 8×8, которую с помощью углового зеркала легко можно превратить в 64 числа. Эта уверенность подкрепляется не только нумерологической суммой чисел Фразы, равной 64, но и тем, что попарное сочетание четвертей СЧФ через одну, будто в миниатюре, в строчном виде отображает «квадратную» пропорцию четвертей натурального ряда чисел от 1 до 64. Что и представлено на рис. [6], где числа Фразы записаны по возрастанию [13/гл.I] и ряд их разбит на четыре равные части:

[6]

 

Сумма чисел первой и третьей четвертей этой строки равна 28, а сумма чисел второй и четвёртой четвертей – 36.
(таким же будет результат и при записи СЧФ в виде матрицы [10/гл.III, поскольку числовой состав её четвертей тот же самый: 1 2 1 2 - 2 3 2 3 - 5 6 5 6 - 6 7 6 7)

Очевидно, что построение квадрата восьмого порядка из чисел Фразы не просто «само собой напрашивается», потому что его легко сложить из квадратов 4×4, но «запрограммировано» в числах Фразы, и что немаловажно, видимо предполагается либо какой-то специфический способ его построения, в котором числа 7 и 9 призваны играть некую ключевую роль, либо какие-то особые свойства самого квадрата, связанные с этими числами.

Ближайшей нашей задачей, поэтому, должно быть группирование в пары чисел, расположенных в ряду СЧФ через одно. Для этого, первым делом, надо выбрать подходящий вид записи СЧФ, а затем составить схему её считывания.

Мы записывали числа Фразы различными способами и читали их по всевозможным схемам – последовательно и симметрично, слева направо и справа налево, по кругам и замысловатыми зигзагами, но есть один вид чтения, которому мы до сих пор в полной мере не уделили должного внимания. Речь идёт о направлении считывания чисел Фразы сверху вниз, или снизу вверх; одним словом, по вертикали!

А почему бы и нет?

Идея двузеркальной симметрии, или углового зеркала, просто диктует необходимость использования в исследованиях СЧФ способа письма и чтения, характеризующегося отклонением от привычного горизонтального расположения наших «букв и слогов» на угол 90°.

Вначале всё это может показаться неожиданным, т. к. не сразу понятно, где у ряда чисел Фразы верх, а где низ. Но ведь по вертикали не обязательно должен располагаться весь ряд чисел Фразы. Достаточно того, что в направлении сверху вниз (или снизу вверх) мы будем располагать, а затем и считывать числа чзФ, скомпонованные в пары. Например, числа двустрочной чзФ.

Подготовим сейчас такую запись. В качестве основы для неё используем матрицу СЧФ, половины которой располагаются как взаимные отражения относительно одной из координатных осей, т. е., в виде двустрочной чзФ:

[8/гл.III]

 

Обратим зеркально одну из строк чзФ [III.8], например, нижнюю, относительно вертикальной оси симметрии, но сохраняя при этом ориентацию числовых пар, как неразделимх элементов записи:

[7]

 

Полученная двустрочная чзФ [7] характеризуется уже центральной симметрией.

Но это и естественно – чего же ещё ожидать от применения углового зеркала – а потому сейчас даже не главное; значительно больший интерес представляет то обстоятельство, что в результате испытанной симметрической операции двузеркального отражения, числа матрицы выстроились по вертикали в пары с суммой 7 и 9 и теперь дело только за тем, чтобы правильно их прочесть.

Итак, чзФ [7] центрально симметрична, но замечу: речь идёт о половинной симметрии записи. Внутри самих половин, четвертные группы, также, необходимо привести во взаимно-симметричное состояние. Для этого достаточно зеркально отразить в каждой половине одну из четвертей. Результат выполненной операции на рис. [8]; зеркально обращённые четвёрки чисел в половинах записи подчёркнуты более тёмным фоном ячеек. Теперь схема считывания чзФ может быть максимально упрощена.

[8]

 

Считывая сверху вниз числовые пары двустрочной чзФ [8], и чередуя их в одном общем направлении слева направо, запишем их в одну строку, с подразделением последней на четверти:

[9]

 

Почему с расположением четырёх элементов строчной записи через один здесь сопоставляется вертикальная их ориентация в двустрочной записи, а не крестообразная, как при размещении по кругу? Всё просто. В данном случае, крестообразно и вертикально, практически, одно и то же. То или иное расположение зависит от ориентации горизонтальных пар чисел. Например, в строке 1-2-3-4 числа 1 и 3 расположены через одно. В квадрате 2×2 (модель двустрочной записи) те же числа образуют вертикальную пару [A]. Но если числа нижнего ряда (3 и 4) поменять местами (модель размещения чисел по кругу), вертикальная пара 1-3 превратится в одну из двух, расположенных крестообразно [B].

А B

Любопытное наблюдение: симметричные числовые пары 1-7 и 2-6 (как пример) в записи дифференцированного квадрата СЧФ [22-II/гл.III] расположены вертикально. Приложив к данной чзФ «вертикальную» же схему считывания, мы построили магический квадрат [23-II/гл.III], а считывая числа с этой же двустрочной чзФ крестообразно (см. ниже: a-b, c-d, e-f, g-h), получим ряд [9].

Таким образом, получена новая строчная числовая запись чисел Фразы [9]. Что можно сказать о ней? Почему из множества возможных вариантов прочтения двустрочных чзФ выбран именно этот, – и это при том, что квадрат, составленный из четвёрок строки [9], даже не магический: сумма чисел его диагоналей не равна постоянной (константе) [10]...

[10]

 

Откровенно говоря, на данном этапе преобразований СЧФ, в строке [9] трудно выявить нечто примечательное, отличное от известных нам, на данный момент, свойств других числовых записей Фразы. Наоборот, прежде всего, обращает на себя внимание её недостаток в плане организации чисел, так как из её четвёрок не складывается магический квадрат. Единственное, несколько даже теряющееся в калейдоскопических бликах симметрийных граней других числовых конструкций, свойство этой строки – её собственная симметрия, скромная, но своеобразная: это числовой палиндром. Ни одна из числовых записей, использовавшихся в качестве рабочих в преобразованиях СЧФ, не обладает таким свойством. Ни один из 54 магических квадратов, построенных на основе чисел Фразы, будучи развёрнут в строку, не являет собой подобный числовой ряд.

Палиндромами называют слова, или даже целые фразы, которые одинаково читаются, как слева направо, так и справа налево (примеры: «А роза упала на лапу Азора» /А. Фет/; «Аргентина манит негра»; «Огонь – идея единого»; и др.) Аналогично читается и числовая строка [9] – как слева направо, так и справа налево.

С точки зрения нашего «догмата» о нерушимости числовых пар, половинная симметрия строки [9] может показаться неправильной. Подобная ошибка в ориентации симметричных числовых пар была отмечена ещё в записи [16/гл.I]. Но теперь мы знаем, что при верном обосновании право на существование имеют и такие числовые структуры, в которых числовые пары имеют ориентацию, различающуюся на угол 180°, 90°, и даже 45°. Если запись [16/гл.I] иллюстрирует неприемлемость таких способов расположения числовых пар, то лишь потому, что начальные преобразования чисел осуществлялись в рамках одномерных, однократных зеркальных отражений.

Однако, я не оправдываю «неправильную» внешнюю симметрию чзФ [9]. В этой строке, с позиций симметрии, и сами числовые пары «неправильные», т. к. сумма чисел, их составляющих, неодинакова, и равна 7, либо 9 (но такая группировка является именно тем объединением чисел в пары, к которому мы и стремились!) Одним словом, с позиций симметрии, чзФ [9], действительно, несовершенна; это так, но мероприятий по её усовершенствованию проводиться не будет, – она должна оставаться именно такой, какая есть.

* * *

Из множества способов построения традиционных магических квадратов 8×8, описанных в соответствующей популярной литературе, наибольшей известностью пользуется способ, разработанный английским математиком Раусом Боллом. Заключается он в следующем: в квадрате из порядковых чисел натурального ряда от 1 до 64 (в нашем определении – в натуральном квадрате 8×8) выделяют две группы чисел, одна из которых включает числа, расположенные в диагональных клетках составных квадратов 4×4. Другая группа, это остальные 32 числа, не лежащие на главных диагоналях составных квадратов 4×4 [11]. Затем, одну из выделенных групп зеркально обращают на 180°, в результате чего образуется магический квадрат [12].

[11]

[12]

Читатели, знакомые с результатами исследований магических квадратов 4×4, изложенными в «Посвящённых Юпитеру», конечно, узнали в выделенных группах чисел в квадрате [11,12] центральную и периферийную области интегральной зеркальной системы.

Если бы я был Раусом Боллом, то непременно разработал бы ещё парочку подобных способов, не менее известных любителям магических квадратов, но уже не связанных с именем упомянутого математика.

В следующих примерах иллюстрируются эти два способа построения магических квадратов восьмого порядка: в натуральном квадрате, разделённом на две группы чисел по границе зеркальной двойственности веерной [13] и дискретной [14] систем, одна из групп, аналогично примеру [12], обращена зеркально на 180°

[13]

[14]

Быть может, что-то интересное удастся обнаружить, если подвергнуть подобным преобразованиям магический квадрат 8×8 из чисел Фразы?

Возьмём для эксперимента один из таких квадратов [2-b], но для удобства (чтобы начинался с единицы) отразим его зеркально слева направо. На рис. [15] этот квадрат представлен в трёх экземплярах – с выделением групп чисел центральной и периферийной областей трёх зеркальных систем.

[15]

a b c

Обратим зеркально группы чисел в каждом из этих трёх квадратов, принадлежащие периферийным областям (клетки, выделенные тёмным фоном). В результате получим три новых квадрата, которые уже не являются взаимными повторами, как исходные. Из них два, как и исходные, оказываются магическими [16-a,b], более того, их составные квадраты 4×4, также, сохранили свойства магических. А вот c квадратом [16-c] не всё ладно – сумма чисел в его столбцах не равна 32, т. е., не соответствует магической константе этого вида квадратов.

[16]

a b c

На первый взгляд представляется логичным отбросить этот квадрат и заняться анализом тех, что оказались магическими. Но мы поступим с точностью «до наоборот»: именно немагическому квадрату [c] уделим наибольшее внимание.

На каком основании?

Всё очень просто. Во-первых, он интересен уже тем, что отличается от двух других своих собратьев. Почему операция обращения групп чисел интегральной и веерной зеркальных систем прошла «гладко», как и «предрекали» результаты преобразования натурального квадрата 8×8 [12,13], а дискретная система, вдруг, «дала сбой» [16-c]?

Во-вторых, и это главное, – вычислите сумму чисел в любой паре (рядом стоящих) столбцов этого квадрата – она равна удвоенной константе, т. е., 64, как и в двух других, магических, но из чего она, эта сумма складывается?
В квадратах [16-a,b] – из одинаковых сумм чисел в двух столбцах: 32+32; в квадрате же [c] эти суммы представлены числами 28 и 36 и, заметьте, речь идёт о суммах чисел вертикальных рядов (таким образом, в квадрате [16-c] чередуются через один столбцы, с суммой чисел 28 и 36).

Сравним заглавные составные четверти квадратов: [15-c], и полученного на его основе [16-c]. На рисунке [17] первая из этих четвертей [a] – магический квадрат 4×4 [25-VIII/гл.II]; второй [b] – не магический, с суммой чисел в столбцах 14 и 18. Нетрудно заметить, что они переходят друг в друга при обращении на 180°, порознь, периферийных секторов (дискретной) зеркальной системы (тёмный фон клеток). Это означает, что и другие магические квадраты 4×4 группы [25/гл.II] легко и быстро, самостоятельно (без предварительного сложения из них квадратов 8×8) могут быть подобным образом видоизменены.

[17]

a b
 

Хотя в квадрате [17-b] сумма чисел в столбцах не равна 16, другие группы его чисел – в строках, в малых составных квадратиках, в клетках при вершинах квадрата и т. д., при сложении дают в сумме константу; и, что удивительно, к этим «другим» группам, принадлежат и числа ломаных диагоналей как в совершенных магических квадратах – они, также, дают в сумме магическую постоянную. Данное обстоятельство весьма примечательно, так как позволяет выполнить преобразование этого квадрата, применяемое к традиционным совершенным магическим квадратам. Это особая симметрическая операция, упоминание о которой можно встретить, к примеру, у М. Гарднера в его книге «Математические развлечения и головоломки».
М. Гарднер, если доверять переводчику книги, так и характеризует эту операцию: «особая», не разъясняя, в чём состоит эта её «особость». Между делом мы попытаемся это выяснить. На рисунке [18] воспроизведены квадраты-схемы [a,b] этого преобразования, извлечённые из книги М. Гарднера (см. также, «Посвящённые Юпитеру», рис. [3/гл.I]).

Обратное преобразование [b] Ú [a], очевидно, столь же правомерно, как и [a] Ú [b], и его можно отобразить графической схемой [18-c] – схема накладывается на квадрат [b], считываемые по ней буквы записываются в квадрат [a].

Таким образом, суть данной операции, в одном из её вариантов, раскрывается с помощью графической схемы «обратного» преобразования, и заключается в считывании (или записи) числовых пар квадрата по вертикали. Кстати, сравните в квадратах [a] и [b] на рис. [18] положение символов AC, BD, HF, GE... Если в одном из квадратов они чередуются в строке через один, то в другом образуют крестообразные пары.

[18]

Ú Ú Ú
a b c a
 

Применим эту схему к квадрату [17-b], слегка изменив порядок чередования считываемых четвёрок – вместо симметричной [18-с], применим прямую, как изображено на рис. [19-b].
Цвет фона клеток исходного и итогового квадратов на рис. [19] подчёркивает симметрию считывания и записи чисел, относительно секторов углового зеркала дискретной системы, при последовательном чередования элементов схемы: в итоговом квадрате [19-c] строки пронумерованы в соответствии с этим порядком «прямого» чередования элементов схемы.

[19]

Ú Ú
a b c
 

Что же это за квадрат [19-c], полученный в результате столь замысловатой цепочки действий?

Это тот самый квадрат, который складывается из четвёрок строки [9] – числового палиндрома:

[9]

 

Магические квадраты группы [25/гл.II] не обладают свойствами совершенных; однако, сумма чисел в ломаных диагоналях, связывающих полярные секторы дискретной системы, равна в этих квадратах магической постоянной.* Поэтому к ним, также, можно успешно приложить схему вертикального считывания чисел составных четвертей, аналогичную [19-b], чтобы получить в результате строку [9].

* Ниже воспроизводится один из них – [25-VIII/гл.II]. Более тёмным фоном клеток в квадрате выделены 4 числа, составляющих одну из двух прямоугольных (числа замкнутые в контур образуют прямоугольник) ломаных диагоналей.

[20]

a b
 

Достойная всяческого внимания, эта комбинация чисел [9], говорим ли мы о ней, записанной в ряд, или облечённой в форму квадрата, заслуживает того, чтобы показать, каким образом она может быть получена. Основной способ её получения тот, с которого мы начали, и которым закончим. Из других методов построения этой числовой последовательности, некоторые мы только что рассмотрели.

Но пожалуй вернёмся уже к основному способу формирования ряда чисел [9]. Он, этот способ, хорош не только тем, что минует построение и преобразование магических квадратов, но прилагается к одному из самых ранних вариантов СЧФ (числовой матрице Фразы). Кроме того, этот способ сам по себе достаточно прост, и при этом позволяет легко выявить все варианты числовых палиндромов, которых всего восемь.

Ниже, на рис. [21] под пунктом [a] воспроизводится исходная двустрочная запись [8].

Далее, под пунктом [b] та же двустрочная чзФ с переставленными строками. Такая, стало быть, зеркальная операция.

ЧзФ [c] и [d] образованы от первых двух путём взаимной перестановки всех чисел, составляющих горизонтальные пары.

Четыре чзФ правой половины группы [e, f, g, h] получены взаимной перестановкой половин в расположенных слева, исходных для них, чзФ [a, b, c, d], например, [a-e]; и т. д.

[21]

 

Всё так же, предельно просто и далее. Считывая подряд, сверху вниз, вертикальные пары двустрочных записей, запишем восемь рядов числовых палиндромов.

[22]

 

Если только возможны действия над числами ещё более простые, то это, несомненно, следующие: укладываем четвёрки строк [22] «правильными рядами», и в результате, получаем восемь числовых квадратов [23]:

[23]

 

Назначение этих квадратов в том, чтобы служить составными четвертями квадратов восьмого порядка. На рис. [24] представлены восемь таких квадратов 8×8, а рассказ о них далее.

Несколько слов о сборке квадратов 8×8. Прежде всего, обратите внимание на то, что в состав каждого из них входят только два различных квадрата 4×4, расположенные в большом квадрате по горизонтали, или по вертикали, а по диагонали квадраты дублируют друг друга. Следовательно, чтобы собрать квадрат 8×8 требуются два различных квадрата 4×4. В группе [23] они подбираются из разных рядов (один из верхнего, другой из нижнего, или наоборот), с чередованием через один. Например, «через один» от первого квадрата [a] находится квадрат [c]; теперь «опускаемся» в нижний ряд и находим здесь квадрат [g]. Первая пара найдена – это квадраты [ag]. Другие подбираются аналогично. Итак, квадраты 8×8 собраны из следующих составных четвертей:

[24]

I V
II VI
III VII
IV VIII

 

Кроме механики процесса сборки квадратов 8×8, очевидно, должен существовать некий алгоритм, или принцип подбора для них составных четвертей (квадратов 4×4). Он и существует.

Понять его будет совсем нетрудно, если рассмотреть метод построения составных квадратов 4×4 (для 8×8) – не самый предпочтительный, из описанных выше, но более наглядный как раз для иллюстрации способа сборки квадратов 8×8.

На рисунке ниже воспроизводятся четыре магических квадрата из чисел Фразы, пронумерованные римскими цифрами, в соответствии с их обозначениями в группе [25/гл.II]. Рядом изображены, соответственно расположенные, четыре схемы считывания их чисел [ABCD]. Справа от схем записаны четыре новых полумагических квадрата [abcd].

Четыре магических квадрата являются взаимными невариантами – полными отражениями друг друга в секторах углового зеркала. Следовательно, построенные из их чисел новые полумагические квадраты совершенно естественно сложить вместе в таком же порядке. Полученный из них квадрат 8×8 возглавляет группу [24].

[25]

VIII VII  A C  a c
VI V D B  d b

 

Квадраты 8×8 группы [24], также, не являются магическими: магическую константу, равную 32, дают при сложении числа их строк и столбцов, в диагональных же клетках мы снова встречаемся с числами 28 и 36.
Между тем, довольно легко подобрать составные квадраты таким образом, что сложенный из них квадрат 8×8 будет магическим.
Почему же не сделать так?
Дело в том, что ориентиром в этих преобразованиях нам должна служить несколько иная «магия» – «магия» ключевых чисел 7 и 9. Всякий результат операций, который показывает присутствие этих чисел, или их производных, должен некоторое время иметь приоритет перед традиционной магией, то есть перед числовой симметрией.

Впрочем, на квадратах 8×8 группы [24], это «время» как раз заканчивается, и пора уже более пристально рассмотреть, что же у нас получилось.

По своим индивидуальным свойствам эти квадраты ничем друг от друга не отличаются, а потому для начала сосредоточим внимание на одном из них – к примеру, [24-VIII] – ниже этот квадрат воспроизводится на рис. [26].

Что можно сказать о нём?

Во-первых, числа его строк или столбцов, записанные в один ряд образуют большой 64-знаковый числовой палиндром.

Во-вторых, что весьма неожиданно, в квадрате [26] в непроявленном виде скрыты свойства, так называемых, латинских квадратов.

Но сейчас не это главное...

Квадрат этот, в контексте наших исследований, столь необычный, что и рассказывать о нём хочется как-то необычно.

Невольно вспоминаются таблицы А. Киселя, построенные им из номеров букв Фразы и слова, обращённые к читателю, призывающие подивиться результатам его поисков (А. Кисель, «Кладезь бездны» ч. II, «Алфавит»).

Заимствуя строки из «Кб»:

  1. ...согласно данным науки, случайно и стихийно образовавшиеся звуки оформляются в речь; не менее случайно, звукам присваиваются изображения — буквы, которые получают случайные порядковые номера в алфавите; из случайно образованных слов выбраны случайные слова "Отец", "Сын", "Святой Дух"…

и перенимая стиль письма автора «Кладезя...», продолжу: по «бредовому желанию» автора этих строк упрощённые номера букв фразы «Отец, Сын, Святой Дух» записываются по возрастанию в две строки [8/гл.III]; с двустрочной записью производятся две простые симметрические операции [7,8]; с помощью непритязательной схемы числа считываются с последней из этих двустрочных записей восемью различными способами и формируются в четвёрки (или, что одно и то же: [21,22]). Затем четвёрки записываются в форме квадратов 4×4 [23], а из них составляются ещё большие числовые квадраты – 8×8 [24]...

Всего семь операций.., ну, может быть, на одну меньше или больше,.. семь шагов разделяют номера букв Фразы в алфавите и построенные из них квадраты 8×8. Один из них перед вами [26].

Посмотрите же на него ещё раз, и попытайтесь понять – как это могло произойти?! И почему? – ведь перед вами не что иное, как схема замкнутого маршрута шахматного коня на шахматной доске!*

* Решение классической шахматной задачи о ходе коня, принадлежащее К. Йенишу.

[26]

 

И как же это понимать?!
Может быть, как подсказку?
Но позвольте, какая «подсказка»?, – это же настоящее откровение!..

* * *

Маршрут обхода шахматной доски фигуркой коня, это, прежде всего, графическая схема. Найденный Йенишем маршрут отличается своеобразной симметрией, обуславливающей двухвариантность схемы; ниже, на рис. [27] изображены основной её вариант [a], который, собственно, и считается принадлежащим Йенишу, и его зеркальное отражение [b].

[27]

I II

Маршрут Йениша замкнут, это значит, что у него нет определённого начала, а последняя клетка вновь соединяется с первой.

Если пронумеровать ходы коня на протяжении всего маршрута, получится числовой квадрат. Прошу обратить особое внимание на тот факт, что числа такого квадрата обозначают номера ходов шахматной фигурки. Иначе говоря, в результате нумерации ходов коня, образуется «номерной», или нумерологический квадрат. Вот первое обстоятельство, проливающее свет на парадоксальную связь чисел Фразы с шахматной доской и фигуркой коня.

Другим таким обстоятельством является «основное свойство» коня, которое заключается, отнюдь, не в том, что он «на каждом своём ходу меняет цвет поля, на котором стоит» (Е. Я. Гик, «Шахматная математика»), а в том, как он ходит. Не по горизонтали или вертикали, как ладья; не по диагонали, как слон... Конь не ходит, он скачет! Каким-то замысловатым крючком: через одну клетку на соседний ряд... Говорят, буквой «Г». Ну, а если в алфавите, скажем, немцев, или англичан, нет буквы, похожей на русскую «Г» – как ходит шахматный конь у них? Хотя, что нам до англичан... В алфавите, именно в нашем – русском алфавите – буква «Г» имеет порядковый номер 4. Снова мы обращаемся к нумерологии, но что символизирует четвёрка?.. Вот и ещё одно обстоятельство!

Несмотря на то, что маршрут Йениша замкнут и, как такового, определённого начала у него нет, литературные источники представляют его в виде конкретной нумерации полей шахматной доски, или, другими словами, конкретного числового квадрата, носящего имя своего автора. На следующих рисунках изображены квадрат Йениша [28] и нумерологический квадрат Фразы [29]. Сравните их.

Для наглядности квадраты разграничены на геометрические четверти, а также, цветом в них выделены клетки с первыми 16 числами. Порядок считывания чисел соответствует чередованию цветов спектра: «каждый охотник желает знать где сидит фазан», восьмой цвет – «бах»! (охотник выследил фазана и выстрелил), – то есть, белый цвет (в квадратах для контраста это серый цвет); затем ещё раз: красный, оранжевый, жёлтый, зелёный, голубой, синий, фиолетовый, белый. Таким образом, по цветным клеткам в квадрате Фразы [29] вы прочтёте 16 чисел матрицы СЧФ:

[10/гл.III]

 

[28]

 

[29]

Продолжение аналогично: ещё трижды в квадрате Фразы повторяются числа матрицы СЧФ в полном соответствии с порядковыми числами натурального ряда в квадрате Йениша. Структура квадратов [28] и [29] оказывается идентичной...

Очевидно, пришло время по-новому взглянуть на классическую шахматную задачу и, может быть, иначе сформулировать её. В самом деле, основное условие «обойти конём все поля шахматной доски, посетив каждое из них ровно один раз» любителями шахматных головоломок за два с половиной столетия существования задачи выполнено, наверное, тысячами способов.

Кто бы мог подумать, что при этом задача имеет единственно верное решение, тогда как всё множество других маршрутов коня, иногда очень хитроумных и красивых, только ложные следы...

Но кто бы мог предположить, что это единственно верное, найденное (Йенишем) решение – только начало, только первый шаг в решении задачи, которая должна формулироваться значительно шире. В самом сжатом виде эта формулировка, кроме известных и уже выполненных условий – обойти конём доску; записать номера ходов в виде числового квадрата; вычертить схему маршрута – должна включать и такие пункты: 1) расшифровать схему маршрута; 2) расшифровать («решить») числовой квадрат.

Но как же подступить к этой работе?

Только, имея в распоряжении ключ к решению. Он в числах Фразы, которые, как мы видим, несут в скрытом виде какую-то информацию об этой шахматной задаче.

Что это за информация?

Это мы и попытаемся теперь выяснить.

Практически (в жизни), сложилось так, что квадрат Йениша был построен раньше, чем в русском алфавите появился тот строй, тот порядок, который обусловил соответствующие свойства СЧФ. Но квадрат Фразы не просто в чём-то совпадает с квадратом Йениша. Он превосходит его по сложности, числа его «многофункциональны»: подобно алгебраическим символам, они абстрактны, и в то же время, в определённых аспектах, очень конкретны. Схему обхода конём шахматной доски можно вывести из квадрата Фразы не единственным способом и, главное, безошибочно. Приведу пример.

В матрице СЧФ после 1-2, 1-2, 2-3, 2-3, 5-  следует шестёрка. На рис. [30] в квадрате Фразы в этом месте появляется выбор – две шестёрки (в клетках чёрного цвета). Если пойти 5-6, 5-6 против часовой стрелки, то далее тупик – нет перехода к 6-7, 6-7. Значит, выбор пути был неверен. Правильно на рис. [29]: 5-6 5-6 = красный, оранжевый, жёлтый, зелёный.

[30]

 

[29]

Подобным же образом можно вычертить схему маршрута коня, в любом из её зеркальных вариантов [27], с помощью любого из нумерологических квадратов Фразы группы [24].

Рассмотрим их ещё раз, с другим расположение в группе – в порядке нумерации в горизонтальных рядах.

В квадратах выделены клетки с единицами, причём разным цветом – зелёным и красным. Не обращая пока внимания на цвет, взгляните на первую строку квадратов верхнего ряда. Единица в этой строке, от квадрата к квадрату, как бы движется вправо от первой клетки, и в квадратах нижнего ряда продолжает свой путь до последней, восьмой клетки в квадрате VIII. В результате, во всех восьми квадратах единица полностью заполняет клетки первой строки. Аналогично обстоит дело и с остальными строками, только порядок чередования клеток с единицей в них другой.

Эти наблюдения за единицей показывают, что во всех восьми квадратах группы она встречается по одному разу в каждой из 64 клеток (то есть, в совокупности единицами может быть заполнен квадрат 8×8).

Следовательно, считывание матрицы СЧФ (1-2, 1-2, 2-3, 2-3, 5-6, 5-6, 6-7, 6-7) можно начать с любой клетки, для этого в группе достаточно подобрать соответствующий квадрат.

Однако, считывая числа квадрата в порядке следования их в матрице, и имитируя при этом ходы коня на шахматной доске, замкнутый маршрут, тем не менее, удаётся пройти не во всех случаях. Начав движение с единицы, расположенной в красной клетке, очень скоро мы окажемся в тупике (аналогично примеру [30]) и маршрут останется незавершённым. Напротив, зелёные клетки, как разрешённый сигнал светофора, гарантируют благополучное завершение маршрута, если его начать с единицы в такой клетке и при этом соблюдать очерёдность ходов, строго соответствующую числам матрицы. Таким образом, подсчитав количество «зелёных» клеток в квадратах Фразы, мы узнаем, сколько можно получить «квадратов Йениша» при «обходе доски» с помощью матрицы СЧФ.

Так что же это за клетки?

Нет ничего проще, чем «собрать» их в один квадрат, и взглянуть – что получится. Вот они, на следующем рисунке, с соответствующей окраской:

 
 

Неожиданная картина! – Знакомый «жук скарабей» в обрамлении «виньетки»! (см. «Волшебный конёк-скакунок», рис. [9/гл.II]).

Записав номера ходов коня для маршрута с любой начальной клеткой из 32 зелёных, мы получим 32 квадрата из чисел натурального ряда, и среди них тот, что известен под названием полумагического квадрата Йениша.

В действительности только восемь существенно различных, остальные будут невариантами.

Теперь всё становится на свои места. Числа Фразы, при строгом следовании матрице, «поддерживают» 32 наиболее цельных, с позиций симметрии, маршрутных квадрата.

В работе «Волшебный конёк-скакунок» они определены как маршрутные квадраты групп «А» и «Б».

Отсюда вывод: задача о ходе коня решается комплексно, не одним только единственным обходом доски, но анализом всей совокупности вариантов маршрута или, по меньшей мере, тех 32 маршрутных квадратов, стартовым полям которых матрица СЧФ «даёт зелёный свет».

* * *

Квадрат Йениша, это тот мост между магическими квадратами и шахматами, о котором теперь говорят, как об утраченном знании. Числа Фразы помогают восстановить часть этих знаний. Удивительная структура нумерологических квадратов Фразы, тождественных квадрату Йениша, не только заставляет пристальней вглядеться в этот давно известный полумагический квадрат,* но и подсказывает первые шаги в его преобразовании. Итог преобразований маршрутных квадратов – множество традиционных магических квадратов 8×8, в ряде случаев незаурядных по своим свойствам (см. «Волшебный конёк-скакунок», рис. [4,6/гл.IV]).

  * Именно нумерологические квадраты Фразы вдохновили к исследованию квадрата Йениша, а иначе, что ещё, кроме чисел Фразы, могло бы заставить искать нечто (не зная при этом, что конкретно надо искать) в одном из многих, уже известных решений старой шахматной задачи.

Так что же это за квадраты, чем ещё, кроме факта своего происхождения, они интересны?

Поиск ответа на этот вопрос начнём с расшифровки графической схемы маршрута коня, поскольку кое-какой опыт решения подобных головоломок у нас уже имеется – вспомните схему квадрата Дюрера, «пропаханную» без пауз и пробелов, которую мы расчленяли на составляющие «геометрические кирпичики» – отрезки прямой, в результате чего было получено некоторое двойственное изображение [2,3/гл.III].

Очевидно, так же «перегружена» и схема маршрута коня. Учитывая принцип неразделимости минимальных элементов числовых записей, схему маршрута коня, аналогично схеме квадрата Дюрера, необходимо, также, «оптимизировать», освободив от балласта. В квадрате Йениша, как и в квадрате Дюрера, статус неделимых элементов мы присваиваем последовательным (асимметричным) парам порядковых чисел натурального ряда 1-2, 3-4, 5-6, 7-8 и т. д. Казалось бы, по аналогии со схемой квадрата Дюрера, из схемы маршрута коня, также, следует исключить «недействительные» отрезки прямой, соединяющие одну числовую пару с другой, то есть, «не-парные» числа натурального ряда, такие, как 2 и 3, 4 и 5 и т. п. Но здесь (в квадрате Йениша) этого как раз делать не следует. Дело в том, что маршрут Йениша замкнут и схема может иметь начальным любое поле шахматной доски, следовательно, и квадрат Йениша может иметь иное расположение чисел (это будет, конечно, уже другой квадрат, но всё равно он будет «квадратом Йениша», т. к. маршрут один и тот же). При этом, в квадрате с другой нумерацией полей маршрута, числа-пары могут занять клетки, ранее заполненные непарными числами.

К таким рассуждениям помогают прийти и числа Фразы. В эквивалентном квадрату Йениша, нумерологическом квадрате из чисел Фразы нет места «недействительным» отрезкам: числа даже одного (!) нумерологического квадрата отображают возможность различных вариантов нумерации маршрута.

Ниже, на рисунке в квадрате [31], для примера, выделены цветом несколько числовых пар матрицы СЧФ (1-2, 2-3, и т. д.) На рисунке можно видеть, что «действительными» числовыми парами заполняются все клетки, причём как в горизонтальной плоскости, так и в вертикальной, поскольку каждое число матрицы «работает на два фронта», образуя пары в обеих плоскостях.

Если в квадрате Фразы, взамен четвёрок матрицы 1-2-1-2, 2-3-2-3, 5-6-5-6, 6-7-6-7 использовать числа натурального ряда от 1 до 8: 1-2-1-2, 3-4-3-4, 5-6-5-6, 7-8-7-8, то получится квадрат, изображённый на рис. [32]. В нём, также, наглядно заполнение последовательными числовыми парами всех клеток квадрата, и по горизонтали, и по вертикали.
Если же использовать 16 чисел натурального ряда вместо чисел матрицы СЧФ [1-2-1-2=1-2-3-4; 2-3-2-3=5-6-7-8 и т. д.], то данное свойство утрачивает очевидность; то же происходит и в квадрате Йениша, так как обобщение, характерное для нумерологического квадрата Фразы, здесь уступает место индивидуальному.
Кстати, на примере квадрата [32] удобно демонстрировать cвойства латинских квадратов, каковым он, собственно, и является.

[31]

 

[32]

Поскольку нумерологический квадрат из чисел Фразы легко превращается в латинский, то и с помощью схемы маршрута Йениша его нетрудно построить. Для этого достаточно подготовить двустрочную запись 16 чисел натурального ряда. Вначале записываем две строки от 1 до 8, группируя числа по четыре:

1 2  3 4  5 6  7 8
1 2  3 4  5 6  7 8

Затем считывает двустрочную запись известным уже способом (аналогично матрице СЧФ) и записываем в один ряд:

1 2  1 2  3 4  3 4  5 6  5 6  7 8  7 8

Теперь достаточно «разнести по клеткам» квадрата 8 таких строк с помощью схемы маршрута Йениша, и латинский квадрат построен (пример на рис. [32]).

Таким образом, с одной стороны, схема маршрута, действительно, перегружена «лишними» отрезками прямой, но только в том случае, если рассматривать её в каком-то единичном аспекте (в связи с конкретным квадратом); с другой же стороны, ничего «лишнего» в схеме нет, поскольку существует множество вариантов нумерации полей маршрута, и любой отрезок однажды может оказаться «действительным» для той или иной пары клеток квадрата. «Однажды», но не всегда...

На рис. [33-a] изображён полумагический квадрат Йениша, в котором для примера выделены четыре пары чисел, в каждой из которых одно число занимает угловую клетку. Все отрезки, если соединить числа этих пар будут «действительными»; при этом все они будут связывать пары столбцов. Более того, если построить из натуральных чисел все 8 (существенно различных) маршрутных квадратов, эквивалентных нумерологическим, используя матрицу СЧФ, то среди них не окажется ни одного, в котором пары чисел в этих клетках располагались бы в соседних строках (в других клетках так же, или наоборот, но всегда однообразно).

[33]

a b

Если сравнить квадрат Йениша [33-a] и соответствующий ему, нумерологический [31], то можно видеть, что к примеру, клетки с не-парными числами 50 и 51 в первом из них, в другом заняты парой матрицы СЧФ 1-2 и, следовательно, эти клетки, также, могут быть соединены отрезком прямой... Но для квадрата [33-a] лишь в одном случае: если «уложить его на бок» [33-b].

Таким образом, нумерологический квадрат наглядно демонстрирует два аспекта схемы маршрута, в которой нет балласта из «недействительных» отрезков, но которая, – что очевидно, – двойственна [34], и «оптимизация» её заключается в дифференциации, то есть, в разделении на эти два аспекта.

[34]

 

При этом, в соответствии с закономерностью двузеркальной симметрии, схема маршрута распадается на два одинаковых, но ориентированных в разных плоскостях, фрагментарных изображения:

[35]

I II

Объединим разрозненные фрагменты изображений на обоих рисунках. В результате, в каждой из «полусхем» получим контур картинки и как бы её тень (проекцию, отражение?) вверху и внизу [36-I], а также, слева и справа [36-II]

[36]

I II

Способ восполнения фрагментов изображений [35] недостающими отрезками прямой, кажется, не предполагает других вариантов, так как рисунок [36] явно недвусмыслен; но для подтверждения правомерности такой «дорисовки» можно сослаться и на числа. На следующих рисунках [37-a,b] в квадрате Фразы, в качестве примера, цветом выделены некоторые группы чисел, соответствующие дефрагментированным частям изображения, в горизонтальной и вертикальной плоскостях. В каждом случае, эти группы чисел составляют половину (иногда разделённую на две четверти) матрицы СЧФ, то есть, представляют собой некую относительную целостность.

[37]

 

[38]

Следующий шаг – «оцифровка картинок». С этой целью наложим полученные изображения крестов [36] на квадрат 8×8 из порядковых чисел натурального ряда, то есть, натуральный квадрат 8×8:

[39]

 

[40]

Последним действием, завершающим «проявление» маршрута шахматного коня, должно быть «восстановление крестов», то есть, трансформация плоских рисунков в трёхмерные изображения. Не нужно обладать богатым пространственным воображением, чтобы решить эту задачу. На следующем рисунке [41] представлено объёмное изображение плоского креста [39] – назовём его первым матричным крестом.*

* На самом деле, крест следовало бы расположить Х-образно. Но, как мне кажется, изображение прямого креста привычнее для нашего восприятия, поэтому, вопреки расположению чисел, я вижу его именно таким.

[41]

 

Вертикально ориентированное плоское изображение [40] при трансформации приводит к объёмному изображению второго матричного креста, с иным порядком нумерации вершин [42].*

* Наверное, говорить о нумерации  вершин – это не совсем корректно... Однако, большинство узловых точек креста, обозначенных числами, являются именно его вершинами, поэтому, ради краткости, я не буду делать различия между ними.

[42]

 

Представляю вниманию читателей изображение этих крестов в художественном исполнении. Цветовое оформление и название креста призваны подчеркнуть многообразие вариантов их числового сопровождения, сопоставимого, как вскоре можно будет убедиться, с бездной, где звёздам нет числа, а бездне дна...

 
 
крест Галактика       

 

Итак, построены два матричных креста [41-42].

Подобно магическому квадрату, матричные числовые кресты могут быть преобразованы путём различных симметрических операций, с целью получения аналогичных. Можно отыскать множество вариантов интересного расположения чисел на кресте (например чевёрок, и т. д.), но только с соблюдением условия: крест должен сохранять свойство матричного. Предлагаю вниманию читателей несколько примеров таких крестов обозначенных простой нумерацией, а некоторых и собственными названиями, смысл которых призван передавать характер распределения чисел. Два «штатных» креста уже построены, поэтому, следующий, произвольный, обозначен III.

Далее, на рис. [43] изображён магический квадрат первого типа – один из тех, что построены на основе маршрутных квадратов (см. «Волшебный конёк-скакунок», рис. [9-a/гл.IV]).

[43]

 

Рассматривая «оцифровку» первого матричного креста [41], как нумерацию его вершин, заменим теперь эти номера числами магического квадрата [43], в естественной очерёдности их следования в строках квадрата. Результат этих действий на рис. [44].

Замкнутые «в круг» вершины креста [44], обозначенные порядковыми числами четвёрок натурального ряда (1-2-3-4, 5-6-7-8, и т. д.) как бы дублируют, обводят элементы контура креста, утверждая таким образом изображение.

[44]

 

В следующем магическом квадрате [45], в отличие от предыдущего примера, числа последовательных пар 1-2, 3-4, 5-6 и т. д., связывают пары столбцов (использован боковой невариант квадрата [9-d] («Волшебный конёк-скакунок», гл.IV).).
Для правильного перевода этого квадрата в графическое изображение требуется второй матричный крест.

[45]

 

Далее, на рис. [46] изображён крест, вершины которого обозначены числами этого квадрата, в соответствии с их нумерацией на втором матричном кресте [42]. Никаких дополнительных комментариев, сверх того, что было сказано о кресте [44], этот рисунок не требует.

[46]

 

* * *

Обозначим вершины первого матричного креста [41] числами магического квадрата второго типа [47] («Волшебный конёк-скакунок», рис. [13-а/гл.IV]).

[47]

 

[48]

 

На полученном кресте [48] замкнутая ломаная линия, соединяющая любые четыре вершины, обозначенные четвёркой порядковых чисел натурального ряда, ограничивает четырёхугольную плоскость. Все 16 таких плоскостей, пересекаясь, формируют внутри числового креста ещё четыре графических изображения этого символа.

На рис. [49] представлен набросок (контур) одного из четырёх таких изображений, в котором задействованы четыре четвёрки магического квадрата: 9-10-11-12, 13-14-15-16, 57-58-59-60, 61-62-63-64.

[49]

 

В художественном исполнении рисунок креста, очевидно, может быть построен на основе не менее 16 чисел, для других его вариантов, никаких предписаний не существует.

Здесь вниманию читателей предлагаются два, созданных разными способами, изображения, какими они видятся автору этих строк. Цветовое оформление и название первого из них следует воспринимать как прозрачный намёк... Несколько странное название второго креста навеяно мотивами личного характера, связанными с любимым временем года.

 
 
 
крест Триколор       

 

 

 
 
крест Бархатный сезон       

Для «распятия» квадратов II типа с вертикальной ориентацией числовых пар служит второй матричный крест.

Один из квадратов третьего типа представлен ниже, на рис. [50]

[50]

 

Далее этот квадрат на первом матричном кресте:

[51]

 

Соединяя отрезками прямой вершины креста, обозначенные четвёрками порядковых чисел, и задействуя при этом ½ числового состава квадрата, симметрично распределённого на кресте, получим некоторый эскиз, правильная детальная проработка которого приводит к созданию, пожалуй, одного из наиболее интересных изображений креста, созданных с помощью чисел магических квадратов, чем-то напоминающего резные шахматные фигуры:
 
 
крест Гелиос        

Такой же рисунок на соответствующем (втором) матричном кресте создаёт и боковой невариант квадрата третьего типа:

* * *

Итак, завершена ли «расшифровка» маршрута шахматного коня?

Окончена ли на этом «миссия» чисел Фразы?

Вопросы остаются открытыми. Ибо кто может сказать, и сказать не гадательно – не подходит ли к чему-то ещё этот Удивительный Универсальный Ключ из шести чисел...

В завершение же данной темы покажу ещё одно удивительное свойство СЧФ...

Речь пойдёт о «Собрании 1728 избранных магических квадратов» («Волшебный конёк-скакунок>», гл. VI). Все они в графической интерпретации являются геометрическими изображениями одного из трёх видов крестов (в соответствии с тремя типами квадратов), примеры построения которых были рассмотрены выше.

Количество таких квадратов в числах Фразы «не задано», можно ограничиться построенными, или попытаться найти новые.

Но вот, что в числах Фразы безусловно «задано», так это возможность умножить количество построенных магических квадратов – будь их много или мало – умножить в 16 раз!

Вернёмся снова к анализу нумерологических квадратов 8×8 [24]. На следующем листе они представлены двумя рядами с горизонтальным расположением по порядку нумерации:

Мысленно расположите нижний ряд квадратов, как продолжение верхнего ряда. Проследите ещё раз за «движением» единицы в верхней строке квадратов от I к VIII. Обратите внимание, что четыре квадрата нижнего ряда являются невариантами, а именно: полными отражениями первых четырёх, и при расположении в один ряд между четвёрками квадратов можно подразумевать вертикальную границу смежных секторов углового зеркала.

Эти же восемь квадратов можно расположить и в виде вертикальной колонки, в другом порядке нумерации, но в аналогичной закономерности, с «бегущей единицей» сверху вниз в левом столбце квадратов. Подбирая квадраты из числа всё тех же восьми, с единицей в «нужной»* клетке, продолжим заполнять пространство, ограниченное верхним горизонтальным и левым вертикальным рядами.

* Положение единицы в квадрате совпадает с местом самого квадрата в группе.

В результате получим четыре группы по 16 квадратов, разделённые границами секторов условного углового зеркала.

Таким образом, всего четыре существенно различных квадрата из чисел Фразы создают картину отражений чисел гигантским угловым зеркалом, в четырёх секторах которого размещаются 64 квадрата 8×8, в то время как каждый сектор, сам по себе, являет собой сложную систему угловых зеркал, «мал мала меньше», вложенных друг в друга, наподобие матрёшек, вплоть до изначальных малых угловых зеркал размером 2×2 клетки.

Эту особую картину зеркальных отражений, в результате которых от квадрату к квадрату, в их строках и столбцах чередуются различные комбинации одних и тех же чисел, подобно элементам двоичного кода, по аналогии, я наименовал системой двоичной симметрии. Насколько оправдано использование здесь этого термина – судить специалистам, я лишь рассказываю читателям о свойствах чисел Фразы, которые под ним подразумеваются, и другой задачи перед собой не ставлю.

Итак, несколько простых операций со строками и стобцами квадрата в системе двоичной симметрии, предписываемых числами Фразы, и в результате, в случае преобразования традиционного магического квадрата, мы получаем 15 новых, существенно различных* (вместе с исходным – 16 квадратов одного сектора).

* На самом деле, несущественно, так как все они, по сути будут одним и тем же квадратом, просто в разных зеркальных ракурсах, но Традиция определяет квадраты с такими различиями не как повторы, и мы не станем нарушать традиционные устои. Итого, путём несложного арифметического действия 1728×16 получаем число 27648. Такое количество магических квадратов, среди которых нет невариантов, потециально содержит в себе «Собрание 1728 избранных...» Или столько же магических крестов.
Число одних только производных квадратов легко можно получить, если из общего количества вычесть 1728.
Зачем это надо? Просто из любопытства: что даёт операция двоичной симметрии, если 1728 исходных квадратов рассматривать обособленно, как некое «производящее начало», и не включать его в «произведённое потомство»?
Считаем: 27648-1728=25920. Получается... число земных лет Галактического года (прецессионного цикла).
Но это, конечно, только случайная игра чисел.

На следующем листе приведён пример размещения традиционного магического квадрата 8×8, в системе двоичной симметрии. В примере показан только один сектор углового зеркала – 16 существенно различных квадратов: